Theorem dmresi 6049

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3936	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5907	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3961	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 6009	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 233	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   I cid 5548  dom cdm 5654   ↾ cres 5656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2101  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-dm 5664  df-res 5666

This theorem is used by:  iordsmo  8376  residfi  9338  hartogslem1  9546  dfac9  10225  hsmexlem5  10518  relexpdmg  15207  relexpfld  15214  relexpaddg  15218  dirdm  18786  islinds2  22131  lindsind2  22137  f1linds  22143  wilthlem3  27409  ausgrusgrb  29758  usgrres1  29908  usgrexilem  30033  filnetlem3  37295  filnetlem4  37296  rclexi  44755  dfrtrcl5  44769  dfrcl2  44814  brfvrcld2  44832  iunrelexp0  44842  relexpiidm  44844  relexp01min  44853  ushggricedg  49164  stgrusgra  49196  gpgiedgdmel  49286  gpgusgra  49294  uspgrsprfo  49385  termccofix  50810