Theorem dmresi 5962

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3947	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5834	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3960	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 5917	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 229	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1537  Vcvv 3434   ⊆ wss 3889   I cid 5490  dom cdm 5591   ↾ cres 5593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2063  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-br 5078  df-opab 5140  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-dm 5601  df-res 5603

This theorem is referenced by:  iordsmo  8208  residfi  9128  hartogslem1  9329  dfac9  9920  hsmexlem5  10214  relexpdmg  14781  relexpfld  14788  relexpaddg  14792  dirdm  18346  islinds2  21048  lindsind2  21054  f1linds  21060  wilthlem3  26247  ausgrusgrb  27563  usgrres1  27710  usgrexilem  27835  filnetlem3  34597  filnetlem4  34598  rclexi  41247  cnvrcl0  41257  dfrtrcl5  41261  dfrcl2  41306  brfvrcld2  41324  iunrelexp0  41334  relexpiidm  41336  relexp01min  41345  ushrisomgr  45333  uspgrsprfo  45350