Theorem dmresi 6012

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3947	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5871	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3972	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 5973	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 230	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   I cid 5519  dom cdm 5625   ↾ cres 5627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-dm 5635  df-res 5637

This theorem is referenced by:  iordsmo  8291  residfi  9242  hartogslem1  9451  dfac9  10053  hsmexlem5  10346  relexpdmg  14998  relexpfld  15005  relexpaddg  15009  dirdm  18560  islinds2  21806  lindsind2  21812  f1linds  21818  wilthlem3  27050  ausgrusgrb  29251  usgrres1  29401  usgrexilem  29526  filnetlem3  36581  filnetlem4  36582  rclexi  44063  dfrtrcl5  44077  dfrcl2  44122  brfvrcld2  44140  iunrelexp0  44150  relexpiidm  44152  relexp01min  44161  ushggricedg  48418  stgrusgra  48450  gpgiedgdmel  48540  gpgusgra  48548  uspgrsprfo  48639