MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdpr 18656
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdpr.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dmdprdpr (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdpr
StepHypRef Expression
1 0ex 4924 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 dmdprdpr.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 dprdsn 18643 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
41, 2, 3sylancr 575 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
54simpld 482 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩})
6 dmdprdpr.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 xpscf 16434 . . . . . . . 8 (({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
82, 6, 7sylanbrc 572 . . . . . . 7 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ffn 6185 . . . . . . 7 (({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) → ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
111prid1 4433 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
12 df2o3 7727 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
1311, 12eleqtrri 2849 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
14 fnressn 6568 . . . . . 6 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
1510, 13, 14sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
16 xpsc0 16428 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
172, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
1817opeq2d 4546 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
1918sneqd 4328 . . . . 5 (𝜑 → {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
2015, 19eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
215, 20breqtrrd 4814 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}))
22 1on 7720 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
23 dprdsn 18643 . . . . . 6 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
2422, 6, 23sylancr 575 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
2524simpld 482 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
26 1oex 7721 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ V
2726prid2 4434 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
2827, 12eleqtrri 2849 . . . . . 6 1𝑜 ∈ 2𝑜
29 fnressn 6568 . . . . . 6 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
3010, 28, 29sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
31 xpsc1 16429 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
326, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
3332opeq2d 4546 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩ = ⟨1𝑜, 𝑇⟩)
3433sneqd 4328 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩} = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
3530, 34eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
3625, 35breqtrrd 4814 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))
37 1n0 7729 . . . . . . . . 9 1𝑜 ≠ ∅
3837necomi 2997 . . . . . . . 8 ∅ ≠ 1𝑜
39 disjsn2 4384 . . . . . . . 8 (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
4038, 39mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
41 df-pr 4319 . . . . . . . . 9 {∅, 1𝑜} = ({∅} ∪ {1𝑜})
4212, 41eqtri 2793 . . . . . . . 8 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜})
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜}))
44 dmdprdpr.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
45 dmdprdpr.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
468, 40, 43, 44, 45dmdprdsplit 18654 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
47 3anass 1080 . . . . . 6 (((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
4846, 47syl6bb 276 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
4948baibd 529 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
5049ex 397 . . 3 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
5121, 36, 50mp2and 679 . 2 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
5220oveq2d 6809 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
534simprd 483 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
5452, 53eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = 𝑆)
5535oveq2d 6809 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}))
5624simprd 483 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇)
5755, 56eqtrd 2805 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = 𝑇)
5857fveq2d 6336 . . . 4 (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑍𝑇))
5954, 58sseq12d 3783 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇)))
6054, 57ineq12d 3966 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑆𝑇))
6160eqeq1d 2773 . . 3 (𝜑 → (((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 } ↔ (𝑆𝑇) = { 0 }))
6259, 61anbi12d 616 . 2 (𝜑 → (((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
6351, 62bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cun 3721  cin 3722  wss 3723  c0 4063  {csn 4316  {cpr 4318  cop 4322   class class class wbr 4786  ccnv 5248  dom cdm 5249  cres 5251  Oncon0 5866   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707   +𝑐 ccda 9191  0gc0g 16308  SubGrpcsubg 17796  Cntzccntz 17955   DProd cdprd 18600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-dprd 18602
This theorem is referenced by:  dprdpr  18657
  Copyright terms: Public domain W3C validator