Theorem dmresi 6017

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3946	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5876	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3971	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 5978	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 230	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   I cid 5525  dom cdm 5631   ↾ cres 5633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-res 5643

This theorem is referenced by:  iordsmo  8297  residfi  9248  hartogslem1  9457  dfac9  10059  hsmexlem5  10352  relexpdmg  15004  relexpfld  15011  relexpaddg  15015  dirdm  18566  islinds2  21793  lindsind2  21799  f1linds  21805  wilthlem3  27033  ausgrusgrb  29234  usgrres1  29384  usgrexilem  29509  filnetlem3  36562  filnetlem4  36563  rclexi  44042  dfrtrcl5  44056  dfrcl2  44101  brfvrcld2  44119  iunrelexp0  44129  relexpiidm  44131  relexp01min  44140  ushggricedg  48403  stgrusgra  48435  gpgiedgdmel  48525  gpgusgra  48533  uspgrsprfo  48624