Theorem dmresi 6012

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3968	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5875	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3993	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 5973	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 230	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1540  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911   I cid 5525  dom cdm 5631   ↾ cres 5633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-res 5643

This theorem is referenced by:  iordsmo  8303  residfi  9265  hartogslem1  9471  dfac9  10066  hsmexlem5  10359  relexpdmg  14984  relexpfld  14991  relexpaddg  14995  dirdm  18541  islinds2  21755  lindsind2  21761  f1linds  21767  wilthlem3  27013  ausgrusgrb  29145  usgrres1  29295  usgrexilem  29420  filnetlem3  36361  filnetlem4  36362  rclexi  43597  dfrtrcl5  43611  dfrcl2  43656  brfvrcld2  43674  iunrelexp0  43684  relexpiidm  43686  relexp01min  43695  ushggricedg  47920  stgrusgra  47951  gpgiedgdmel  48033  gpgusgra  48041  uspgrsprfo  48129