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Theorem djhffval 40255
Description: Subspace join for DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
djhval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
djhffval (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (joinHβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐻   π‘₯,𝑀,𝑦,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐻(π‘₯,𝑦)   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑀)

Proof of Theorem djhffval
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . 2 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ 𝐾 ∈ V)
2 fveq2 6888 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = (LHypβ€˜πΎ))
3 djhval.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
42, 3eqtr4di 2790 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (LHypβ€˜π‘˜) = 𝐻)
5 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (DVecHβ€˜π‘˜) = (DVecHβ€˜πΎ))
65fveq1d 6890 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
76fveq2d 6892 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) = (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)))
87pweqd 4618 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) = 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)))
9 fveq2 6888 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (ocHβ€˜π‘˜) = (ocHβ€˜πΎ))
109fveq1d 6890 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€) = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€))
1110fveq1d 6890 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯))
1210fveq1d 6890 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))
1311, 12ineq12d 4212 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦)) = ((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦)))
1410, 13fveq12d 6895 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))) = (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))
158, 8, 14mpoeq123dv 7480 . . . 4 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦)))) = (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦)))))
164, 15mpteq12dv 5238 . . 3 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
17 df-djh 40254 . . 3 joinH = (π‘˜ ∈ V ↦ (𝑀 ∈ (LHypβ€˜π‘˜) ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜π‘˜)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
1816, 17, 3mptfvmpt 7226 . 2 (𝐾 ∈ V β†’ (joinHβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
191, 18syl 17 1 (𝐾 ∈ 𝑋 β†’ (joinHβ€˜πΎ) = (𝑀 ∈ 𝐻 ↦ (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)), 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)) ↦ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜((((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘₯) ∩ (((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘€)β€˜π‘¦))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3946  π’« cpw 4601   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17140  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  ocHcoch 40206  joinHcdjh 40253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-djh 40254
This theorem is referenced by:  djhfval  40256
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