Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodfzo03 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfzo03 33273
Description: A product of three factors, indexed starting with zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfzo03.1 (๐‘˜ = 0 โ†’ ๐ท = ๐ด)
prodfzo03.2 (๐‘˜ = 1 โ†’ ๐ท = ๐ต)
prodfzo03.3 (๐‘˜ = 2 โ†’ ๐ท = ๐ถ)
prodfzo03.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
prodfzo03 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem prodfzo03
StepHypRef Expression
1 fzodisjsn 13616 . . . . 5 ((0..^2) โˆฉ {2}) = โˆ…
21a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((0..^2) โˆฉ {2}) = โˆ…)
3 2p1e3 12300 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
43oveq2i 7369 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = (0..^3)
5 2eluzge0 12823 . . . . . . 7 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
6 fzosplitsn 13686 . . . . . . 7 (2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) โˆช {2}))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) โˆช {2})
84, 7eqtr3i 2763 . . . . 5 (0..^3) = ((0..^2) โˆช {2})
98a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^3) = ((0..^2) โˆช {2}))
10 fzofi 13885 . . . . 5 (0..^3) โˆˆ Fin
1110a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^3) โˆˆ Fin)
12 prodfzo03.a . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
132, 9, 11, 12fprodsplit 15854 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^2)๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท))
14 0ne1 12229 . . . . . 6 0 โ‰  1
15 disjsn2 4674 . . . . . 6 (0 โ‰  1 โ†’ ({0} โˆฉ {1}) = โˆ…)
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({0} โˆฉ {1}) = โˆ…)
17 fzo0to2pr 13663 . . . . . . 7 (0..^2) = {0, 1}
18 df-pr 4590 . . . . . . 7 {0, 1} = ({0} โˆช {1})
1917, 18eqtri 2761 . . . . . 6 (0..^2) = ({0} โˆช {1})
2019a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0..^2) = ({0} โˆช {1}))
21 fzofi 13885 . . . . . 6 (0..^2) โˆˆ Fin
2221a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0..^2) โˆˆ Fin)
23 2z 12540 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
24 3z 12541 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„ค
25 2re 12232 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
26 3re 12238 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
27 2lt3 12330 . . . . . . . . . 10 2 < 3
2825, 26, 27ltleii 11283 . . . . . . . . 9 2 โ‰ค 3
29 eluz2 12774 . . . . . . . . 9 (3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค 3))
3023, 24, 28, 29mpbir3an 1342 . . . . . . . 8 3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
31 fzoss2 13606 . . . . . . . 8 (3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (0..^2) โŠ† (0..^3))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (0..^2) โŠ† (0..^3)
3332sseli 3941 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0..^2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0..^3))
3433, 12sylan2 594 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^2)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3516, 20, 22, 34fprodsplit 15854 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^2)๐ท = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท))
3635oveq1d 7373 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^2)๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท))
3713, 36eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท))
38 snfi 8991 . . . . 5 {0} โˆˆ Fin
3938a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {0} โˆˆ Fin)
40 velsn 4603 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†” ๐‘˜ = 0)
41 prodfzo03.1 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ ๐ท = ๐ด)
4241adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ๐ท = ๐ด)
43 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ด) โ†’ ๐ท = ๐ด)
4412adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4543, 44eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
46 c0ex 11154 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ V
4746tpid1 4730 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ {0, 1, 2}
48 fzo0to3tp 13664 . . . . . . . . . . 11 (0..^3) = {0, 1, 2}
4947, 48eleqtrri 2833 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ (0..^3)
50 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ๐ด = ๐ด
5141eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ท = ๐ด โ†” ๐ด = ๐ด))
5251rspcev 3580 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ (0..^3) โˆง ๐ด = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ด)
5349, 50, 52mp2an 691 . . . . . . . . 9 โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ด
5453a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ด)
5545, 54r19.29a 3156 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5655adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5742, 56eqeltrd 2834 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5840, 57sylan2b 595 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {0}) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5939, 58fprodcl 15840 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท โˆˆ โ„‚)
60 snfi 8991 . . . . 5 {1} โˆˆ Fin
6160a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {1} โˆˆ Fin)
62 velsn 4603 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ {1} โ†” ๐‘˜ = 1)
63 prodfzo03.2 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ ๐ท = ๐ต)
6463adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ๐ท = ๐ต)
65 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ต) โ†’ ๐ท = ๐ต)
6612adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6765, 66eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
68 1ex 11156 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ V
6968tpid2 4732 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ {0, 1, 2}
7069, 48eleqtrri 2833 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ (0..^3)
71 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ๐ต = ๐ต
7263eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ท = ๐ต โ†” ๐ต = ๐ต))
7372rspcev 3580 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ (0..^3) โˆง ๐ต = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ต)
7470, 71, 73mp2an 691 . . . . . . . . 9 โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ต
7574a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ต)
7667, 75r19.29a 3156 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7776adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7864, 77eqeltrd 2834 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
7962, 78sylan2b 595 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {1}) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
8061, 79fprodcl 15840 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท โˆˆ โ„‚)
81 snfi 8991 . . . . 5 {2} โˆˆ Fin
8281a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {2} โˆˆ Fin)
83 velsn 4603 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ {2} โ†” ๐‘˜ = 2)
84 prodfzo03.3 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 2 โ†’ ๐ท = ๐ถ)
8584adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 2) โ†’ ๐ท = ๐ถ)
86 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ถ) โ†’ ๐ท = ๐ถ)
8712adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ถ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
8886, 87eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
89 2ex 12235 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ V
9089tpid3 4735 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ {0, 1, 2}
9190, 48eleqtrri 2833 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ (0..^3)
92 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ๐ถ = ๐ถ
9384eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 2 โ†’ (๐ท = ๐ถ โ†” ๐ถ = ๐ถ))
9493rspcev 3580 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ (0..^3) โˆง ๐ถ = ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ถ)
9591, 92, 94mp2an 691 . . . . . . . . 9 โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ถ
9695a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ถ)
9788, 96r19.29a 3156 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9897adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 2) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9985, 98eqeltrd 2834 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 2) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10083, 99sylan2b 595 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {2}) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10182, 100fprodcl 15840 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท โˆˆ โ„‚)
10259, 80, 101mulassd 11183 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท)))
103 0nn0 12433 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
104103a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
10541prodsn 15850 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท = ๐ด)
106104, 55, 105syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท = ๐ด)
107 1nn0 12434 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•0
108107a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
10963prodsn 15850 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท = ๐ต)
110108, 76, 109syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท = ๐ต)
111 2nn0 12435 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•0
112111a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
11384prodsn 15850 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท = ๐ถ)
114112, 97, 113syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท = ๐ถ)
115110, 114oveq12d 7376 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท) = (๐ต ยท ๐ถ))
116106, 115oveq12d 7376 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
11737, 102, 1163eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070   โˆช cun 3909   โˆฉ cin 3910   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โ‰ค cle 11195  2c2 12213  3c3 12214  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ..^cfzo 13573  โˆcprod 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794
This theorem is referenced by:  circlevma  33312  circlemethhgt  33313
  Copyright terms: Public domain W3C validator