MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dissnlocfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dissnlocfin 23553
Description: The set of singletons is locally finite in the discrete topology. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
dissnref.c 𝐶 = {𝑢 ∣ ∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥}}
Assertion
Ref Expression
dissnlocfin (𝑋𝑉𝐶 ∈ (LocFin‘𝒫 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐶,𝑥   𝑢,𝑉,𝑥   𝑢,𝑋,𝑥

Proof of Theorem dissnlocfin
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 23018 . 2 (𝑋𝑉 → 𝒫 𝑋 ∈ Top)
2 eqidd 2736 . 2 (𝑋𝑉𝑋 = 𝑋)
3 snelpwi 5454 . . . . 5 (𝑧𝑋 → {𝑧} ∈ 𝒫 𝑋)
43adantl 481 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑧𝑋) → {𝑧} ∈ 𝒫 𝑋)
5 vsnid 4668 . . . . 5 𝑧 ∈ {𝑧}
65a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ {𝑧})
7 nfv 1912 . . . . . 6 𝑢(𝑋𝑉𝑧𝑋)
8 nfrab1 3454 . . . . . 6 𝑢{𝑢𝐶 ∣ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅}
9 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑢{{𝑧}}
10 dissnref.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = {𝑢 ∣ ∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥}}
1110eqabri 2883 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐶 ↔ ∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥})
1211anbi1i 624 . . . . . . . 8 ((𝑢𝐶 ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ↔ (∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥} ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅))
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) → 𝑢 = {𝑥})
14 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑢 = {𝑥})
1514ineq1d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) ∧ 𝑥𝑧) → (𝑢 ∩ {𝑧}) = ({𝑥} ∩ {𝑧}))
16 disjsn2 4717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝑧 → ({𝑥} ∩ {𝑧}) = ∅)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) ∧ 𝑥𝑧) → ({𝑥} ∩ {𝑧}) = ∅)
1815, 17eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) ∧ 𝑥𝑧) → (𝑢 ∩ {𝑧}) = ∅)
19 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) ∧ 𝑥𝑧) → (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅)
2019neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) ∧ 𝑥𝑧) → ¬ (𝑢 ∩ {𝑧}) = ∅)
2118, 20pm2.65da 817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) → ¬ 𝑥𝑧)
22 nne 2942 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑧𝑥 = 𝑧)
2321, 22sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) → 𝑥 = 𝑧)
2423sneqd 4643 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) → {𝑥} = {𝑧})
2513, 24eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑥}) → 𝑢 = {𝑧})
2625r19.29an 3156 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ∧ ∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥}) → 𝑢 = {𝑧})
2726an32s 652 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ ∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥}) ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) → 𝑢 = {𝑧})
2827anasss 466 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ (∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥} ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅)) → 𝑢 = {𝑧})
29 sneq 4641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
3029rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑋𝑢 = {𝑧}) → ∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥})
3130adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑧}) → ∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥})
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑧}) → 𝑢 = {𝑧})
3332ineq1d 4227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑧}) → (𝑢 ∩ {𝑧}) = ({𝑧} ∩ {𝑧}))
34 inidm 4235 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑧} ∩ {𝑧}) = {𝑧}
3533, 34eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑧}) → (𝑢 ∩ {𝑧}) = {𝑧})
36 vex 3482 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ V
3736snnz 4781 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧} ≠ ∅
3837a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑧}) → {𝑧} ≠ ∅)
3935, 38eqnetrd 3006 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑧}) → (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅)
4031, 39jca 511 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑧𝑋) ∧ 𝑢 = {𝑧}) → (∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥} ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅))
4128, 40impbida 801 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑧𝑋) → ((∃𝑥𝑋 𝑢 = {𝑥} ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ↔ 𝑢 = {𝑧}))
4212, 41bitrid 283 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑧𝑋) → ((𝑢𝐶 ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅) ↔ 𝑢 = {𝑧}))
43 rabid 3455 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅} ↔ (𝑢𝐶 ∧ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅))
44 velsn 4647 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {{𝑧}} ↔ 𝑢 = {𝑧})
4542, 43, 443bitr4g 314 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑧𝑋) → (𝑢 ∈ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅} ↔ 𝑢 ∈ {{𝑧}}))
467, 8, 9, 45eqrd 4015 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑧𝑋) → {𝑢𝐶 ∣ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅} = {{𝑧}})
47 snfi 9082 . . . . 5 {{𝑧}} ∈ Fin
4846, 47eqeltrdi 2847 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑧𝑋) → {𝑢𝐶 ∣ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅} ∈ Fin)
49 eleq2 2828 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧} → (𝑧𝑦𝑧 ∈ {𝑧}))
50 ineq2 4222 . . . . . . . . 9 (𝑦 = {𝑧} → (𝑢𝑦) = (𝑢 ∩ {𝑧}))
5150neeq1d 2998 . . . . . . . 8 (𝑦 = {𝑧} → ((𝑢𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅))
5251rabbidv 3441 . . . . . . 7 (𝑦 = {𝑧} → {𝑢𝐶 ∣ (𝑢𝑦) ≠ ∅} = {𝑢𝐶 ∣ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅})
5352eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑦 = {𝑧} → ({𝑢𝐶 ∣ (𝑢𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin ↔ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅} ∈ Fin))
5449, 53anbi12d 632 . . . . 5 (𝑦 = {𝑧} → ((𝑧𝑦 ∧ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin) ↔ (𝑧 ∈ {𝑧} ∧ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅} ∈ Fin)))
5554rspcev 3622 . . . 4 (({𝑧} ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝑧 ∈ {𝑧} ∧ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢 ∩ {𝑧}) ≠ ∅} ∈ Fin)) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝑋(𝑧𝑦 ∧ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin))
564, 6, 48, 55syl12anc 837 . . 3 ((𝑋𝑉𝑧𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝑋(𝑧𝑦 ∧ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin))
5756ralrimiva 3144 . 2 (𝑋𝑉 → ∀𝑧𝑋𝑦 ∈ 𝒫 𝑋(𝑧𝑦 ∧ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin))
58 unipw 5461 . . . 4 𝒫 𝑋 = 𝑋
5958eqcomi 2744 . . 3 𝑋 = 𝒫 𝑋
6010unisngl 23551 . . 3 𝑋 = 𝐶
6159, 60islocfin 23541 . 2 (𝐶 ∈ (LocFin‘𝒫 𝑋) ↔ (𝒫 𝑋 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋𝑦 ∈ 𝒫 𝑋(𝑧𝑦 ∧ {𝑢𝐶 ∣ (𝑢𝑦) ≠ ∅} ∈ Fin)))
621, 2, 57, 61syl3anbrc 1342 1 (𝑋𝑉𝐶 ∈ (LocFin‘𝒫 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cin 3962  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912  cfv 6563  Fincfn 8984  Topctop 22915  LocFinclocfin 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-top 22916  df-locfin 23531
This theorem is referenced by:  dispcmp  33820
  Copyright terms: Public domain W3C validator