Theorem wilthlem3 27379

Description: Lemma for wilth 27380. Here we round out the argument of wilthlem2 27378 with the final step of the induction. The induction argument shows that every subset of 1...(𝑃 − 1) that is closed under inverse and contains 𝑃 − 1 multiplies to -1 mod 𝑃, and clearly 1...(𝑃 − 1) itself is such a set. Thus, the product of all the elements is -1, and all that is left is to translate the group sum notation (which we used for its unordered summing capabilities) into an ordered sequence to match the definition of the factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wilthlem.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
wilthlem.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
wilthlem3	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem wilthlem3

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2		uz2m1nn 13031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
4		nnuz 12985	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
6		eluzfz2 13645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
8		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
9		elfzelz 13637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
10	9	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 ∈ ℤ)
11		prmnn 16829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12		fzm1ndvds 16472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑦)
13	11, 12	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑦)
14		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
15	14	prmdiv 16942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑦) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑦 · ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
16	8, 10, 13, 15	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑦 · ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
17	16	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
18	17	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
19		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
20	19	pwid 4580	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1))
21		eleq2 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
22		eleq2 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
23	22	raleqbi1dv 3330	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
24	21, 23	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))))
25		wilthlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
26	24, 25	elrab2 3649	. . . . . 6 ⊢ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))))
27	20, 26	mpbiran 722	. . . . 5 ⊢ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
28	7, 18, 27	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴)
29		fzfi 14095	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin
30		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↔ 𝑡 ∈ 𝐴))
31		reseq2 5965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ 𝑡))
32	31	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)))
33	32	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃))
34	33	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35	30, 34	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
36	35	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
37		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → (𝑠 ∈ 𝐴 ↔ (1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴))
38		reseq2 5965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))
39	38	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))
40	39	oveq1d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃))
41	40	eqeq1d 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
42	37, 41	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
43	42	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
44		bi2.04 392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
45		pm2.27 43	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
46	45	com34 92	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
47	44, 46	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
48	47	alimdv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → ∀𝑠(𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
49		df-ral 3078	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
50	48, 49	imbitrrdi 255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
51		wilthlem.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
52		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
53		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑡 ∈ 𝐴)
54		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
55	51, 25, 52, 53, 54	wilthlem2 27378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
56	55	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
57	50, 56	syldc 49	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ Fin → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
59	36, 43, 58	findcard3 9258	. . . . 5 ⊢ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin → (𝑃 ∈ ℙ → ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
60	29, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
61	28, 60	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
62		cnfld1 21683	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
63	51, 62	ringidval 20389	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑇)
64		cncrng 21679	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
65	51	crngmgp 20447	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
66	64, 65	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑇 ∈ CMnd)
67	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin)
68		zsubrg 21706	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
69	51	subrgsubm 20817	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
70	68, 69	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
71		f1oi 6855	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑃 − 1))
72		f1of 6816	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑃 − 1)) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1)))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1))
74		fzssz 13639	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ
75		fss 6718	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1)) ∧ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ)
76	73, 74, 75	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ
77	76	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ)
78		1ex 11284	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
79	78	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ V)
80	77, 67, 79	fdmfifsupp 9351	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) finSupp 1)
81	63, 66, 67, 70, 77, 80	gsumsubmcl 20113	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
82		1z 12707	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
83		znegcl 12712	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
84	82, 83	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → -1 ∈ ℤ)
85		moddvds 16413	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1)))
86	11, 81, 84, 85	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1)))
87	61, 86	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1))
88		fcoi1 6748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1)) → (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))
89	73, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))
90	89	fveq1i 6878	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))‘𝑘) = (( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))‘𝑘)
91		fvres 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → (( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))‘𝑘) = ( I ‘𝑘))
92	90, 91	eqtrid 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))‘𝑘) = ( I ‘𝑘))
93	92	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))‘𝑘) = ( I ‘𝑘))
94	5, 93	seqfveq 14149	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (seq1( · , (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))‘(𝑃 − 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑃 − 1)))
95		cnfldbas 21662	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
96	51, 95	mgpbas 20345	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑇)
97		cnfldmul 21666	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
98	51, 97	mgpplusg 20344	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘𝑇)
99		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑇) = (Cntz‘𝑇)
100		cnring 21680	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
101	51	ringmgp 20445	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
102	100, 101	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑇 ∈ Mnd)
103		zsscn 12682	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
104		fss 6718	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℂ)
105	76, 103, 104	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℂ
106	105	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℂ)
107	96, 99, 66, 106	cntzcmnf 20039	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ⊆ ((Cntz‘𝑇)‘ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))
108		f1of1 6815	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑃 − 1)) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1→(1...(𝑃 − 1)))
109	71, 108	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1→(1...(𝑃 − 1)))
110		suppssdm 8178	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ dom ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))
111		dmresi 6046	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) = (1...(𝑃 − 1))
112	110, 111	sseqtri 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ (1...(𝑃 − 1))
113		rnresi 6069	. . . . . . . 8 ⊢ ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) = (1...(𝑃 − 1))
114	112, 113	sseqtrri 3980	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))
115	114	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))
116		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) supp 1) = ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) supp 1)
117	96, 63, 98, 99, 102, 67, 106, 107, 3, 109, 115, 116	gsumval3 20101	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = (seq1( · , (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))‘(𝑃 − 1)))
118		facnn 14399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑃 − 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑃 − 1)))
119	3, 118	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (!‘(𝑃 − 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑃 − 1)))
120	94, 117, 119	3eqtr4d 2806	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
121	120	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) − -1))
122		nnm1nn0 12628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
123	11, 122	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
124	123	faccld 14408	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
125	124	nncnd 12332	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
126		ax-1cn 11239	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
127		subneg 11588	. . . 4 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
128	125, 126, 127	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
129	121, 128	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
130	87, 129	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   I cid 5545  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   supp csupp 8161  Fincfn 8957  ℂcc 11179  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  -cneg 11523  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620   mod cmo 13989  seqcseq 14124  ↑cexp 14184  !cfa 14397   ∥ cdvds 16402  ℙcprime 16826   Σ_g cgsu 17591  Mndcmnd 18903  SubMndcsubmnd 18957  Cntzccntz 19509  CMndccmn 19974  mulGrpcmgp 20340  Ringcrg 20439  CRingccrg 20440  SubRingcsubrg 20801  ℂ_fldccnfld 21658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-phi 16923  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-cnfld 21659

This theorem is used by:  wilth  27380