Theorem islinds2 20729

Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
islindf.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islindf.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islindf.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑆)
islindf.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
islinds2	⊢ (𝑊 ∈ 𝑌 → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊,𝑥   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑘)   · (𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥,𝑘)   0 (𝑥)

Proof of Theorem islinds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islindf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2	1	islinds 20725	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑌 → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
3	1	fvexi 6709	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	ssex 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
5	4	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ∈ V)
6		resiexg 7670	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ( I ↾ 𝐹) ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹) ∈ V)
8		islindf.v	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		islindf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
10		islindf.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
11		islindf.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑆)
12		islindf.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
13	1, 8, 9, 10, 11, 12	islindf 20728	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ ( I ↾ 𝐹) ∈ V) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊 ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))))
14	7, 13	syldan 594	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊 ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))))
15	14	pm5.32da 582	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑌 → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})))))))
16		dmresi 5906	. . . . . . . 8 ⊢ dom ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
17	16	raleqi 3313	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))
18		fvresi 6966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹)‘𝑥) = 𝑥)
19	18	oveq2d 7207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) = (𝑘 · 𝑥))
20	16	difeq1i 4019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ {𝑥})
21	20	imaeq2i 5912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})) = (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝑥}))
22		difss 4032	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐹
23		resiima 5929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝑥})) = (𝐹 ∖ {𝑥}))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝑥})) = (𝐹 ∖ {𝑥})
25	21, 24	eqtri 2759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})) = (𝐹 ∖ {𝑥})
26	25	fveq2i 6698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
28	19, 27	eleq12d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → ((𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
29	28	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
30	29	ralbidv 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
31	30	ralbiia 3077	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
32	17, 31	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
33	32	anbi2i 626	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})))) ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
34		f1oi 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹
35		f1of 6639	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐹):𝐹–1-1-onto→𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹
37	16	feq2i 6515	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐹):𝐹⟶𝐹)
38	36, 37	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹
39		fss 6540	. . . . . . 7 ⊢ ((( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵)
40	38, 39	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵)
41	40	biantrurd 536	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
42	33, 41	bitr4id 293	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
43	42	pm5.32i 578	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
44	43	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑌 → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
45	2, 15, 44	3bitrd 308	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑌 → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐹 ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  Vcvv 3398   ∖ cdif 3850   ⊆ wss 3853  {csn 4527   class class class wbr 5039   I cid 5439  dom cdm 5536   ↾ cres 5538   “ cima 5539  ⟶wf 6354  –1-1-onto→wf1o 6357  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  Scalarcsca 16752   ·_𝑠 cvsca 16753  0_gc0g 16898  LSpanclspn 19962   LIndF clindf 20720  LIndSclinds 20721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-lindf 20722  df-linds 20723

This theorem is referenced by:  lindsind  20733  lindfrn  20737  islbs4  20748  0nellinds  31234  lindssn  31241  lindsunlem  31373  lindsun  31374  lindsadd  35456  lindsenlbs  35458  lindslininds  45421