Theorem dmdprdpr 19963

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprdpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dmdprdpr	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5243	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		dmdprdpr.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		dprdsn 19950	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
4	1, 2, 3	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
5	4	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩})
6		dmdprdpr.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		xpscf 17469	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺))
9	8	ffnd 6652	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o)
10	1	prid1 4712	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
11		df2o3 8393	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
12	10, 11	eleqtrri 2830	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
13		fnressn 7091	. . . . . 6 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
14	9, 12, 13	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
15		fvpr0o 17463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
16	2, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
17	16	opeq2d 4829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
18	17	sneqd 4585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
19	14, 18	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
20	5, 19	breqtrrd 5117	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}))
21		1on 8397	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
22		dprdsn 19950	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
23	21, 6, 22	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
24	23	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩})
25		1oex 8395	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
26	25	prid2 4713	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
27	26, 11	eleqtrri 2830	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
28		fnressn 7091	. . . . . 6 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
29	9, 27, 28	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
30		fvpr1o 17464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
31	6, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
32	31	opeq2d 4829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝑇⟩)
33	32	sneqd 4585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩} = {⟨1o, 𝑇⟩})
34	29, 33	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, 𝑇⟩})
35	24, 34	breqtrrd 5117	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))
36		1n0 8403	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≠ ∅
37	36	necomi 2982	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ≠ 1o
38		disjsn2 4662	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
40		df-pr 4576	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
41	11, 40	eqtri 2754	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = ({∅} ∪ {1o})
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2o = ({∅} ∪ {1o}))
43		dmdprdpr.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
44		dmdprdpr.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
45	8, 39, 42, 43, 44	dmdprdsplit 19961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) ∧ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 })))
46		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) ∧ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 }) ↔ ((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 })))
47	45, 46	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 }))))
48	47	baibd 539	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 })))
49	48	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 }))))
50	20, 35, 49	mp2and 699	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 })))
51	19	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
52	4	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
53	51, 52	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = 𝑆)
54	34	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}))
55	23	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇)
56	54, 55	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = 𝑇)
57	56	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = (𝑍‘𝑇))
58	53, 57	sseq12d 3963	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
59	53, 56	ineq12d 4168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = (𝑆 ∩ 𝑇))
60	59	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }))
61	58, 60	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 }) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))
62	50, 61	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  {csn 4573  {cpr 4575  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  dom cdm 5614   ↾ cres 5616  Oncon0 6306   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379  0_gc0g 17343  SubGrpcsubg 19033  Cntzccntz 19227   DProd cdprd 19907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-gim 19171  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-dprd 19909

This theorem is referenced by:  dprdpr  19964