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Theorem islinds2 21588
Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
islindf.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
islindf.k 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
islindf.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
islindf.n 𝑁 = (Baseβ€˜π‘†)
islindf.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
islinds2 (π‘Š ∈ π‘Œ β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝑁   π‘˜,π‘Š,π‘₯   0 ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,π‘˜)   𝑆(π‘₯,π‘˜)   Β· (π‘₯,π‘˜)   𝐾(π‘₯,π‘˜)   𝑁(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯,π‘˜)   0 (π‘₯)
Proof of Theorem islinds2
StepHypRef Expression
1 islindf.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
21islinds 21584 . 2 (π‘Š ∈ π‘Œ β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š)))
31fvexi 6906 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
43ssex 5322 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† 𝐡 β†’ 𝐹 ∈ V)
54adantl 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ V)
6 resiexg 7908 . . . . 5 (𝐹 ∈ V β†’ ( I β†Ύ 𝐹) ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝐹) ∈ V)
8 islindf.v . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 islindf.k . . . . 5 𝐾 = (LSpanβ€˜π‘Š)
10 islindf.s . . . . 5 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 islindf.n . . . . 5 𝑁 = (Baseβ€˜π‘†)
12 islindf.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘†)
131, 8, 9, 10, 11, 12islindf 21587 . . . 4 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ ( I β†Ύ 𝐹) ∈ V) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š ↔ (( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))))))
147, 13syldan 590 . . 3 ((π‘Š ∈ π‘Œ ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ (( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š ↔ (( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))))))
1514pm5.32da 578 . 2 (π‘Š ∈ π‘Œ β†’ ((𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ ( I β†Ύ 𝐹) LIndF π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ (( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯})))))))
16 dmresi 6052 . . . . . . . 8 dom ( I β†Ύ 𝐹) = 𝐹
1716raleqi 3322 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))))
18 fvresi 7174 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯) = π‘₯)
1918oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) = (π‘˜ Β· π‘₯))
2016difeq1i 4119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}) = (𝐹 βˆ– {π‘₯})
2120imaeq2i 6058 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯})) = (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {π‘₯}))
22 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐹
23 resiima 6076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐹 β†’ (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {π‘₯})) = (𝐹 βˆ– {π‘₯}))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (𝐹 βˆ– {π‘₯})) = (𝐹 βˆ– {π‘₯})
2521, 24eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . 13 (( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯})) = (𝐹 βˆ– {π‘₯})
2625fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯}))
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))) = (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
2819, 27eleq12d 2826 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ ((π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))) ↔ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯}))))
2928notbid 317 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))) ↔ Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯}))))
3029ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐹 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯}))))
3130ralbiia 3090 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
3217, 31bitri 274 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))
3332anbi2i 622 . . . . 5 ((( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯})))) ↔ (( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯}))))
34 f1oi 6872 . . . . . . . . 9 ( I β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
35 f1of 6834 . . . . . . . . 9 (( I β†Ύ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 β†’ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐹)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐹
3716feq2i 6710 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐹 ↔ ( I β†Ύ 𝐹):𝐹⟢𝐹)
3836, 37mpbir 230 . . . . . . 7 ( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐹
39 fss 6735 . . . . . . 7 ((( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† 𝐡) β†’ ( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡)
4038, 39mpan 687 . . . . . 6 (𝐹 βŠ† 𝐡 β†’ ( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡)
4140biantrurd 532 . . . . 5 (𝐹 βŠ† 𝐡 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})) ↔ (( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))))
4233, 41bitr4id 289 . . . 4 (𝐹 βŠ† 𝐡 β†’ ((( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯})))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯}))))
4342pm5.32i 574 . . 3 ((𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ (( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))))) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯}))))
4443a1i 11 . 2 (π‘Š ∈ π‘Œ β†’ ((𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ (( I β†Ύ 𝐹):dom ( I β†Ύ 𝐹)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom ( I β†Ύ 𝐹)βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· (( I β†Ύ 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ (πΎβ€˜(( I β†Ύ 𝐹) β€œ (dom ( I β†Ύ 𝐹) βˆ– {π‘₯}))))) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))))
452, 15, 443bitrd 304 1 (π‘Š ∈ π‘Œ β†’ (𝐹 ∈ (LIndSβ€˜π‘Š) ↔ (𝐹 βŠ† 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐹 βˆ€π‘˜ ∈ (𝑁 βˆ– { 0 }) Β¬ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ (πΎβ€˜(𝐹 βˆ– {π‘₯})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   I cid 5574  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  LSpanclspn 20727   LIndF clindf 21579  LIndSclinds 21580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7415  df-lindf 21581  df-linds 21582
This theorem is referenced by:  lindsind  21592  lindfrn  21596  islbs4  21607  0nellinds  32754  lindssn  32765  lindsunlem  32994  lindsun  32995  lindsadd  36785  lindsenlbs  36787  lindslininds  47234
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