Theorem dmresi 5888

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3939	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5755	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3952	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 5841	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 233	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1538  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   I cid 5424  dom cdm 5519   ↾ cres 5521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-dm 5529  df-res 5531

This theorem is referenced by:  fnresiOLD  6449  iordsmo  7977  residfi  8789  hartogslem1  8990  dfac9  9547  hsmexlem5  9841  relexpdmg  14393  relexpfld  14400  relexpaddg  14404  dirdm  17836  islinds2  20502  lindsind2  20508  f1linds  20514  wilthlem3  25655  ausgrusgrb  26958  usgrres1  27105  usgrexilem  27230  filnetlem3  33841  filnetlem4  33842  rclexi  40315  cnvrcl0  40325  dfrtrcl5  40329  dfrcl2  40375  brfvrcld2  40393  iunrelexp0  40403  relexpiidm  40405  relexp01min  40414  ushrisomgr  44359  uspgrsprfo  44376