MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wilthlem3 25009
Description: Lemma for wilth 25010. Here we round out the argument of wilthlem2 25008 with the final step of the induction. The induction argument shows that every subset of 1...(𝑃 − 1) that is closed under inverse and contains 𝑃 − 1 multiplies to -1 mod 𝑃, and clearly 1...(𝑃 − 1) itself is such a set. Thus, the product of all the elements is -1, and all that is left is to translate the group sum notation (which we used for its unordered summing capabilities) into an ordered sequence to match the definition of the factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
wilthlem.t 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
wilthlem.a 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
wilthlem3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem wilthlem3
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 15622 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2 uz2m1nn 11978 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
4 nnuz 11937 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
53, 4syl6eleq 2895 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1))
6 eluzfz2 12568 . . . . . 6 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
8 simpl 470 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
9 elfzelz 12561 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
109adantl 469 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 ∈ ℤ)
11 prmnn 15602 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12 fzm1ndvds 15263 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑦)
1311, 12sylan 571 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑦)
14 eqid 2806 . . . . . . . . 9 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
1514prmdiv 15703 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑦) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑦 · ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
168, 10, 13, 15syl3anc 1483 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑦 · ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
1716simpld 484 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
1817ralrimiva 3154 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
19 ovex 6902 . . . . . . 7 (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
2019pwid 4367 . . . . . 6 (1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1))
21 eleq2 2874 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
22 eleq2 2874 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
2322raleqbi1dv 3335 . . . . . . . 8 (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → (∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
2421, 23anbi12d 618 . . . . . . 7 (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))))
25 wilthlem.a . . . . . . 7 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
2624, 25elrab2 3562 . . . . . 6 ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))))
2720, 26mpbiran 691 . . . . 5 ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
287, 18, 27sylanbrc 574 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴)
29 fzfi 12991 . . . . 5 (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin
30 eleq1 2873 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝐴𝑡𝐴))
31 reseq2 5592 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑡 → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ 𝑡))
3231oveq2d 6886 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑡 → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)))
3332oveq1d 6885 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃))
3433eqeq1d 2808 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
3530, 34imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ (𝑡𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
3635imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑡𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
37 eleq1 2873 . . . . . . . 8 (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → (𝑠𝐴 ↔ (1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴))
38 reseq2 5592 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))
3938oveq2d 6886 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))
4039oveq1d 6885 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃))
4140eqeq1d 2808 . . . . . . . 8 (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
4237, 41imbi12d 335 . . . . . . 7 (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
4342imbi2d 331 . . . . . 6 (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
44 bi2.04 377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝑡 → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
45 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝑡 → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑠𝑡 → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
4645com34 91 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝑡 → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑠𝐴 → (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
4744, 46syl5bi 233 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑠𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑠𝐴 → (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
4847alimdv 2007 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑠(𝑠𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → ∀𝑠(𝑠𝐴 → (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
49 df-ral 3101 . . . . . . . . 9 (∀𝑠𝐴 (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ∀𝑠(𝑠𝐴 → (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
5048, 49syl6ibr 243 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑠(𝑠𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
51 wilthlem.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
52 simp1 1159 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
53 simp3 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑡𝐴)
54 simp2 1160 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡𝐴) → ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
5551, 25, 52, 53, 54wilthlem2 25008 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠𝐴 (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡𝐴) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
56553exp 1141 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑠𝐴 (𝑠𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑡𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
5750, 56syldc 48 . . . . . . 7 (∀𝑠(𝑠𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑡𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝑡 ∈ Fin → (∀𝑠(𝑠𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑡𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
5936, 43, 58findcard3 8438 . . . . 5 ((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin → (𝑃 ∈ ℙ → ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
6029, 59ax-mp 5 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
6128, 60mpd 15 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
62 cnfld1 19975 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
6351, 62ringidval 18701 . . . . 5 1 = (0g𝑇)
64 cncrng 19971 . . . . . 6 fld ∈ CRing
6551crngmgp 18753 . . . . . 6 (ℂfld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
6664, 65mp1i 13 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑇 ∈ CMnd)
6729a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin)
68 zsubrg 20003 . . . . . 6 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
6951subrgsubm 18993 . . . . . 6 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
7068, 69mp1i 13 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
71 f1oi 6386 . . . . . . . 8 ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑃 − 1))
72 f1of 6349 . . . . . . . 8 (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑃 − 1)) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1)))
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1))
749ssriv 3802 . . . . . . 7 (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ
75 fss 6265 . . . . . . 7 ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1)) ∧ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ)
7673, 74, 75mp2an 675 . . . . . 6 ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ
7776a1i 11 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ)
78 1ex 10317 . . . . . . 7 1 ∈ V
7978a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ V)
8077, 67, 79fdmfifsupp 8520 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) finSupp 1)
8163, 66, 67, 70, 77, 80gsumsubmcl 18516 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
82 1z 11669 . . . . 5 1 ∈ ℤ
83 znegcl 11674 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
8482, 83mp1i 13 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → -1 ∈ ℤ)
85 moddvds 15210 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1)))
8611, 81, 84, 85syl3anc 1483 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1)))
8761, 86mpbid 223 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1))
88 fcoi1 6289 . . . . . . . . . 10 (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1)) → (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))
8973, 88ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))
9089fveq1i 6405 . . . . . . . 8 ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))‘𝑘) = (( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))‘𝑘)
91 fvres 6423 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → (( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))‘𝑘) = ( I ‘𝑘))
9290, 91syl5eq 2852 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))‘𝑘) = ( I ‘𝑘))
9392adantl 469 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))‘𝑘) = ( I ‘𝑘))
945, 93seqfveq 13044 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (seq1( · , (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))‘(𝑃 − 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑃 − 1)))
95 cnfldbas 19954 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
9651, 95mgpbas 18693 . . . . . 6 ℂ = (Base‘𝑇)
97 cnfldmul 19956 . . . . . . 7 · = (.r‘ℂfld)
9851, 97mgpplusg 18691 . . . . . 6 · = (+g𝑇)
99 eqid 2806 . . . . . 6 (Cntz‘𝑇) = (Cntz‘𝑇)
100 cnring 19972 . . . . . . 7 fld ∈ Ring
10151ringmgp 18751 . . . . . . 7 (ℂfld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
102100, 101mp1i 13 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑇 ∈ Mnd)
103 zsscn 11647 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
104 fss 6265 . . . . . . . 8 ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℂ)
10576, 103, 104mp2an 675 . . . . . . 7 ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℂ
106105a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℂ)
10796, 99, 66, 106cntzcmnf 18445 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ⊆ ((Cntz‘𝑇)‘ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))
108 f1of1 6348 . . . . . . 7 (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑃 − 1)) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1→(1...(𝑃 − 1)))
10971, 108mp1i 13 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1→(1...(𝑃 − 1)))
110 suppssdm 7538 . . . . . . . . 9 (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ dom ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))
111 dmresi 5669 . . . . . . . . 9 dom ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) = (1...(𝑃 − 1))
112110, 111sseqtri 3834 . . . . . . . 8 (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ (1...(𝑃 − 1))
113 rnresi 5689 . . . . . . . 8 ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) = (1...(𝑃 − 1))
114112, 113sseqtr4i 3835 . . . . . . 7 (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))
115114a1i 11 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))
116 eqid 2806 . . . . . 6 ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) supp 1) = ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) supp 1)
11796, 63, 98, 99, 102, 67, 106, 107, 3, 109, 115, 116gsumval3 18505 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = (seq1( · , (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))‘(𝑃 − 1)))
118 facnn 13278 . . . . . 6 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑃 − 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑃 − 1)))
1193, 118syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (!‘(𝑃 − 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑃 − 1)))
12094, 117, 1193eqtr4d 2850 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
121120oveq1d 6885 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) − -1))
122 nnm1nn0 11596 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
12311, 122syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
124 faccl 13286 . . . . . 6 ((𝑃 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
125123, 124syl 17 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
126125nncnd 11317 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
127 ax-1cn 10275 . . . 4 1 ∈ ℂ
128 subneg 10611 . . . 4 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
129126, 127, 128sylancl 576 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
130121, 129eqtrd 2840 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
13187, 130breqtrd 4870 1 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100  wal 1635   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  {crab 3100  Vcvv 3391  wss 3769  wpss 3770  𝒫 cpw 4351   class class class wbr 4844   I cid 5218  dom cdm 5311  ran crn 5312  cres 5313  ccom 5315  wf 6093  1-1wf1 6094  1-1-ontowf1o 6096  cfv 6097  (class class class)co 6870   supp csupp 7525  Fincfn 8188  cc 10215  1c1 10218   + caddc 10220   · cmul 10222  cmin 10547  -cneg 10548  cn 11301  2c2 11352  0cn0 11555  cz 11639  cuz 11900  ...cfz 12545   mod cmo 12888  seqcseq 13020  cexp 13079  !cfa 13276  cdvds 15199  cprime 15599   Σg cgsu 16302  Mndcmnd 17495  SubMndcsubmnd 17535  Cntzccntz 17945  CMndccmn 18390  mulGrpcmgp 18687  Ringcrg 18745  CRingccrg 18746  SubRingcsubrg 18976  fldccnfld 19950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295  ax-addf 10296  ax-mulf 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-of 7123  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-supp 7526  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-fsupp 8511  df-sup 8583  df-inf 8584  df-oi 8650  df-card 9044  df-cda 9271  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-xnn0 11626  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-rp 12043  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-fl 12813  df-mod 12889  df-seq 13021  df-exp 13080  df-fac 13277  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15200  df-gcd 15432  df-prm 15600  df-phi 15684  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-mre 16447  df-mrc 16448  df-acs 16450  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742  df-subg 17789  df-cntz 17947  df-cmn 18392  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-subrg 18978  df-cnfld 19951
This theorem is referenced by:  wilth  25010
  Copyright terms: Public domain W3C validator