MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpstopnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpstopnlem1 23320
Description: The function 𝐹 used in xpsval 17518 is a homeomorphism from the binary product topology to the indexed product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpstopnlem1.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
xpstopnlem1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
xpstopnlem1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
xpstopnlem1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐽   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem xpstopnlem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpstopnlem1.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
2 xpstopnlem1.j . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 xpstopnlem1.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
4 txtopon 23102 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
6 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) = (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})
7 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ V)
96, 8, 2pt1hmeo 23317 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©}) ∈ (𝐽Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})))
10 hmeocn 23271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©}) ∈ (𝐽Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})) β†’ (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©}) ∈ (𝐽 Cn (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})))
11 cntop2 22752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©}) ∈ (𝐽 Cn (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})) β†’ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) ∈ Top)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) ∈ Top)
13 toptopon2 22427 . . . . . . . . . . 11 ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) ∈ Top ↔ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})))
1412, 13sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})))
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) = (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})
16 1on 8480 . . . . . . . . . . . . . 14 1o ∈ On
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1o ∈ On)
1815, 17, 3pt1hmeo 23317 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©}) ∈ (𝐾Homeo(∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
19 hmeocn 23271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©}) ∈ (𝐾Homeo(∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})) β†’ (𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©}) ∈ (𝐾 Cn (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
20 cntop2 22752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©}) ∈ (𝐾 Cn (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})) β†’ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ∈ Top)
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ∈ Top)
22 toptopon2 22427 . . . . . . . . . . 11 ((∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ∈ Top ↔ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
2321, 22sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
24 txtopon 23102 . . . . . . . . . 10 (((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})) ∧ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))) β†’ ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))))
2514, 23, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))))
26 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = π‘₯ β†’ βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© = βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩)
2726sneqd 4640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = π‘₯ β†’ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©} = {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩})
28 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©}) = (𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})
29 snex 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15 {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩} ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯) = {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩})
31 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑦 β†’ ⟨1o, π‘§βŸ© = ⟨1o, π‘¦βŸ©)
3231sneqd 4640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑦 β†’ {⟨1o, π‘§βŸ©} = {⟨1o, π‘¦βŸ©})
33 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©}) = (𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})
34 snex 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨1o, π‘¦βŸ©} ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ π‘Œ β†’ ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦) = {⟨1o, π‘¦βŸ©})
36 opeq12 4875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯) = {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩} ∧ ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦) = {⟨1o, π‘¦βŸ©}) β†’ ⟨((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯), ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦)⟩ = ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩)
3730, 35, 36syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯), ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦)⟩ = ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩)
3837mpoeq3ia 7489 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯), ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦)⟩) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩)
39 toponuni 22423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
402, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
41 toponuni 22423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
423, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝐾)
43 mpoeq12 7484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 = βˆͺ 𝐽 ∧ π‘Œ = βˆͺ 𝐾) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯), ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦)⟩) = (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽, 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯), ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦)⟩))
4440, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯), ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦)⟩) = (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽, 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯), ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦)⟩))
4538, 44eqtr3id 2786 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩) = (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽, 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯), ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦)⟩))
46 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
47 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
4846, 47, 9, 18txhmeo 23314 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐽, 𝑦 ∈ βˆͺ 𝐾 ↦ ⟨((𝑧 ∈ 𝑋 ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©})β€˜π‘₯), ((𝑧 ∈ π‘Œ ↦ {⟨1o, π‘§βŸ©})β€˜π‘¦)⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))))
4945, 48eqeltrd 2833 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))))
50 hmeocn 23271 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))))
52 cnf2 22760 . . . . . . . . 9 (((𝐽 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾) Cn ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
535, 25, 51, 52syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
54 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩)
5554fmpo 8056 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩ ∈ (βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩):(𝑋 Γ— π‘Œ)⟢(βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
5653, 55sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩ ∈ (βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
5756r19.21bi 3248 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩ ∈ (βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
5857r19.21bi 3248 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩ ∈ (βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
5958anasss 467 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ)) β†’ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩ ∈ (βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
60 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩))
61 vex 3478 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
62 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
6361, 62op1std 7987 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (1st β€˜π‘§) = π‘₯)
6461, 62op2ndd 7988 . . . . . . . 8 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘§) = 𝑦)
6563, 64uneq12d 4164 . . . . . . 7 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((1st β€˜π‘§) βˆͺ (2nd β€˜π‘§)) = (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
6665mpompt 7524 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})) ↦ ((1st β€˜π‘§) βˆͺ (2nd β€˜π‘§))) = (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
6766eqcomi 2741 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) = (𝑧 ∈ (βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})) ↦ ((1st β€˜π‘§) βˆͺ (2nd β€˜π‘§)))
6867a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) = (𝑧 ∈ (βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ— βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})) ↦ ((1st β€˜π‘§) βˆͺ (2nd β€˜π‘§))))
6929, 34op1std 7987 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩ β†’ (1st β€˜π‘§) = {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩})
7029, 34op2ndd 7988 . . . . . 6 (𝑧 = ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩ β†’ (2nd β€˜π‘§) = {⟨1o, π‘¦βŸ©})
7169, 70uneq12d 4164 . . . . 5 (𝑧 = ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩ β†’ ((1st β€˜π‘§) βˆͺ (2nd β€˜π‘§)) = ({βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩} βˆͺ {⟨1o, π‘¦βŸ©}))
72 df-pr 4631 . . . . 5 {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©} = ({βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩} βˆͺ {⟨1o, π‘¦βŸ©})
7371, 72eqtr4di 2790 . . . 4 (𝑧 = ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩ β†’ ((1st β€˜π‘§) βˆͺ (2nd β€˜π‘§)) = {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©})
7459, 60, 68, 73fmpoco 8083 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩)) = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ {βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩, ⟨1o, π‘¦βŸ©}))
751, 74eqtr4id 2791 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩)))
76 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})) = βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…}))
77 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})) = βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o}))
78 eqid 2732 . . . . 5 (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}) = (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})
79 eqid 2732 . . . . 5 (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})) = (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…}))
80 eqid 2732 . . . . 5 (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})) = (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o}))
81 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) = (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
82 2on 8482 . . . . . 6 2o ∈ On
8382a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2o ∈ On)
84 topontop 22422 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
852, 84syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
86 topontop 22422 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐾 ∈ Top)
873, 86syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
88 xpscf 17513 . . . . . 6 ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}:2o⟢Top ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
8985, 87, 88sylanbrc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}:2o⟢Top)
90 df2o3 8476 . . . . . . 7 2o = {βˆ…, 1o}
91 df-pr 4631 . . . . . . 7 {βˆ…, 1o} = ({βˆ…} βˆͺ {1o})
9290, 91eqtri 2760 . . . . . 6 2o = ({βˆ…} βˆͺ {1o})
9392a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2o = ({βˆ…} βˆͺ {1o}))
94 1n0 8490 . . . . . . 7 1o β‰  βˆ…
9594necomi 2995 . . . . . 6 βˆ… β‰  1o
96 disjsn2 4716 . . . . . 6 (βˆ… β‰  1o β†’ ({βˆ…} ∩ {1o}) = βˆ…)
9795, 96mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({βˆ…} ∩ {1o}) = βˆ…)
9876, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 89, 93, 97ptunhmeo 23319 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) ∈ (((∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})) Γ—t (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})))Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
99 fnpr2o 17505 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} Fn 2o)
1002, 3, 99syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} Fn 2o)
1017prid1 4766 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ {βˆ…, 1o}
102101, 90eleqtrri 2832 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ 2o
103 fnressn 7158 . . . . . . . . 9 (({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} Fn 2o ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…}) = {βŸ¨βˆ…, ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜βˆ…)⟩})
104100, 102, 103sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…}) = {βŸ¨βˆ…, ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜βˆ…)⟩})
105 fvpr0o 17507 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜βˆ…) = 𝐽)
1062, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜βˆ…) = 𝐽)
107106opeq2d 4880 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βŸ¨βˆ…, ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜βˆ…)⟩ = βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩)
108107sneqd 4640 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {βŸ¨βˆ…, ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜βˆ…)⟩} = {βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})
109104, 108eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…}) = {βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩})
110109fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})) = (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}))
111110unieqd 4922 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})) = βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}))
112 1oex 8478 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
113112prid2 4767 . . . . . . . . . 10 1o ∈ {βˆ…, 1o}
114113, 90eleqtrri 2832 . . . . . . . . 9 1o ∈ 2o
115 fnressn 7158 . . . . . . . . 9 (({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} Fn 2o ∧ 1o ∈ 2o) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o}) = {⟨1o, ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜1o)⟩})
116100, 114, 115sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o}) = {⟨1o, ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜1o)⟩})
117 fvpr1o 17508 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜1o) = 𝐾)
1183, 117syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜1o) = 𝐾)
119118opeq2d 4880 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ⟨1o, ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜1o)⟩ = ⟨1o, 𝐾⟩)
120119sneqd 4640 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {⟨1o, ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}β€˜1o)⟩} = {⟨1o, 𝐾⟩})
121116, 120eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o}) = {⟨1o, 𝐾⟩})
122121fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})) = (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))
123122unieqd 4922 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})) = βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))
124 eqidd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ βˆͺ 𝑦) = (π‘₯ βˆͺ 𝑦))
125111, 123, 124mpoeq123dv 7486 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) = (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)))
126110, 122oveq12d 7429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})) Γ—t (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o}))) = ((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩})))
127126oveq1d 7426 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {βˆ…})) Γ—t (∏tβ€˜({βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩} β†Ύ {1o})))Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})) = (((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
12898, 125, 1273eltr3d 2847 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) ∈ (((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
129 hmeoco 23283 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))) ∧ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) ∈ (((∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}) Γ—t (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}))Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩}))) β†’ ((π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
13049, 128, 129syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩}), 𝑦 ∈ βˆͺ (∏tβ€˜{⟨1o, 𝐾⟩}) ↦ (π‘₯ βˆͺ 𝑦)) ∘ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ⟨{βŸ¨βˆ…, π‘₯⟩}, {⟨1o, π‘¦βŸ©}⟩)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
13175, 130eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐾)Homeo(∏tβ€˜{βŸ¨βˆ…, 𝐽⟩, ⟨1o, 𝐾⟩})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  Oncon0 6364   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  1oc1o 8461  2oc2o 8462  βˆtcpt 17386  Topctop 22402  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735   Γ—t ctx 23071  Homeochmeo 23264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-tx 23073  df-hmeo 23266
This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  23322
  Copyright terms: Public domain W3C validator