Theorem dmdprdpr 19173

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dmdprdpr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dmdprdpr	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5213	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
2		dmdprdpr.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		dprdsn 19160	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
4	1, 2, 3	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
5	4	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩})
6		dmdprdpr.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		xpscf 16840	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}:2o⟶(SubGrp‘𝐺))
9	8	ffnd 6517	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o)
10	1	prid1 4700	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
11		df2o3 8119	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
12	10, 11	eleqtrri 2914	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
13		fnressn 6922	. . . . . 6 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ ∅ ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
14	9, 12, 13	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩})
15		fvpr0o 16834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
16	2, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅) = 𝑆)
17	16	opeq2d 4812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
18	17	sneqd 4581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
19	14, 18	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
20	5, 19	breqtrrd 5096	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}))
21		1on 8111	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ On
22		dprdsn 19160	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
23	21, 6, 22	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇))
24	23	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd {⟨1o, 𝑇⟩})
25		1oex 8112	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
26	25	prid2 4701	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
27	26, 11	eleqtrri 2914	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
28		fnressn 6922	. . . . . 6 ⊢ (({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
29	9, 27, 28	sylancl 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩})
30		fvpr1o 16835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
31	6, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o) = 𝑇)
32	31	opeq2d 4812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩ = ⟨1o, 𝑇⟩)
33	32	sneqd 4581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨1o, ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩}‘1o)⟩} = {⟨1o, 𝑇⟩})
34	29, 33	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}) = {⟨1o, 𝑇⟩})
35	24, 34	breqtrrd 5096	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))
36		1n0 8121	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≠ ∅
37	36	necomi 3072	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ≠ 1o
38		disjsn2 4650	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
39	37, 38	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
40		df-pr 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
41	11, 40	eqtri 2846	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = ({∅} ∪ {1o})
42	41	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2o = ({∅} ∪ {1o}))
43		dmdprdpr.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
44		dmdprdpr.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
45	8, 39, 42, 43, 44	dmdprdsplit 19171	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) ∧ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 })))
46		3anass 1091	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) ∧ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 }) ↔ ((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 })))
47	45, 46	syl6bb 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 }))))
48	47	baibd 542	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 })))
49	48	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 }))))
50	20, 35, 49	mp2and 697	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 })))
51	19	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
52	4	simprd 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
53	51, 52	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) = 𝑆)
54	34	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}))
55	23	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1o, 𝑇⟩}) = 𝑇)
56	54, 55	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o})) = 𝑇)
57	56	fveq2d 6676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = (𝑍‘𝑇))
58	53, 57	sseq12d 4002	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)))
59	53, 56	ineq12d 4192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = (𝑆 ∩ 𝑇))
60	59	eqeq1d 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 } ↔ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }))
61	58, 60	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) ∧ ((𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd ({⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↾ {1o}))) = { 0 }) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))
62	50, 61	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩, ⟨1o, 𝑇⟩} ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569  {cpr 4571  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068  dom cdm 5557   ↾ cres 5559  Oncon0 6193   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1_oc1o 8097  2_oc2o 8098  0_gc0g 16715  SubGrpcsubg 18275  Cntzccntz 18447   DProd cdprd 19117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-gim 18401  df-cntz 18449  df-oppg 18476  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-dprd 19119

This theorem is referenced by:  dprdpr  19174