Theorem dmresi 5950

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3941	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5819	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3954	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 5903	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 229	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1539  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   I cid 5479  dom cdm 5580   ↾ cres 5582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-dm 5590  df-res 5592

This theorem is referenced by:  fnresiOLD  6546  iordsmo  8159  residfi  9030  hartogslem1  9231  dfac9  9823  hsmexlem5  10117  relexpdmg  14681  relexpfld  14688  relexpaddg  14692  dirdm  18233  islinds2  20930  lindsind2  20936  f1linds  20942  wilthlem3  26124  ausgrusgrb  27438  usgrres1  27585  usgrexilem  27710  filnetlem3  34496  filnetlem4  34497  rclexi  41112  cnvrcl0  41122  dfrtrcl5  41126  dfrcl2  41171  brfvrcld2  41189  iunrelexp0  41199  relexpiidm  41201  relexp01min  41210  ushrisomgr  45181  uspgrsprfo  45198