Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhffval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djhffval 39797
Description: Subspace join for DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
djhval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
djhffval (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (joinHβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐻   π‘₯,𝑀,𝑦,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐻(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑀)

Proof of Theorem djhffval
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3461 . 2 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ 𝐾 ∈ V)
2 fveq2 6839 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = (LHypβ€˜πΎ))
3 djhval.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3eqtr4di 2795 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = 𝐻)
5 fveq2 6839 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (DVecHβ€˜π‘˜) = (DVecHβ€˜πΎ))
65fveq1d 6841 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
76fveq2d 6843 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) = (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)))
87pweqd 4575 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) = 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)))
9 fveq2 6839 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (ocHβ€˜π‘˜) = (ocHβ€˜πΎ))
109fveq1d 6841 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
1110fveq1d 6841 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯))
1210fveq1d 6841 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))
1311, 12ineq12d 4171 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦)) = ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦)))
1410, 13fveq12d 6846 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))
158, 8, 14mpoeq123dv 7426 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦)))) = (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦)))))
164, 15mpteq12dv 5194 . . 3 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
17 df-djh 39796 . . 3 joinH = (π‘˜ ∈ V ↦ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
1816, 17, 3mptfvmpt 7174 . 2 (𝐾 ∈ V β†’ (joinHβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
191, 18syl 17 1 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (joinHβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443   ∩ cin 3907  π’« cpw 4558   ↦ cmpt 5186  β€˜cfv 6493   ∈ cmpo 7353  Basecbs 17043  LHypclh 38385  DVecHcdvh 39479  ocHcoch 39748  joinHcdjh 39795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-djh 39796
This theorem is referenced by:  djhfval  39798
  Copyright terms: Public domain W3C validator