MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdpr 18729
Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdpr.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
dmdprdpr (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdpr
StepHypRef Expression
1 0ex 4952 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2 dmdprdpr.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 dprdsn 18716 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
41, 2, 3sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
54simpld 488 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩})
6 dmdprdpr.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 xpscf 16506 . . . . . . . 8 (({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
82, 6, 7sylanbrc 578 . . . . . . 7 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺))
98ffnd 6226 . . . . . 6 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
101prid1 4454 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
11 df2o3 7782 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
1210, 11eleqtrri 2843 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
13 fnressn 6621 . . . . . 6 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
149, 12, 13sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
15 xpsc0 16500 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
162, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
1716opeq2d 4568 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
1817sneqd 4348 . . . . 5 (𝜑 → {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
1914, 18eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
205, 19breqtrrd 4839 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}))
21 1on 7775 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
22 dprdsn 18716 . . . . . 6 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
2321, 6, 22sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
2423simpld 488 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
25 1oex 7776 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ V
2625prid2 4455 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
2726, 11eleqtrri 2843 . . . . . 6 1𝑜 ∈ 2𝑜
28 fnressn 6621 . . . . . 6 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
299, 27, 28sylancl 580 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
30 xpsc1 16501 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
316, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
3231opeq2d 4568 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩ = ⟨1𝑜, 𝑇⟩)
3332sneqd 4348 . . . . 5 (𝜑 → {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩} = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
3429, 33eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
3524, 34breqtrrd 4839 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))
36 1n0 7784 . . . . . . . . 9 1𝑜 ≠ ∅
3736necomi 2991 . . . . . . . 8 ∅ ≠ 1𝑜
38 disjsn2 4405 . . . . . . . 8 (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
3937, 38mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
40 df-pr 4339 . . . . . . . . 9 {∅, 1𝑜} = ({∅} ∪ {1𝑜})
4111, 40eqtri 2787 . . . . . . . 8 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜})
4241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜}))
43 dmdprdpr.z . . . . . . 7 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
44 dmdprdpr.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
458, 39, 42, 43, 44dmdprdsplit 18727 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
46 3anass 1116 . . . . . 6 (((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
4745, 46syl6bb 278 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
4847baibd 535 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
4948ex 401 . . 3 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) ∧ 𝐺dom DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }))))
5020, 35, 49mp2and 690 . 2 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 })))
5119oveq2d 6862 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
524simprd 489 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
5351, 52eqtrd 2799 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = 𝑆)
5434oveq2d 6862 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}))
5523simprd 489 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇)
5654, 55eqtrd 2799 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = 𝑇)
5756fveq2d 6383 . . . 4 (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑍𝑇))
5853, 57sseq12d 3796 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇)))
5953, 56ineq12d 3979 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑆𝑇))
6059eqeq1d 2767 . . 3 (𝜑 → (((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 } ↔ (𝑆𝑇) = { 0 }))
6158, 60anbi12d 624 . 2 (𝜑 → (((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) ∧ ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) ∩ (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = { 0 }) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
6250, 61bitrd 270 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cun 3732  cin 3733  wss 3734  c0 4081  {csn 4336  {cpr 4338  cop 4342   class class class wbr 4811  ccnv 5278  dom cdm 5279  cres 5281  Oncon0 5910   Fn wfn 6065  wf 6066  cfv 6070  (class class class)co 6846  1𝑜c1o 7761  2𝑜c2o 7762   +𝑐 ccda 9246  0gc0g 16380  SubGrpcsubg 17866  Cntzccntz 18025   DProd cdprd 18673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-tpos 7559  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-n0 11543  df-z 11629  df-uz 11892  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-hash 13327  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-mhm 17615  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-ghm 17936  df-gim 17979  df-cntz 18027  df-oppg 18053  df-lsm 18329  df-cmn 18475  df-dprd 18675
This theorem is referenced by:  dprdpr  18730
  Copyright terms: Public domain W3C validator