Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodfzo03 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfzo03 33216
Description: A product of three factors, indexed starting with zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfzo03.1 (𝑘 = 0 → 𝐷 = 𝐴)
prodfzo03.2 (𝑘 = 1 → 𝐷 = 𝐵)
prodfzo03.3 (𝑘 = 2 → 𝐷 = 𝐶)
prodfzo03.a ((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) → 𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
prodfzo03 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodfzo03
StepHypRef Expression
1 fzodisjsn 13610 . . . . 5 ((0..^2) ∩ {2}) = ∅
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0..^2) ∩ {2}) = ∅)
3 2p1e3 12295 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
43oveq2i 7368 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = (0..^3)
5 2eluzge0 12818 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
6 fzosplitsn 13680 . . . . . . 7 (2 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) ∪ {2}))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) ∪ {2})
84, 7eqtr3i 2766 . . . . 5 (0..^3) = ((0..^2) ∪ {2})
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^3) = ((0..^2) ∪ {2}))
10 fzofi 13879 . . . . 5 (0..^3) ∈ Fin
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
12 prodfzo03.a . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) → 𝐷 ∈ ℂ)
132, 9, 11, 12fprodsplit 15849 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = (∏𝑘 ∈ (0..^2)𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷))
14 0ne1 12224 . . . . . 6 0 ≠ 1
15 disjsn2 4673 . . . . . 6 (0 ≠ 1 → ({0} ∩ {1}) = ∅)
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ({0} ∩ {1}) = ∅)
17 fzo0to2pr 13657 . . . . . . 7 (0..^2) = {0, 1}
18 df-pr 4589 . . . . . . 7 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
1917, 18eqtri 2764 . . . . . 6 (0..^2) = ({0} ∪ {1})
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^2) = ({0} ∪ {1}))
21 fzofi 13879 . . . . . 6 (0..^2) ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
23 2z 12535 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
24 3z 12536 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
25 2re 12227 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
26 3re 12233 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
27 2lt3 12325 . . . . . . . . . 10 2 < 3
2825, 26, 27ltleii 11278 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
29 eluz2 12769 . . . . . . . . 9 (3 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
3023, 24, 28, 29mpbir3an 1341 . . . . . . . 8 3 ∈ (ℤ‘2)
31 fzoss2 13600 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘2) → (0..^2) ⊆ (0..^3))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (0..^2) ⊆ (0..^3)
3332sseli 3940 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0..^2) → 𝑘 ∈ (0..^3))
3433, 12sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^2)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3516, 20, 22, 34fprodsplit 15849 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^2)𝐷 = (∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷))
3635oveq1d 7372 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0..^2)𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷) = ((∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷) · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷))
3713, 36eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = ((∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷) · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷))
38 snfi 8988 . . . . 5 {0} ∈ Fin
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
40 velsn 4602 . . . . 5 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
41 prodfzo03.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → 𝐷 = 𝐴)
4241adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐷 = 𝐴)
43 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐴)
4412adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
4543, 44eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
46 c0ex 11149 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
4746tpid1 4729 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ {0, 1, 2}
48 fzo0to3tp 13658 . . . . . . . . . . 11 (0..^3) = {0, 1, 2}
4947, 48eleqtrri 2837 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^3)
50 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 𝐴 = 𝐴
5141eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝐷 = 𝐴𝐴 = 𝐴))
5251rspcev 3581 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0..^3) ∧ 𝐴 = 𝐴) → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐴)
5349, 50, 52mp2an 690 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐴
5453a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐴)
5545, 54r19.29a 3159 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5655adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5742, 56eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
5840, 57sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {0}) → 𝐷 ∈ ℂ)
5939, 58fprodcl 15835 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {0}𝐷 ∈ ℂ)
60 snfi 8988 . . . . 5 {1} ∈ Fin
6160a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {1} ∈ Fin)
62 velsn 4602 . . . . 5 (𝑘 ∈ {1} ↔ 𝑘 = 1)
63 prodfzo03.2 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → 𝐷 = 𝐵)
6463adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐷 = 𝐵)
65 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐵)
6612adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
6765, 66eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
68 1ex 11151 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
6968tpid2 4731 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ {0, 1, 2}
7069, 48eleqtrri 2837 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
71 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝐵
7263eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐵))
7372rspcev 3581 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ (0..^3) ∧ 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐵)
7470, 71, 73mp2an 690 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐵
7574a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐵)
7667, 75r19.29a 3159 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7776adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
7864, 77eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐷 ∈ ℂ)
7962, 78sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {1}) → 𝐷 ∈ ℂ)
8061, 79fprodcl 15835 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {1}𝐷 ∈ ℂ)
81 snfi 8988 . . . . 5 {2} ∈ Fin
8281a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {2} ∈ Fin)
83 velsn 4602 . . . . 5 (𝑘 ∈ {2} ↔ 𝑘 = 2)
84 prodfzo03.3 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → 𝐷 = 𝐶)
8584adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 2) → 𝐷 = 𝐶)
86 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐶)
8712adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
8886, 87eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
89 2ex 12230 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
9089tpid3 4734 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {0, 1, 2}
9190, 48eleqtrri 2837 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
92 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 𝐶 = 𝐶
9384eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (𝐷 = 𝐶𝐶 = 𝐶))
9493rspcev 3581 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ (0..^3) ∧ 𝐶 = 𝐶) → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐶)
9591, 92, 94mp2an 690 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐶
9695a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐶)
9788, 96r19.29a 3159 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9897adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 2) → 𝐶 ∈ ℂ)
9985, 98eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 2) → 𝐷 ∈ ℂ)
10083, 99sylan2b 594 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {2}) → 𝐷 ∈ ℂ)
10182, 100fprodcl 15835 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {2}𝐷 ∈ ℂ)
10259, 80, 101mulassd 11178 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷) · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷) = (∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · (∏𝑘 ∈ {1}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷)))
103 0nn0 12428 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
104103a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10541prodsn 15845 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {0}𝐷 = 𝐴)
106104, 55, 105syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {0}𝐷 = 𝐴)
107 1nn0 12429 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
108107a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10963prodsn 15845 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {1}𝐷 = 𝐵)
110108, 76, 109syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {1}𝐷 = 𝐵)
111 2nn0 12430 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
112111a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
11384prodsn 15845 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {2}𝐷 = 𝐶)
114112, 97, 113syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {2}𝐷 = 𝐶)
115110, 114oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {1}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷) = (𝐵 · 𝐶))
116106, 115oveq12d 7375 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · (∏𝑘 ∈ {1}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
11737, 102, 1163eqtrd 2780 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588  {ctp 4590   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cle 11190  2c2 12208  3c3 12209  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ..^cfzo 13567  cprod 15788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789
This theorem is referenced by:  circlevma  33255  circlemethhgt  33256
  Copyright terms: Public domain W3C validator