Theorem dmresi 6062

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3937	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5915	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3962	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 6021	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 233	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   I cid 5552  dom cdm 5658   ↾ cres 5660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-dm 5668  df-res 5670

This theorem is used by:  iordsmo  8403  residfi  9365  hartogslem1  9573  dfac9  10254  hsmexlem5  10547  relexpdmg  15238  relexpfld  15245  relexpaddg  15249  dirdm  18824  islinds2  22174  lindsind2  22180  f1linds  22186  wilthlem3  27454  ausgrusgrb  29803  usgrres1  29953  usgrexilem  30078  filnetlem3  37383  filnetlem4  37384  rclexi  44876  dfrtrcl5  44890  dfrcl2  44935  brfvrcld2  44953  iunrelexp0  44963  relexpiidm  44965  relexp01min  44974  ushggricedg  49298  stgrusgra  49330  gpgiedgdmel  49420  gpgusgra  49428  uspgrsprfo  49519  termccofix  51002