![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 410 of 479) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30171) |
![]() (30172-31694) |
![]() (31695-47852) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | lcmineqlem8 40901* | Derivative of (1-x)^(N-M). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ < ๐) โ โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ โ โฆ ((1 โ ๐ฅ)โ(๐ โ ๐)))) = (๐ฅ โ โ โฆ (-(๐ โ ๐) ยท ((1 โ ๐ฅ)โ((๐ โ ๐) โ 1))))) | ||
Theorem | lcmineqlem9 40902* | (1-x)^(N-M) is continuous. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โค ๐) โ โข (๐ โ (๐ฅ โ โ โฆ ((1 โ ๐ฅ)โ(๐ โ ๐))) โ (โโcnโโ)) | ||
Theorem | lcmineqlem10 40903* | Induction step of lcmineqlem13 40906 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ < ๐) โ โข (๐ โ โซ(0[,]1)((๐ฅโ((๐ + 1) โ 1)) ยท ((1 โ ๐ฅ)โ(๐ โ (๐ + 1)))) d๐ฅ = ((๐ / (๐ โ ๐)) ยท โซ(0[,]1)((๐ฅโ(๐ โ 1)) ยท ((1 โ ๐ฅ)โ(๐ โ ๐))) d๐ฅ)) | ||
Theorem | lcmineqlem11 40904 | Induction step, continuation for binomial coefficients. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ < ๐) โ โข (๐ โ (1 / ((๐ + 1) ยท (๐C(๐ + 1)))) = ((๐ / (๐ โ ๐)) ยท (1 / (๐ ยท (๐C๐))))) | ||
Theorem | lcmineqlem12 40905* | Base case for induction. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) โ โข (๐ โ โซ(0[,]1)((๐กโ(1 โ 1)) ยท ((1 โ ๐ก)โ(๐ โ 1))) d๐ก = (1 / (1 ยท (๐C1)))) | ||
Theorem | lcmineqlem13 40906* | Induction proof for lcm integral. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข ๐น = โซ(0[,]1)((๐ฅโ(๐ โ 1)) ยท ((1 โ ๐ฅ)โ(๐ โ ๐))) d๐ฅ & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โค ๐) โ โข (๐ โ ๐น = (1 / (๐ ยท (๐C๐)))) | ||
Theorem | lcmineqlem14 40907 | Technical lemma for inequality estimate. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ ๐ธ โ โ) & โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โฅ ๐ท) & โข (๐ โ (๐ต ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ) & โข (๐ โ ๐ท โฅ ๐ธ) & โข (๐ โ (๐ด gcd ๐ต) = 1) โ โข (๐ โ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) โฅ ๐ธ) | ||
Theorem | lcmineqlem15 40908* | F times the least common multiple of 1 to n is a natural number. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.) |
โข ๐น = โซ(0[,]1)((๐ฅโ(๐ โ 1)) ยท ((1 โ ๐ฅ)โ(๐ โ ๐))) d๐ฅ & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โค ๐) โ โข (๐ โ ((lcmโ(1...๐)) ยท ๐น) โ โ) | ||
Theorem | lcmineqlem16 40909 | Technical divisibility lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โค ๐) โ โข (๐ โ (๐ ยท (๐C๐)) โฅ (lcmโ(1...๐))) | ||
Theorem | lcmineqlem17 40910 | Inequality of 2^{2n}. (Contributed by metakunt, 29-Apr-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) โ โข (๐ โ (2โ(2 ยท ๐)) โค (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐))) | ||
Theorem | lcmineqlem18 40911 | Technical lemma to shift factors in binomial coefficient. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ + 1) ยท (((2 ยท ๐) + 1)C(๐ + 1))) = (((2 ยท ๐) + 1) ยท ((2 ยท ๐)C๐))) | ||
Theorem | lcmineqlem19 40912 | Dividing implies inequality for lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) โ โข (๐ โ ((๐ ยท ((2 ยท ๐) + 1)) ยท ((2 ยท ๐)C๐)) โฅ (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) | ||
Theorem | lcmineqlem20 40913 | Inequality for lcm lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) โ โข (๐ โ (๐ ยท (2โ(2 ยท ๐))) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) | ||
Theorem | lcmineqlem21 40914 | The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ 4 โค ๐) โ โข (๐ โ (2โ((2 ยท ๐) + 2)) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1)))) | ||
Theorem | lcmineqlem22 40915 | The lcm inequality lemma without base cases 7 and 8. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ 4 โค ๐) โ โข (๐ โ ((2โ((2 ยท ๐) + 1)) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 1))) โง (2โ((2 ยท ๐) + 2)) โค (lcmโ(1...((2 ยท ๐) + 2))))) | ||
Theorem | lcmineqlem23 40916 | Penultimate step to the lcm inequality lemma. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ 9 โค ๐) โ โข (๐ โ (2โ๐) โค (lcmโ(1...๐))) | ||
Theorem | lcmineqlem 40917 | The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ 7 โค ๐) โ โข (๐ โ (2โ๐) โค (lcmโ(1...๐))) | ||
Theorem | 3exp7 40918 | 3 to the power of 7 equals 2187. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.) |
โข (3โ7) = ;;;2187 | ||
Theorem | 3lexlogpow5ineq1 40919 | First inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro (Contributed by metakunt, 22-May-2024.) |
โข 9 < ((;11 / 7)โ5) | ||
Theorem | 3lexlogpow5ineq2 40920 | Second inequality in inequality chain, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ 3 โค ๐) โ โข (๐ โ ((;11 / 7)โ5) โค ((2 logb ๐)โ5)) | ||
Theorem | 3lexlogpow5ineq4 40921 | Sharper logarithm inequality chain. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ 3 โค ๐) โ โข (๐ โ 9 < ((2 logb ๐)โ5)) | ||
Theorem | 3lexlogpow5ineq3 40922 | Combined inequality chain for a specific power of the binary logarithm, proposed by Mario Carneiro. (Contributed by metakunt, 22-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ 3 โค ๐) โ โข (๐ โ 7 < ((2 logb ๐)โ5)) | ||
Theorem | 3lexlogpow2ineq1 40923 | Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.) |
โข ((3 / 2) < (2 logb 3) โง (2 logb 3) < (5 / 3)) | ||
Theorem | 3lexlogpow2ineq2 40924 | Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.) |
โข (2 < ((2 logb 3)โ2) โง ((2 logb 3)โ2) < 3) | ||
Theorem | 3lexlogpow5ineq5 40925 | Result for bound in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.) |
โข ((2 logb 3)โ5) โค ;15 | ||
Theorem | intlewftc 40926* | Inequality inference by invoking fundamental theorem of calculus. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) & โข (๐ โ ๐น โ ((๐ด[,]๐ต)โcnโโ)) & โข (๐ โ ๐บ โ ((๐ด[,]๐ต)โcnโโ)) & โข (๐ โ ๐ท = (โ D ๐น)) & โข (๐ โ ๐ธ = (โ D ๐บ)) & โข (๐ โ ๐ท โ ((๐ด(,)๐ต)โcnโโ)) & โข (๐ โ ๐ธ โ ((๐ด(,)๐ต)โcnโโ)) & โข (๐ โ ๐ท โ ๐ฟ1) & โข (๐ โ ๐ธ โ ๐ฟ1) & โข (๐ โ ๐ท = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ๐)) & โข (๐ โ ๐ธ = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ๐)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต)) โ ๐ โค ๐) & โข (๐ โ (๐นโ๐ด) โค (๐บโ๐ด)) โ โข (๐ โ (๐นโ๐ต) โค (๐บโ๐ต)) | ||
Theorem | aks4d1lem1 40927 | Technical lemma to reduce proof size. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) โ โข (๐ โ (๐ต โ โ โง 9 < ๐ต)) | ||
Theorem | aks4d1p1p1 40928* | Exponential law for finite products, special case. (Contributed by metakunt, 22-Jul-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ+) & โข (๐ โ ๐ โ โ) โ โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐)(๐ดโ๐๐) = (๐ดโ๐ฮฃ๐ โ (1...๐)๐)) | ||
Theorem | dvrelog2 40929* | The derivative of the logarithm, ftc2 25561 version. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 0 < ๐ด) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) & โข ๐น = (๐ฅ โ (๐ด[,]๐ต) โฆ (logโ๐ฅ)) & โข ๐บ = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ (1 / ๐ฅ)) โ โข (๐ โ (โ D ๐น) = ๐บ) | ||
Theorem | dvrelog3 40930* | The derivative of the logarithm on an open interval. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ*) & โข (๐ โ ๐ต โ โ*) & โข (๐ โ 0 โค ๐ด) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) & โข ๐น = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ (logโ๐ฅ)) & โข ๐บ = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ (1 / ๐ฅ)) โ โข (๐ โ (โ D ๐น) = ๐บ) | ||
Theorem | dvrelog2b 40931* | Derivative of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 11-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ*) & โข (๐ โ ๐ต โ โ*) & โข (๐ โ 0 โค ๐ด) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) & โข ๐น = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ (2 logb ๐ฅ)) & โข ๐บ = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ (1 / (๐ฅ ยท (logโ2)))) โ โข (๐ โ (โ D ๐น) = ๐บ) | ||
Theorem | 0nonelalab 40932 | Technical lemma for open interval. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 0 < ๐ด) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) & โข (๐ โ ๐ถ โ (๐ด(,)๐ต)) โ โข (๐ โ 0 โ ๐ถ) | ||
Theorem | dvrelogpow2b 40933* | Derivative of the power of the binary logarithm. (Contributed by metakunt, 12-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 0 < ๐ด) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) & โข ๐น = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ((2 logb ๐ฅ)โ๐)) & โข ๐บ = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ (๐ถ ยท (((logโ๐ฅ)โ(๐ โ 1)) / ๐ฅ))) & โข ๐ถ = (๐ / ((logโ2)โ๐)) & โข (๐ โ ๐ โ โ) โ โข (๐ โ (โ D ๐น) = ๐บ) | ||
Theorem | aks4d1p1p3 40934 | Bound of a ceiling of the binary logarithm to the fifth power. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข (๐ โ 3 โค ๐) โ โข (๐ โ (๐โ๐(โโ(2 logb ๐ต))) < (๐โ๐(2 logb (((2 logb ๐)โ5) + 1)))) | ||
Theorem | aks4d1p1p2 40935* | Rewrite ๐ด in more suitable form. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข (๐ โ 3 โค ๐) โ โข (๐ โ ๐ด < (๐โ๐(((2 logb (((2 logb ๐)โ5) + 1)) + (((2 logb ๐)โ2) / 2)) + (((2 logb ๐)โ4) / 2)))) | ||
Theorem | aks4d1p1p4 40936* | Technical step for inequality. The hard work is in to prove the final hypothesis. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข (๐ โ 3 โค ๐) & โข ๐ถ = (2 logb (((2 logb ๐)โ5) + 1)) & โข ๐ท = ((2 logb ๐)โ2) & โข ๐ธ = ((2 logb ๐)โ4) & โข (๐ โ ((2 ยท ๐ถ) + ๐ท) โค ๐ธ) โ โข (๐ โ ๐ด < (2โ๐ต)) | ||
Theorem | dvle2 40937* | Collapsed dvle 25524. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐ด[,]๐ต) โฆ ๐ธ) โ ((๐ด[,]๐ต)โcnโโ)) & โข (๐ โ (๐ฅ โ (๐ด[,]๐ต) โฆ ๐บ) โ ((๐ด[,]๐ต)โcnโโ)) & โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ๐ธ)) = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ๐น)) & โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ๐บ)) = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ๐ป)) & โข ((๐ โง ๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต)) โ ๐น โค ๐ป) & โข (๐ฅ = ๐ด โ ๐ธ = ๐) & โข (๐ฅ = ๐ด โ ๐บ = ๐) & โข (๐ฅ = ๐ต โ ๐ธ = ๐ ) & โข (๐ฅ = ๐ต โ ๐บ = ๐) & โข (๐ โ ๐ โค ๐) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ ๐ โค ๐) | ||
Theorem | aks4d1p1p6 40938* | Inequality lift to differentiable functions for a term in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 3 โค ๐ด) & โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ (โ D (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ((2 ยท (2 logb (((2 logb ๐ฅ)โ5) + 1))) + ((2 logb ๐ฅ)โ2)))) = (๐ฅ โ (๐ด(,)๐ต) โฆ ((2 ยท ((1 / ((((2 logb ๐ฅ)โ5) + 1) ยท (logโ2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐ฅ)โ4)) ยท (1 / (๐ฅ ยท (logโ2)))) + 0))) + ((2 / ((logโ2)โ2)) ยท (((logโ๐ฅ)โ(2 โ 1)) / ๐ฅ))))) | ||
Theorem | aks4d1p1p7 40939 | Bound of intermediary of inequality step. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ 4 โค ๐ด) โ โข (๐ โ ((2 ยท ((1 / ((((2 logb ๐ด)โ5) + 1) ยท (logโ2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐ด)โ4)) ยท (1 / (๐ด ยท (logโ2)))) + 0))) + ((2 / ((logโ2)โ2)) ยท (((logโ๐ด)โ(2 โ 1)) / ๐ด))) โค ((4 / ((logโ2)โ4)) ยท (((logโ๐ด)โ3) / ๐ด))) | ||
Theorem | aks4d1p1p5 40940* | Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข (๐ โ 4 โค ๐) & โข ๐ถ = (2 logb (((2 logb ๐)โ5) + 1)) & โข ๐ท = ((2 logb ๐)โ2) & โข ๐ธ = ((2 logb ๐)โ4) โ โข (๐ โ ๐ด < (2โ๐ต)) | ||
Theorem | aks4d1p1 40941* | Show inequality for existence of a non-divisor. (Contributed by metakunt, 21-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) โ โข (๐ โ ๐ด < (2โ๐ต)) | ||
Theorem | aks4d1p2 40942 | Technical lemma for existence of non-divisor. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) โ โข (๐ โ (2โ๐ต) โค (lcmโ(1...๐ต))) | ||
Theorem | aks4d1p3 40943* | There exists a small enough number such that it does not divide ๐ด. (Contributed by metakunt, 27-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) โ โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐ต) ยฌ ๐ โฅ ๐ด) | ||
Theorem | aks4d1p4 40944* | There exists a small enough number such that it does not divide ๐ด. (Contributed by metakunt, 28-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) โ โข (๐ โ (๐ โ (1...๐ต) โง ยฌ ๐ โฅ ๐ด)) | ||
Theorem | aks4d1p5 40945* | Show that ๐ and ๐ are coprime for AKS existence theorem. Precondition will be eliminated in further theorem. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) & โข (((๐ โง 1 < (๐ gcd ๐ )) โง (๐ / (๐ gcd ๐ )) โฅ ๐ด) โ ยฌ (๐ / (๐ gcd ๐ )) โฅ ๐ด) โ โข (๐ โ (๐ gcd ๐ ) = 1) | ||
Theorem | aks4d1p6 40946* | The maximal prime power exponent is smaller than the binary logarithm floor of ๐ต. (Contributed by metakunt, 30-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐ ) & โข ๐พ = (๐ pCnt ๐ ) โ โข (๐ โ ๐พ โค (โโ(2 logb ๐ต))) | ||
Theorem | aks4d1p7d1 40947* | Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) & โข (๐ โ โ๐ โ โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ ๐)) โ โข (๐ โ ๐ โฅ (๐โ(โโ(2 logb ๐ต)))) | ||
Theorem | aks4d1p7 40948* | Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) โ โข (๐ โ โ๐ โ โ (๐ โฅ ๐ โง ยฌ ๐ โฅ ๐)) | ||
Theorem | aks4d1p8d1 40949 | If a prime divides one number ๐, but not another number ๐, then it divides the quotient of ๐ and the gcd of ๐ and ๐. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Nov-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) & โข (๐ โ ยฌ ๐ โฅ ๐) โ โข (๐ โ ๐ โฅ (๐ / (๐ gcd ๐))) | ||
Theorem | aks4d1p8d2 40950 | Any prime power dividing a positive integer is less than that integer if that integer has another prime factor. (Contributed by metakunt, 13-Nov-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐ ) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐ ) & โข (๐ โ ยฌ ๐ โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) โ โข (๐ โ (๐โ(๐ pCnt ๐ )) < ๐ ) | ||
Theorem | aks4d1p8d3 40951 | The remainder of a division with its maximal prime power is coprime with that prime power. (Contributed by metakunt, 13-Nov-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) โ โข (๐ โ ((๐ / (๐โ(๐ pCnt ๐))) gcd (๐โ(๐ pCnt ๐))) = 1) | ||
Theorem | aks4d1p8 40952* | Show that ๐ and ๐ are coprime for AKS existence theorem, with eliminated hypothesis. (Contributed by metakunt, 10-Nov-2024.) (Proof sketch by Thierry Arnoux.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) โ โข (๐ โ (๐ gcd ๐ ) = 1) | ||
Theorem | aks4d1p9 40953* | Show that the order is bound by the squared binary logarithm. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) & โข ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) โ โข (๐ โ ((2 logb ๐)โ2) < ((odโคโ๐ )โ๐)) | ||
Theorem | aks4d1 40954* | Lemma 4.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf, existence of a polynomially bounded number by the digit size of ๐ that asserts the polynomial subspace that we need to search to guarantee that ๐ is prime. Eventually we want to show that the polynomial searching space is bounded by degree ๐ต. (Contributed by metakunt, 14-Nov-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) & โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) โ โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐ต)((๐ gcd ๐) = 1 โง ((2 logb ๐)โ2) < ((odโคโ๐)โ๐))) | ||
Theorem | fldhmf1 40955 | A field homomorphism is injective. This follows immediately from the definition of the ring homomorphism that sends the multiplicative identity to the multiplicative identity. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.) |
โข (๐ โ ๐พ โ Field) & โข (๐ โ ๐ฟ โ Field) & โข (๐ โ ๐น โ (๐พ RingHom ๐ฟ)) & โข ๐ด = (Baseโ๐พ) & โข ๐ต = (Baseโ๐ฟ) โ โข (๐ โ ๐น:๐ดโ1-1โ๐ต) | ||
Theorem | aks6d1c2p1 40956* | In the AKS-theorem the subset defined by ๐ธ takes values in the positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) & โข ๐ธ = (๐ โ โ0, ๐ โ โ0 โฆ ((๐โ๐) ยท ((๐ / ๐)โ๐))) โ โข (๐ โ ๐ธ:(โ0 ร โ0)โถโ) | ||
Theorem | aks6d1c2p2 40957* | Injective condition for countability argument assuming that ๐ is not a prime power. (Contributed by metakunt, 7-Jan-2025.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) & โข ๐ธ = (๐ โ โ0, ๐ โ โ0 โฆ ((๐โ๐) ยท ((๐ / ๐)โ๐))) & โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ โฅ ๐) & โข (๐ โ ๐ โ ๐) โ โข (๐ โ ๐ธ:(โ0 ร โ0)โ1-1โโ) | ||
Theorem | 5bc2eq10 40958 | The value of 5 choose 2. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.) |
โข (5C2) = ;10 | ||
Theorem | facp2 40959 | The factorial of a successor's successor. (Contributed by metakunt, 19-Apr-2024.) |
โข (๐ โ โ0 โ (!โ(๐ + 2)) = ((!โ๐) ยท ((๐ + 1) ยท (๐ + 2)))) | ||
Theorem | 2np3bcnp1 40960 | Part of induction step for 2ap1caineq 40961. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) โ โข (๐ โ (((2 ยท (๐ + 1)) + 1)C(๐ + 1)) = ((((2 ยท ๐) + 1)C๐) ยท (2 ยท (((2 ยท ๐) + 3) / (๐ + 2))))) | ||
Theorem | 2ap1caineq 40961 | Inequality for Theorem 6.6 for AKS. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โค) & โข (๐ โ 2 โค ๐) โ โข (๐ โ (2โ(๐ + 1)) < (((2 ยท ๐) + 1)C๐)) | ||
Theorem | sticksstones1 40962* | Different strictly monotone functions have different ranges. (Contributed by metakunt, 27-Sep-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...๐) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} & โข (๐ โ ๐ โ ๐ด) & โข (๐ โ ๐ โ ๐ด) & โข (๐ โ ๐ โ ๐) & โข ๐ผ = inf({๐ง โ (1...๐พ) โฃ (๐โ๐ง) โ (๐โ๐ง)}, โ, < ) โ โข (๐ โ ran ๐ โ ran ๐) | ||
Theorem | sticksstones2 40963* | The range function on strictly monotone functions with finite domain and codomain is an injective mapping onto ๐พ-elemental sets. (Contributed by metakunt, 27-Sep-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐ต = {๐ โ ๐ซ (1...๐) โฃ (โฏโ๐) = ๐พ} & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...๐) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} & โข ๐น = (๐ง โ ๐ด โฆ ran ๐ง) โ โข (๐ โ ๐น:๐ดโ1-1โ๐ต) | ||
Theorem | sticksstones3 40964* | The range function on strictly monotone functions with finite domain and codomain is an surjective mapping onto ๐พ-elemental sets. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐ต = {๐ โ ๐ซ (1...๐) โฃ (โฏโ๐) = ๐พ} & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...๐) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} & โข ๐น = (๐ง โ ๐ด โฆ ran ๐ง) โ โข (๐ โ ๐น:๐ดโontoโ๐ต) | ||
Theorem | sticksstones4 40965* | Equinumerosity lemma for sticks and stones. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐ต = {๐ โ ๐ซ (1...๐) โฃ (โฏโ๐) = ๐พ} & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...๐) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ ๐ด โ ๐ต) | ||
Theorem | sticksstones5 40966* | Count the number of strictly monotonely increasing functions on finite domains and codomains. (Contributed by metakunt, 28-Sep-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...๐) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = (๐C๐พ)) | ||
Theorem | sticksstones6 40967* | Function induces an order isomorphism for sticks and stones theorem. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข (๐ โ ๐บ:(1...(๐พ + 1))โถโ0) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐พ)) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐พ)) & โข (๐ โ ๐ < ๐) & โข ๐น = (๐ฅ โ (1...๐พ) โฆ (๐ฅ + ฮฃ๐ โ (1...๐ฅ)(๐บโ๐))) โ โข (๐ โ (๐นโ๐) < (๐นโ๐)) | ||
Theorem | sticksstones7 40968* | Closure property of sticks and stones function. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข (๐ โ ๐บ:(1...(๐พ + 1))โถโ0) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐พ)) & โข ๐น = (๐ฅ โ (1...๐พ) โฆ (๐ฅ + ฮฃ๐ โ (1...๐ฅ)(๐บโ๐))) & โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐บโ๐) = ๐) โ โข (๐ โ (๐นโ๐) โ (1...(๐ + ๐พ))) | ||
Theorem | sticksstones8 40969* | Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 1-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐น = (๐ โ ๐ด โฆ (๐ โ (1...๐พ) โฆ (๐ + ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐โ๐)))) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...(๐พ + 1))โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...(๐ + ๐พ)) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ ๐น:๐ดโถ๐ต) | ||
Theorem | sticksstones9 40970* | Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ = 0) & โข ๐บ = (๐ โ ๐ต โฆ if(๐พ = 0, {โจ1, ๐โฉ}, (๐ โ (1...(๐พ + 1)) โฆ if(๐ = (๐พ + 1), ((๐ + ๐พ) โ (๐โ๐พ)), if(๐ = 1, ((๐โ1) โ 1), (((๐โ๐) โ (๐โ(๐ โ 1))) โ 1)))))) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...(๐พ + 1))โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...(๐ + ๐พ)) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ ๐บ:๐ตโถ๐ด) | ||
Theorem | sticksstones10 40971* | Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ) & โข ๐บ = (๐ โ ๐ต โฆ if(๐พ = 0, {โจ1, ๐โฉ}, (๐ โ (1...(๐พ + 1)) โฆ if(๐ = (๐พ + 1), ((๐ + ๐พ) โ (๐โ๐พ)), if(๐ = 1, ((๐โ1) โ 1), (((๐โ๐) โ (๐โ(๐ โ 1))) โ 1)))))) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...(๐พ + 1))โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...(๐ + ๐พ)) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ ๐บ:๐ตโถ๐ด) | ||
Theorem | sticksstones11 40972* | Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ = 0) & โข ๐น = (๐ โ ๐ด โฆ (๐ โ (1...๐พ) โฆ (๐ + ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐โ๐)))) & โข ๐บ = (๐ โ ๐ต โฆ if(๐พ = 0, {โจ1, ๐โฉ}, (๐ โ (1...(๐พ + 1)) โฆ if(๐ = (๐พ + 1), ((๐ + ๐พ) โ (๐โ๐พ)), if(๐ = 1, ((๐โ1) โ 1), (((๐โ๐) โ (๐โ(๐ โ 1))) โ 1)))))) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...(๐พ + 1))โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...(๐ + ๐พ)) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ ๐น:๐ดโ1-1-ontoโ๐ต) | ||
Theorem | sticksstones12a 40973* | Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 11-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ) & โข ๐น = (๐ โ ๐ด โฆ (๐ โ (1...๐พ) โฆ (๐ + ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐โ๐)))) & โข ๐บ = (๐ โ ๐ต โฆ if(๐พ = 0, {โจ1, ๐โฉ}, (๐ โ (1...(๐พ + 1)) โฆ if(๐ = (๐พ + 1), ((๐ + ๐พ) โ (๐โ๐พ)), if(๐ = 1, ((๐โ1) โ 1), (((๐โ๐) โ (๐โ(๐ โ 1))) โ 1)))))) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...(๐พ + 1))โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...(๐ + ๐พ)) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ โ๐ โ ๐ต (๐นโ(๐บโ๐)) = ๐) | ||
Theorem | sticksstones12 40974* | Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ) & โข ๐น = (๐ โ ๐ด โฆ (๐ โ (1...๐พ) โฆ (๐ + ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐โ๐)))) & โข ๐บ = (๐ โ ๐ต โฆ if(๐พ = 0, {โจ1, ๐โฉ}, (๐ โ (1...(๐พ + 1)) โฆ if(๐ = (๐พ + 1), ((๐ + ๐พ) โ (๐โ๐พ)), if(๐ = 1, ((๐โ1) โ 1), (((๐โ๐) โ (๐โ(๐ โ 1))) โ 1)))))) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...(๐พ + 1))โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...(๐ + ๐พ)) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ ๐น:๐ดโ1-1-ontoโ๐ต) | ||
Theorem | sticksstones13 40975* | Establish bijective mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐น = (๐ โ ๐ด โฆ (๐ โ (1...๐พ) โฆ (๐ + ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐โ๐)))) & โข ๐บ = (๐ โ ๐ต โฆ if(๐พ = 0, {โจ1, ๐โฉ}, (๐ โ (1...(๐พ + 1)) โฆ if(๐ = (๐พ + 1), ((๐ + ๐พ) โ (๐โ๐พ)), if(๐ = 1, ((๐โ1) โ 1), (((๐โ๐) โ (๐โ(๐ โ 1))) โ 1)))))) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...(๐พ + 1))โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...(๐ + ๐พ)) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ ๐น:๐ดโ1-1-ontoโ๐ต) | ||
Theorem | sticksstones14 40976* | Sticks and stones with definitions as hypotheses. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐น = (๐ โ ๐ด โฆ (๐ โ (1...๐พ) โฆ (๐ + ฮฃ๐ โ (1...๐)(๐โ๐)))) & โข ๐บ = (๐ โ ๐ต โฆ if(๐พ = 0, {โจ1, ๐โฉ}, (๐ โ (1...(๐พ + 1)) โฆ if(๐ = (๐พ + 1), ((๐ + ๐พ) โ (๐โ๐พ)), if(๐ = 1, ((๐โ1) โ 1), (((๐โ๐) โ (๐โ(๐ โ 1))) โ 1)))))) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...(๐พ + 1))โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถ(1...(๐ + ๐พ)) โง โ๐ฅ โ (1...๐พ)โ๐ฆ โ (1...๐พ)(๐ฅ < ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ) < (๐โ๐ฆ)))} โ โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = ((๐ + ๐พ)C๐พ)) | ||
Theorem | sticksstones15 40977* | Sticks and stones with almost collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...(๐พ + 1))โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...(๐พ + 1))(๐โ๐) = ๐)} โ โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = ((๐ + ๐พ)C๐พ)) | ||
Theorem | sticksstones16 40978* | Sticks and stones with collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 20-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...๐พ)(๐โ๐) = ๐)} โ โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = ((๐ + (๐พ โ 1))C(๐พ โ 1))) | ||
Theorem | sticksstones17 40979* | Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...๐พ)(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {โ โฃ (โ:๐โถโ0 โง ฮฃ๐ โ ๐ (โโ๐) = ๐)} & โข (๐ โ ๐:(1...๐พ)โ1-1-ontoโ๐) & โข ๐บ = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ฆ โ (1...๐พ) โฆ (๐โ(๐โ๐ฆ)))) โ โข (๐ โ ๐บ:๐ตโถ๐ด) | ||
Theorem | sticksstones18 40980* | Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...๐พ)(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {โ โฃ (โ:๐โถโ0 โง ฮฃ๐ โ ๐ (โโ๐) = ๐)} & โข (๐ โ ๐:(1...๐พ)โ1-1-ontoโ๐) & โข ๐น = (๐ โ ๐ด โฆ (๐ฅ โ ๐ โฆ (๐โ(โก๐โ๐ฅ)))) โ โข (๐ โ ๐น:๐ดโถ๐ต) | ||
Theorem | sticksstones19 40981* | Extend sticks and stones to finite sets, bijective builder. (Contributed by metakunt, 23-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐พ โ โ0) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...๐พ)(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {โ โฃ (โ:๐โถโ0 โง ฮฃ๐ โ ๐ (โโ๐) = ๐)} & โข (๐ โ ๐:(1...๐พ)โ1-1-ontoโ๐) & โข ๐น = (๐ โ ๐ด โฆ (๐ฅ โ ๐ โฆ (๐โ(โก๐โ๐ฅ)))) & โข ๐บ = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ฆ โ (1...๐พ) โฆ (๐โ(๐โ๐ฆ)))) โ โข (๐ โ ๐น:๐ดโ1-1-ontoโ๐ต) | ||
Theorem | sticksstones20 40982* | Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakung, 24-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข (๐ โ ๐พ โ โ) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:(1...๐พ)โถโ0 โง ฮฃ๐ โ (1...๐พ)(๐โ๐) = ๐)} & โข ๐ต = {โ โฃ (โ:๐โถโ0 โง ฮฃ๐ โ ๐ (โโ๐) = ๐)} & โข (๐ โ (โฏโ๐) = ๐พ) โ โข (๐ โ (โฏโ๐ต) = ((๐ + (๐พ โ 1))C(๐พ โ 1))) | ||
Theorem | sticksstones21 40983* | Lift sticks and stones to arbitrary finite non-empty sets. (Contributed by metakunt, 24-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข (๐ โ ๐ โ โ ) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:๐โถโ0 โง ฮฃ๐ โ ๐ (๐โ๐) = ๐)} โ โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = ((๐ + ((โฏโ๐) โ 1))C((โฏโ๐) โ 1))) | ||
Theorem | sticksstones22 40984* | Non-exhaustive sticks and stones. (Contributed by metakunt, 26-Oct-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ0) & โข (๐ โ ๐ โ Fin) & โข (๐ โ ๐ โ โ ) & โข ๐ด = {๐ โฃ (๐:๐โถโ0 โง ฮฃ๐ โ ๐ (๐โ๐) โค ๐)} โ โข (๐ โ (โฏโ๐ด) = ((๐ + (โฏโ๐))C(โฏโ๐))) | ||
Theorem | metakunt1 40985* | A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) โ โข (๐ โ ๐ด:(1...๐)โถ(1...๐)) | ||
Theorem | metakunt2 40986* | A is an endomapping. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐, ๐ผ, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ + 1)))) โ โข (๐ โ ๐ด:(1...๐)โถ(1...๐)) | ||
Theorem | metakunt3 40987* | Value of A. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข (๐ โ (๐ดโ๐) = if(๐ = ๐ผ, ๐, if(๐ < ๐ผ, ๐, (๐ โ 1)))) | ||
Theorem | metakunt4 40988* | Value of A. (Contributed by metakunt, 23-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐, ๐ผ, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข (๐ โ (๐ดโ๐) = if(๐ = ๐, ๐ผ, if(๐ < ๐ผ, ๐, (๐ + 1)))) | ||
Theorem | metakunt5 40989* | C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข ((๐ โง ๐ = ๐ผ) โ (๐ถโ(๐ดโ๐)) = ๐) | ||
Theorem | metakunt6 40990* | C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข ((๐ โง ๐ < ๐ผ) โ (๐ถโ(๐ดโ๐)) = ๐) | ||
Theorem | metakunt7 40991* | C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข ((๐ โง ๐ผ < ๐) โ ((๐ดโ๐) = (๐ โ 1) โง ยฌ (๐ดโ๐) = ๐ โง ยฌ (๐ดโ๐) < ๐ผ)) | ||
Theorem | metakunt8 40992* | C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข ((๐ โง ๐ผ < ๐) โ (๐ถโ(๐ดโ๐)) = ๐) | ||
Theorem | metakunt9 40993* | C is the left inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข (๐ โ (๐ถโ(๐ดโ๐)) = ๐) | ||
Theorem | metakunt10 40994* | C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข ((๐ โง ๐ = ๐) โ (๐ดโ(๐ถโ๐)) = ๐) | ||
Theorem | metakunt11 40995* | C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 24-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข ((๐ โง ๐ < ๐ผ) โ (๐ดโ(๐ถโ๐)) = ๐) | ||
Theorem | metakunt12 40996* | C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข ((๐ โง ยฌ (๐ = ๐ โจ ๐ < ๐ผ)) โ (๐ดโ(๐ถโ๐)) = ๐) | ||
Theorem | metakunt13 40997* | C is the right inverse for A. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) & โข (๐ โ ๐ โ (1...๐)) โ โข (๐ โ (๐ดโ(๐ถโ๐)) = ๐) | ||
Theorem | metakunt14 40998* | A is a primitive permutation that moves the I-th element to the end and C is its inverse that moves the last element back to the I-th position. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐ด = (๐ฅ โ (1...๐) โฆ if(๐ฅ = ๐ผ, ๐, if(๐ฅ < ๐ผ, ๐ฅ, (๐ฅ โ 1)))) & โข ๐ถ = (๐ฆ โ (1...๐) โฆ if(๐ฆ = ๐, ๐ผ, if(๐ฆ < ๐ผ, ๐ฆ, (๐ฆ + 1)))) โ โข (๐ โ (๐ด:(1...๐)โ1-1-ontoโ(1...๐) โง โก๐ด = ๐ถ)) | ||
Theorem | metakunt15 40999* | Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐น = (๐ฅ โ (1...(๐ผ โ 1)) โฆ (๐ฅ + (๐ โ ๐ผ))) โ โข (๐ โ ๐น:(1...(๐ผ โ 1))โ1-1-ontoโ(((๐ โ ๐ผ) + 1)...(๐ โ 1))) | ||
Theorem | metakunt16 41000* | Construction of another permutation. (Contributed by metakunt, 25-May-2024.) |
โข (๐ โ ๐ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โ โ) & โข (๐ โ ๐ผ โค ๐) & โข ๐น = (๐ฅ โ (๐ผ...(๐ โ 1)) โฆ (๐ฅ + (1 โ ๐ผ))) โ โข (๐ โ ๐น:(๐ผ...(๐ โ 1))โ1-1-ontoโ(1...(๐ โ ๐ผ))) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |