Theorem dmresi 6048

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3955	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5905	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3980	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 6006	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 233	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   I cid 5549  dom cdm 5655   ↾ cres 5657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-dm 5665  df-res 5667

This theorem is used by:  iordsmo  8347  residfi  9308  hartogslem1  9517  dfac9  10142  hsmexlem5  10435  relexpdmg  15118  relexpfld  15125  relexpaddg  15129  dirdm  18691  islinds2  22029  lindsind2  22035  f1linds  22041  wilthlem3  27309  ausgrusgrb  29628  usgrres1  29778  usgrexilem  29903  filnetlem3  37002  filnetlem4  37003  rclexi  44458  dfrtrcl5  44472  dfrcl2  44517  brfvrcld2  44535  iunrelexp0  44545  relexpiidm  44547  relexp01min  44556  ushggricedg  48846  stgrusgra  48878  gpgiedgdmel  48968  gpgusgra  48976  uspgrsprfo  49067