Theorem dmresi 6044

Description: The domain of a restricted identity function. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmresi	⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmresi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3955	. . 3 ⊢ 𝐴 ⊆ V
2		dmi 5903	. . 3 ⊢ dom I = V
3	1, 2	sseqtrri 3980	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ dom I
4		ssdmres 6004	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ dom I ↔ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴)
5	3, 4	mpbi 233	1 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   I cid 5545  dom cdm 5651   ↾ cres 5653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-dm 5661  df-res 5663

This theorem is used by:  iordsmo  8365  residfi  9327  hartogslem1  9536  dfac9  10215  hsmexlem5  10508  relexpdmg  15195  relexpfld  15202  relexpaddg  15206  dirdm  18774  islinds2  22119  lindsind2  22125  f1linds  22131  wilthlem3  27397  ausgrusgrb  29746  usgrres1  29896  usgrexilem  30021  filnetlem3  37168  filnetlem4  37169  rclexi  44614  dfrtrcl5  44628  dfrcl2  44673  brfvrcld2  44691  iunrelexp0  44701  relexpiidm  44703  relexp01min  44712  ushggricedg  49024  stgrusgra  49056  gpgiedgdmel  49146  gpgusgra  49154  uspgrsprfo  49245