Theorem dmresi 5923

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3993	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5793	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 4006	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 5878	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 232	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1537  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938   I cid 5461  dom cdm 5557   ↾ cres 5559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-dm 5567  df-res 5569

This theorem is referenced by:  fnresiOLD  6479  iordsmo  7996  residfi  8807  hartogslem1  9008  dfac9  9564  hsmexlem5  9854  relexpdmg  14403  relexpfld  14410  relexpaddg  14414  dirdm  17846  islinds2  20959  lindsind2  20965  f1linds  20971  wilthlem3  25649  ausgrusgrb  26952  usgrres1  27099  usgrexilem  27224  filnetlem3  33730  filnetlem4  33731  rclexi  39982  cnvrcl0  39992  dfrtrcl5  39996  dfrcl2  40026  brfvrcld2  40044  iunrelexp0  40054  relexpiidm  40056  relexp01min  40065  ushrisomgr  44013  uspgrsprfo  44030