Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodfzo03 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfzo03 33684
Description: A product of three factors, indexed starting with zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfzo03.1 (๐‘˜ = 0 โ†’ ๐ท = ๐ด)
prodfzo03.2 (๐‘˜ = 1 โ†’ ๐ท = ๐ต)
prodfzo03.3 (๐‘˜ = 2 โ†’ ๐ท = ๐ถ)
prodfzo03.a ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
prodfzo03 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ท(๐‘˜)

Proof of Theorem prodfzo03
StepHypRef Expression
1 fzodisjsn 13672 . . . . 5 ((0..^2) โˆฉ {2}) = โˆ…
21a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((0..^2) โˆฉ {2}) = โˆ…)
3 2p1e3 12356 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
43oveq2i 7422 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = (0..^3)
5 2eluzge0 12879 . . . . . . 7 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
6 fzosplitsn 13742 . . . . . . 7 (2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) โˆช {2}))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) โˆช {2})
84, 7eqtr3i 2762 . . . . 5 (0..^3) = ((0..^2) โˆช {2})
98a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^3) = ((0..^2) โˆช {2}))
10 fzofi 13941 . . . . 5 (0..^3) โˆˆ Fin
1110a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^3) โˆˆ Fin)
12 prodfzo03.a . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
132, 9, 11, 12fprodsplit 15912 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^2)๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท))
14 0ne1 12285 . . . . . 6 0 โ‰  1
15 disjsn2 4716 . . . . . 6 (0 โ‰  1 โ†’ ({0} โˆฉ {1}) = โˆ…)
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ({0} โˆฉ {1}) = โˆ…)
17 fzo0to2pr 13719 . . . . . . 7 (0..^2) = {0, 1}
18 df-pr 4631 . . . . . . 7 {0, 1} = ({0} โˆช {1})
1917, 18eqtri 2760 . . . . . 6 (0..^2) = ({0} โˆช {1})
2019a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0..^2) = ({0} โˆช {1}))
21 fzofi 13941 . . . . . 6 (0..^2) โˆˆ Fin
2221a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (0..^2) โˆˆ Fin)
23 2z 12596 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
24 3z 12597 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„ค
25 2re 12288 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
26 3re 12294 . . . . . . . . . 10 3 โˆˆ โ„
27 2lt3 12386 . . . . . . . . . 10 2 < 3
2825, 26, 27ltleii 11339 . . . . . . . . 9 2 โ‰ค 3
29 eluz2 12830 . . . . . . . . 9 (3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (2 โˆˆ โ„ค โˆง 3 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰ค 3))
3023, 24, 28, 29mpbir3an 1341 . . . . . . . 8 3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)
31 fzoss2 13662 . . . . . . . 8 (3 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (0..^2) โŠ† (0..^3))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (0..^2) โŠ† (0..^3)
3332sseli 3978 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (0..^2) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0..^3))
3433, 12sylan2 593 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^2)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3516, 20, 22, 34fprodsplit 15912 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^2)๐ท = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท))
3635oveq1d 7426 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^2)๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท))
3713, 36eqtrd 2772 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท))
38 snfi 9046 . . . . 5 {0} โˆˆ Fin
3938a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {0} โˆˆ Fin)
40 velsn 4644 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ {0} โ†” ๐‘˜ = 0)
41 prodfzo03.1 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ ๐ท = ๐ด)
4241adantl 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ๐ท = ๐ด)
43 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ด) โ†’ ๐ท = ๐ด)
4412adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ด) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4543, 44eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
46 c0ex 11210 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ V
4746tpid1 4772 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ {0, 1, 2}
48 fzo0to3tp 13720 . . . . . . . . . . 11 (0..^3) = {0, 1, 2}
4947, 48eleqtrri 2832 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ (0..^3)
50 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ๐ด = ๐ด
5141eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ท = ๐ด โ†” ๐ด = ๐ด))
5251rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ (0..^3) โˆง ๐ด = ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ด)
5349, 50, 52mp2an 690 . . . . . . . . 9 โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ด
5453a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ด)
5545, 54r19.29a 3162 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5655adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5742, 56eqeltrd 2833 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5840, 57sylan2b 594 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {0}) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5939, 58fprodcl 15898 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท โˆˆ โ„‚)
60 snfi 9046 . . . . 5 {1} โˆˆ Fin
6160a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {1} โˆˆ Fin)
62 velsn 4644 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ {1} โ†” ๐‘˜ = 1)
63 prodfzo03.2 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 1 โ†’ ๐ท = ๐ต)
6463adantl 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ๐ท = ๐ต)
65 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ต) โ†’ ๐ท = ๐ต)
6612adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
6765, 66eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
68 1ex 11212 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ V
6968tpid2 4774 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ {0, 1, 2}
7069, 48eleqtrri 2832 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ (0..^3)
71 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ๐ต = ๐ต
7263eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 1 โ†’ (๐ท = ๐ต โ†” ๐ต = ๐ต))
7372rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ (0..^3) โˆง ๐ต = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ต)
7470, 71, 73mp2an 690 . . . . . . . . 9 โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ต
7574a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ต)
7667, 75r19.29a 3162 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7776adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7864, 77eqeltrd 2833 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 1) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
7962, 78sylan2b 594 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {1}) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
8061, 79fprodcl 15898 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท โˆˆ โ„‚)
81 snfi 9046 . . . . 5 {2} โˆˆ Fin
8281a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {2} โˆˆ Fin)
83 velsn 4644 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ {2} โ†” ๐‘˜ = 2)
84 prodfzo03.3 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 2 โ†’ ๐ท = ๐ถ)
8584adantl 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 2) โ†’ ๐ท = ๐ถ)
86 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ถ) โ†’ ๐ท = ๐ถ)
8712adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ถ) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
8886, 87eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)) โˆง ๐ท = ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
89 2ex 12291 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ V
9089tpid3 4777 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ {0, 1, 2}
9190, 48eleqtrri 2832 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ (0..^3)
92 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 ๐ถ = ๐ถ
9384eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 2 โ†’ (๐ท = ๐ถ โ†” ๐ถ = ๐ถ))
9493rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ (0..^3) โˆง ๐ถ = ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ถ)
9591, 92, 94mp2an 690 . . . . . . . . 9 โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ถ
9695a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = ๐ถ)
9788, 96r19.29a 3162 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9897adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 2) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9985, 98eqeltrd 2833 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ = 2) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10083, 99sylan2b 594 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ {2}) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10182, 100fprodcl 15898 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท โˆˆ โ„‚)
10259, 80, 101mulassd 11239 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท)))
103 0nn0 12489 . . . . 5 0 โˆˆ โ„•0
104103a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
10541prodsn 15908 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท = ๐ด)
106104, 55, 105syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท = ๐ด)
107 1nn0 12490 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•0
108107a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
10963prodsn 15908 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท = ๐ต)
110108, 76, 109syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท = ๐ต)
111 2nn0 12491 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„•0
112111a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
11384prodsn 15908 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท = ๐ถ)
114112, 97, 113syl2anc 584 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท = ๐ถ)
115110, 114oveq12d 7429 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท) = (๐ต ยท ๐ถ))
116106, 115oveq12d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ {0}๐ท ยท (โˆ๐‘˜ โˆˆ {1}๐ท ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ {2}๐ท)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
11737, 102, 1163eqtrd 2776 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (0..^3)๐ท = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11251  2c2 12269  3c3 12270  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ..^cfzo 13629  โˆcprod 15851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852
This theorem is referenced by:  circlevma  33723  circlemethhgt  33724
  Copyright terms: Public domain W3C validator