Theorem wilthlem3 27271

Description: Lemma for wilth 27272. Here we round out the argument of wilthlem2 27270 with the final step of the induction. The induction argument shows that every subset of 1...(𝑃 − 1) that is closed under inverse and contains 𝑃 − 1 multiplies to -1 mod 𝑃, and clearly 1...(𝑃 − 1) itself is such a set. Thus, the product of all the elements is -1, and all that is left is to translate the group sum notation (which we used for its unordered summing capabilities) into an ordered sequence to match the definition of the factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
wilthlem.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
wilthlem.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
wilthlem3	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦

Proof of Theorem wilthlem3

Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2		uz2m1nn 12965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
4		nnuz 12919	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	eleqtrdi 2876	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ≥‘1))
6		eluzfz2 13578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
8		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
9		elfzelz 13570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑦 ∈ ℤ)
10	9	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑦 ∈ ℤ)
11		prmnn 16757	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12		fzm1ndvds 16405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑦)
13	11, 12	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ 𝑦)
14		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
15	14	prmdiv 16869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝑦) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑦 · ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
16	8, 10, 13, 15	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑦 · ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) − 1)))
17	16	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
18	17	ralrimiva 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
19		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ V
20	19	pwid 4590	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1))
21		eleq2 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
22		eleq2 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → (((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
23	22	raleqbi1dv 3336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
24	21, 23	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1...(𝑃 − 1)) → (((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))))
25		wilthlem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∣ ((𝑃 − 1) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ 𝑥)}
26	24, 25	elrab2 3657	. . . . . 6 ⊢ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝒫 (1...(𝑃 − 1)) ∧ ((𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1)))))
27	20, 26	mpbiran 722	. . . . 5 ⊢ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 − 1) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑃 − 1))((𝑦↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) ∈ (1...(𝑃 − 1))))
28	7, 18, 27	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴)
29		fzfi 14028	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin
30		eleq1 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 ↔ 𝑡 ∈ 𝐴))
31		reseq2 5978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ 𝑡))
32	31	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)))
33	32	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃))
34	33	eqeq1d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
35	30, 34	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
36	35	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
37		eleq1 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → (𝑠 ∈ 𝐴 ↔ (1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴))
38		reseq2 5978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ( I ↾ 𝑠) = ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))
39	38	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → (𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) = (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))
40	39	oveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃))
41	40	eqeq1d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → (((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
42	37, 41	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
43	42	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (1...(𝑃 − 1)) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
44		bi2.04 392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
45		pm2.27 43	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
46	45	com34 92	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
47	44, 46	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
48	47	alimdv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → ∀𝑠(𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
49		df-ral 3083	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ↔ ∀𝑠(𝑠 ∈ 𝐴 → (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
50	48, 49	imbitrrdi 255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
51		wilthlem.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘ℂfld)
52		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
53		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → 𝑡 ∈ 𝐴)
54		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
55	51, 25, 52, 53, 54	wilthlem2 27270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
56	55	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∀𝑠 ∈ 𝐴 (𝑠 ⊊ 𝑡 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)) → (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
57	50, 56	syldc 49	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ Fin → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝑡 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑠 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑠)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑡 ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ 𝑡)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))))
59	36, 43, 58	findcard3 9253	. . . . 5 ⊢ ((1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin → (𝑃 ∈ ℙ → ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))))
60	29, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((1...(𝑃 − 1)) ∈ 𝐴 → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
61	28, 60	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
62		cnfld1 21584	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
63	51, 62	ringidval 20296	. . . . 5 ⊢ 1 = (0g‘𝑇)
64		cncrng 21580	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ CRing
65	51	crngmgp 20354	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ CRing → 𝑇 ∈ CMnd)
66	64, 65	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑇 ∈ CMnd)
67	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (1...(𝑃 − 1)) ∈ Fin)
68		zsubrg 21607	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
69	51	subrgsubm 20721	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
70	68, 69	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ℤ ∈ (SubMnd‘𝑇))
71		f1oi 6866	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑃 − 1))
72		f1of 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑃 − 1)) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1)))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1))
74		fzssz 13572	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ
75		fss 6729	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1)) ∧ (1...(𝑃 − 1)) ⊆ ℤ) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ)
76	73, 74, 75	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ
77	76	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ)
78		1ex 11221	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
79	78	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ V)
80	77, 67, 79	fdmfifsupp 9345	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) finSupp 1)
81	63, 66, 67, 70, 77, 80	gsumsubmcl 20020	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ)
82		1z 12642	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
83		znegcl 12647	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℤ)
84	82, 83	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → -1 ∈ ℤ)
85		moddvds 16346	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1)))
86	11, 81, 84, 85	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1)))
87	61, 86	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1))
88		fcoi1 6759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶(1...(𝑃 − 1)) → (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))
89	73, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))
90	89	fveq1i 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))‘𝑘) = (( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))‘𝑘)
91		fvres 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → (( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))‘𝑘) = ( I ‘𝑘))
92	90, 91	eqtrid 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))‘𝑘) = ( I ‘𝑘))
93	92	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))‘𝑘) = ( I ‘𝑘))
94	5, 93	seqfveq 14082	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (seq1( · , (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))‘(𝑃 − 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑃 − 1)))
95		cnfldbas 21563	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
96	51, 95	mgpbas 20252	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘𝑇)
97		cnfldmul 21567	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
98	51, 97	mgpplusg 20251	. . . . . 6 ⊢ · = (+g‘𝑇)
99		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑇) = (Cntz‘𝑇)
100		cnring 21581	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Ring
101	51	ringmgp 20352	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
102	100, 101	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑇 ∈ Mnd)
103		zsscn 12617	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
104		fss 6729	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℂ)
105	76, 103, 104	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℂ
106	105	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))⟶ℂ)
107	96, 99, 66, 106	cntzcmnf 19946	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ⊆ ((Cntz‘𝑇)‘ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))
108		f1of1 6826	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1-onto→(1...(𝑃 − 1)) → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1→(1...(𝑃 − 1)))
109	71, 108	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))):(1...(𝑃 − 1))–1-1→(1...(𝑃 − 1)))
110		suppssdm 8182	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ dom ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))
111		dmresi 6059	. . . . . . . . 9 ⊢ dom ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) = (1...(𝑃 − 1))
112	110, 111	sseqtri 3988	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ (1...(𝑃 − 1))
113		rnresi 6082	. . . . . . . 8 ⊢ ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) = (1...(𝑃 − 1))
114	112, 113	sseqtrri 3989	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))
115	114	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) supp 1) ⊆ ran ( I ↾ (1...(𝑃 − 1))))
116		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) supp 1) = ((( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) supp 1)
117	96, 63, 98, 99, 102, 67, 106, 107, 3, 109, 115, 116	gsumval3 20008	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = (seq1( · , (( I ↾ (1...(𝑃 − 1))) ∘ ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))))‘(𝑃 − 1)))
118		facnn 14331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℕ → (!‘(𝑃 − 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑃 − 1)))
119	3, 118	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (!‘(𝑃 − 1)) = (seq1( · , I )‘(𝑃 − 1)))
120	94, 117, 119	3eqtr4d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) = (!‘(𝑃 − 1)))
121	120	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) − -1))
122		nnm1nn0 12563	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
123	11, 122	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
124	123	faccld 14340	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
125	124	nncnd 12267	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
126		ax-1cn 11176	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
127		subneg 11525	. . . 4 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
128	125, 126, 127	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
129	121, 128	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑇 Σg ( I ↾ (1...(𝑃 − 1)))) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
130	87, 129	breqtrd 5142	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  {crab 3419  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908   ⊊ wpss 3909  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5114   I cid 5560  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668   ∘ ccom 5670  ⟶wf 6539  –1-1→wf1 6540  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   supp csupp 8165  Fincfn 8952  ℂcc 11116  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   − cmin 11459  -cneg 11460  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553   mod cmo 13922  seqcseq 14057  ↑cexp 14117  !cfa 14329   ∥ cdvds 16335  ℙcprime 16754   Σ_g cgsu 17518  Mndcmnd 18821  SubMndcsubmnd 18871  Cntzccntz 19416  CMndccmn 19881  mulGrpcmgp 20247  Ringcrg 20346  CRingccrg 20347  SubRingcsubrg 20705  ℂ_fldccnfld 21559

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-prm 16755  df-phi 16850  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-cnfld 21560

This theorem is used by:  wilth  27272