MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds2 20659
Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf.v · = ( ·𝑠𝑊)
islindf.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islindf.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islindf.n 𝑁 = (Base‘𝑆)
islindf.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
islinds2 (𝑊𝑌 → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊,𝑥   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑘)   · (𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥,𝑘)   0 (𝑥)

Proof of Theorem islinds2
StepHypRef Expression
1 islindf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
21islinds 20655 . 2 (𝑊𝑌 → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
31fvexi 6513 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
43ssex 5081 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
54adantl 474 . . . . 5 ((𝑊𝑌𝐹𝐵) → 𝐹 ∈ V)
6 resiexg 7434 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → ( I ↾ 𝐹) ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑊𝑌𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹) ∈ V)
8 islindf.v . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 islindf.k . . . . 5 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
10 islindf.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
11 islindf.n . . . . 5 𝑁 = (Base‘𝑆)
12 islindf.z . . . . 5 0 = (0g𝑆)
131, 8, 9, 10, 11, 12islindf 20658 . . . 4 ((𝑊𝑌 ∧ ( I ↾ 𝐹) ∈ V) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊 ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))))
147, 13syldan 582 . . 3 ((𝑊𝑌𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊 ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))))
1514pm5.32da 571 . 2 (𝑊𝑌 → ((𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) ↔ (𝐹𝐵 ∧ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})))))))
16 f1oi 6481 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
17 f1of 6444 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹
19 dmresi 5763 . . . . . . . . 9 dom ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
2019feq2i 6336 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
2118, 20mpbir 223 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹
22 fss 6357 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵)
2321, 22mpan 677 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵)
2423biantrurd 525 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
2519raleqi 3353 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))
26 fvresi 6758 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐹 → (( I ↾ 𝐹)‘𝑥) = 𝑥)
2726oveq2d 6992 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐹 → (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) = (𝑘 · 𝑥))
2819difeq1i 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ {𝑥})
2928imaeq2i 5768 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})) = (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝑥}))
30 difss 3998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐹
31 resiima 5784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝑥})) = (𝐹 ∖ {𝑥}))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝑥})) = (𝐹 ∖ {𝑥})
3329, 32eqtri 2802 . . . . . . . . . . . . 13 (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})) = (𝐹 ∖ {𝑥})
3433fveq2i 6502 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐹 → (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
3627, 35eleq12d 2860 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐹 → ((𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
3736notbid 310 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐹 → (¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
3837ralbidv 3147 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
3938ralbiia 3114 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
4025, 39bitri 267 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
4140anbi2i 613 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})))) ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
4224, 41syl6rbbr 282 . . . 4 (𝐹𝐵 → ((( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})))) ↔ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
4342pm5.32i 567 . . 3 ((𝐹𝐵 ∧ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
4443a1i 11 . 2 (𝑊𝑌 → ((𝐹𝐵 ∧ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
452, 15, 443bitrd 297 1 (𝑊𝑌 → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wral 3088  Vcvv 3415  cdif 3826  wss 3829  {csn 4441   class class class wbr 4929   I cid 5311  dom cdm 5407  cres 5409  cima 5410  wf 6184  1-1-ontowf1o 6187  cfv 6188  (class class class)co 6976  Basecbs 16339  Scalarcsca 16424   ·𝑠 cvsca 16425  0gc0g 16569  LSpanclspn 19465   LIndF clindf 20650  LIndSclinds 20651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-lindf 20652  df-linds 20653
This theorem is referenced by:  lindsind  20663  lindfrn  20667  islbs4  20678  0nellinds  30614  lindssn  30616  lindsunlem  30655  lindsun  30656  lindsadd  34332  lindsenlbs  34334  lindslininds  43892
  Copyright terms: Public domain W3C validator