MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wilthlem3 26574
Description: Lemma for wilth 26575. Here we round out the argument of wilthlem2 26573 with the final step of the induction. The induction argument shows that every subset of 1...(𝑃 βˆ’ 1) that is closed under inverse and contains 𝑃 βˆ’ 1 multiplies to -1 mod 𝑃, and clearly 1...(𝑃 βˆ’ 1) itself is such a set. Thus, the product of all the elements is -1, and all that is left is to translate the group sum notation (which we used for its unordered summing capabilities) into an ordered sequence to match the definition of the factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wilthlem.t 𝑇 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
wilthlem.a 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝒫 (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∣ ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ π‘₯)}
Assertion
Ref Expression
wilthlem3 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) + 1))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝑃,𝑦   π‘₯,𝑇,𝑦

Proof of Theorem wilthlem3
Dummy variables 𝑑 𝑠 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 16633 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 uz2m1nn 12907 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•)
4 nnuz 12865 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
53, 4eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
6 eluzfz2 13509 . . . . . 6 ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
8 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
9 elfzelz 13501 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
109adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
11 prmnn 16611 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
12 fzm1ndvds 16265 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„• ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝑦)
1311, 12sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝑦)
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)
1514prmdiv 16718 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ β„€ ∧ Β¬ 𝑃 βˆ₯ 𝑦) β†’ (((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∧ 𝑃 βˆ₯ ((𝑦 Β· ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) βˆ’ 1)))
168, 10, 13, 15syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ (((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∧ 𝑃 βˆ₯ ((𝑦 Β· ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃)) βˆ’ 1)))
1716simpld 496 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
1817ralrimiva 3147 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
19 ovex 7442 . . . . . . 7 (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ V
2019pwid 4625 . . . . . 6 (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 βˆ’ 1))
21 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ↔ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))
22 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ π‘₯ ↔ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))
2322raleqbi1dv 3334 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))
2421, 23anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘₯ = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ π‘₯) ↔ ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))))
25 wilthlem.a . . . . . . 7 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝒫 (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∣ ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ π‘₯)}
2624, 25elrab2 3687 . . . . . 6 ((1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))))
2720, 26mpbiran 708 . . . . 5 ((1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))((𝑦↑(𝑃 βˆ’ 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))
287, 18, 27sylanbrc 584 . . . 4 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝐴)
29 fzfi 13937 . . . . 5 (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ Fin
30 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↔ 𝑑 ∈ 𝐴))
31 reseq2 5977 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑑 β†’ ( I β†Ύ 𝑠) = ( I β†Ύ 𝑑))
3231oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) = (𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑑)))
3332oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑑)) mod 𝑃))
3433eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ (((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑑)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
3530, 34imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑑)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
3635imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑑)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
37 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑠 = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ↔ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝐴))
38 reseq2 5977 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ ( I β†Ύ 𝑠) = ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))
3938oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) = (𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))))
4039oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) mod 𝑃))
4140eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝑠 = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
4237, 41imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑠 = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
4342imbi2d 341 . . . . . 6 (𝑠 = (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
44 bi2.04 389 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) ↔ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
45 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) β†’ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
4645com34 91 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
4744, 46biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
4847alimdv 1920 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) β†’ βˆ€π‘ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
49 df-ral 3063 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ βˆ€π‘ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
5048, 49syl6ibr 252 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
51 wilthlem.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
52 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
53 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
54 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
5551, 25, 52, 53, 54wilthlem2 26573 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑑)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
56553exp 1120 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑑)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
5750, 56syldc 48 . . . . . . 7 (βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑑)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝑑 ∈ Fin β†’ (βˆ€π‘ (𝑠 ⊊ 𝑑 β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ 𝑑)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
5936, 43, 58findcard3 9285 . . . . 5 ((1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ Fin β†’ (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
6029, 59ax-mp 5 . . . 4 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ 𝐴 β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
6128, 60mpd 15 . . 3 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
62 cnfld1 20970 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
6351, 62ringidval 20006 . . . . 5 1 = (0gβ€˜π‘‡)
64 cncrng 20966 . . . . . 6 β„‚fld ∈ CRing
6551crngmgp 20064 . . . . . 6 (β„‚fld ∈ CRing β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
6664, 65mp1i 13 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
6729a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
68 zsubrg 20998 . . . . . 6 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
6951subrgsubm 20332 . . . . . 6 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜π‘‡))
7068, 69mp1i 13 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜π‘‡))
71 f1oi 6872 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))–1-1-ontoβ†’(1...(𝑃 βˆ’ 1))
72 f1of 6834 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))–1-1-ontoβ†’(1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))⟢(1...(𝑃 βˆ’ 1)))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))⟢(1...(𝑃 βˆ’ 1))
74 fzssz 13503 . . . . . . 7 (1...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† β„€
75 fss 6735 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))⟢(1...(𝑃 βˆ’ 1)) ∧ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) βŠ† β„€) β†’ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))βŸΆβ„€)
7673, 74, 75mp2an 691 . . . . . 6 ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))βŸΆβ„€
7776a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))βŸΆβ„€)
78 1ex 11210 . . . . . . 7 1 ∈ V
7978a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 1 ∈ V)
8077, 67, 79fdmfifsupp 9373 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) finSupp 1)
8163, 66, 67, 70, 77, 80gsumsubmcl 19787 . . . 4 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ β„€)
82 1z 12592 . . . . 5 1 ∈ β„€
83 znegcl 12597 . . . . 5 (1 ∈ β„€ β†’ -1 ∈ β„€)
8482, 83mp1i 13 . . . 4 (𝑃 ∈ β„™ β†’ -1 ∈ β„€)
85 moddvds 16208 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) β†’ (((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ’ -1)))
8611, 81, 84, 85syl3anc 1372 . . 3 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ’ -1)))
8761, 86mpbid 231 . 2 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ’ -1))
88 fcoi1 6766 . . . . . . . . . 10 (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))⟢(1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) ∘ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) = ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))
8973, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) ∘ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) = ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
9089fveq1i 6893 . . . . . . . 8 ((( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) ∘ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))β€˜π‘˜) = (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))β€˜π‘˜)
91 fvres 6911 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))β€˜π‘˜) = ( I β€˜π‘˜))
9290, 91eqtrid 2785 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ ((( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) ∘ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))β€˜π‘˜) = ( I β€˜π‘˜))
9392adantl 483 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ π‘˜ ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ ((( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) ∘ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))β€˜π‘˜) = ( I β€˜π‘˜))
945, 93seqfveq 13992 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (seq1( Β· , (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) ∘ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))))β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) = (seq1( Β· , I )β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
95 cnfldbas 20948 . . . . . . 7 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
9651, 95mgpbas 19993 . . . . . 6 β„‚ = (Baseβ€˜π‘‡)
97 cnfldmul 20950 . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
9851, 97mgpplusg 19991 . . . . . 6 Β· = (+gβ€˜π‘‡)
99 eqid 2733 . . . . . 6 (Cntzβ€˜π‘‡) = (Cntzβ€˜π‘‡)
100 cnring 20967 . . . . . . 7 β„‚fld ∈ Ring
10151ringmgp 20062 . . . . . . 7 (β„‚fld ∈ Ring β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
102100, 101mp1i 13 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
103 zsscn 12566 . . . . . . . 8 β„€ βŠ† β„‚
104 fss 6735 . . . . . . . 8 ((( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))βŸΆβ„€ ∧ β„€ βŠ† β„‚) β†’ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))βŸΆβ„‚)
10576, 103, 104mp2an 691 . . . . . . 7 ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))βŸΆβ„‚
106105a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))βŸΆβ„‚)
10796, 99, 66, 106cntzcmnf 19713 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ran ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) βŠ† ((Cntzβ€˜π‘‡)β€˜ran ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))))
108 f1of1 6833 . . . . . . 7 (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))–1-1-ontoβ†’(1...(𝑃 βˆ’ 1)) β†’ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))–1-1β†’(1...(𝑃 βˆ’ 1)))
10971, 108mp1i 13 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))):(1...(𝑃 βˆ’ 1))–1-1β†’(1...(𝑃 βˆ’ 1)))
110 suppssdm 8162 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) supp 1) βŠ† dom ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
111 dmresi 6052 . . . . . . . . 9 dom ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) = (1...(𝑃 βˆ’ 1))
112110, 111sseqtri 4019 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) supp 1) βŠ† (1...(𝑃 βˆ’ 1))
113 rnresi 6075 . . . . . . . 8 ran ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) = (1...(𝑃 βˆ’ 1))
114112, 113sseqtrri 4020 . . . . . . 7 (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) supp 1) βŠ† ran ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
115114a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) supp 1) βŠ† ran ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))))
116 eqid 2733 . . . . . 6 ((( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) ∘ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) supp 1) = ((( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) ∘ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) supp 1)
11796, 63, 98, 99, 102, 67, 106, 107, 3, 109, 115, 116gsumval3 19775 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) = (seq1( Β· , (( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) ∘ ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))))β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
118 facnn 14235 . . . . . 6 ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„• β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) = (seq1( Β· , I )β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
1193, 118syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) = (seq1( Β· , I )β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
12094, 117, 1193eqtr4d 2783 . . . 4 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) = (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)))
121120oveq1d 7424 . . 3 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ’ -1) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ’ -1))
122 nnm1nn0 12513 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ β„• β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
12311, 122syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
124123faccld 14244 . . . . 5 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„•)
125124nncnd 12228 . . . 4 (𝑃 ∈ β„™ β†’ (!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
126 ax-1cn 11168 . . . 4 1 ∈ β„‚
127 subneg 11509 . . . 4 (((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ’ -1) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) + 1))
128125, 126, 127sylancl 587 . . 3 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) βˆ’ -1) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) + 1))
129121, 128eqtrd 2773 . 2 (𝑃 ∈ β„™ β†’ ((𝑇 Ξ£g ( I β†Ύ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))) βˆ’ -1) = ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) + 1))
13087, 129breqtrd 5175 1 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((!β€˜(𝑃 βˆ’ 1)) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949   ⊊ wpss 3950  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   I cid 5574  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484   mod cmo 13834  seqcseq 13966  β†‘cexp 14027  !cfa 14233   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608   Ξ£g cgsu 17386  Mndcmnd 18625  SubMndcsubmnd 18670  Cntzccntz 19179  CMndccmn 19648  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  SubRingcsubrg 20315  β„‚fldccnfld 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-cnfld 20945
This theorem is referenced by:  wilth  26575
  Copyright terms: Public domain W3C validator