MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islinds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islinds2 21833
Description: Expanded property of an independent set of vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
islindf.v · = ( ·𝑠𝑊)
islindf.k 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
islindf.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
islindf.n 𝑁 = (Base‘𝑆)
islindf.z 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
islinds2 (𝑊𝑌 → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝑁   𝑘,𝑊,𝑥   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑘)   · (𝑥,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑥)   𝑌(𝑥,𝑘)   0 (𝑥)

Proof of Theorem islinds2
StepHypRef Expression
1 islindf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
21islinds 21829 . 2 (𝑊𝑌 → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊)))
31fvexi 6920 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
43ssex 5321 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝑊𝑌𝐹𝐵) → 𝐹 ∈ V)
6 resiexg 7934 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → ( I ↾ 𝐹) ∈ V)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑊𝑌𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹) ∈ V)
8 islindf.v . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 islindf.k . . . . 5 𝐾 = (LSpan‘𝑊)
10 islindf.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
11 islindf.n . . . . 5 𝑁 = (Base‘𝑆)
12 islindf.z . . . . 5 0 = (0g𝑆)
131, 8, 9, 10, 11, 12islindf 21832 . . . 4 ((𝑊𝑌 ∧ ( I ↾ 𝐹) ∈ V) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊 ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))))
147, 13syldan 591 . . 3 ((𝑊𝑌𝐹𝐵) → (( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊 ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))))
1514pm5.32da 579 . 2 (𝑊𝑌 → ((𝐹𝐵 ∧ ( I ↾ 𝐹) LIndF 𝑊) ↔ (𝐹𝐵 ∧ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})))))))
16 dmresi 6070 . . . . . . . 8 dom ( I ↾ 𝐹) = 𝐹
1716raleqi 3324 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))
18 fvresi 7193 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐹 → (( I ↾ 𝐹)‘𝑥) = 𝑥)
1918oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐹 → (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) = (𝑘 · 𝑥))
2016difeq1i 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}) = (𝐹 ∖ {𝑥})
2120imaeq2i 6076 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})) = (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝑥}))
22 difss 4136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐹
23 resiima 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐹 → (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝑥})) = (𝐹 ∖ {𝑥}))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (( I ↾ 𝐹) “ (𝐹 ∖ {𝑥})) = (𝐹 ∖ {𝑥})
2521, 24eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})) = (𝐹 ∖ {𝑥})
2625fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐹 → (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) = (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
2819, 27eleq12d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐹 → ((𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
2928notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐹 → (¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
3029ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑥𝐹 → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
3130ralbiia 3091 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
3217, 31bitri 275 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))) ↔ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
3332anbi2i 623 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})))) ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
34 f1oi 6886 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹
35 f1of 6848 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐹):𝐹1-1-onto𝐹 → ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹
3716feq2i 6728 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐹):𝐹𝐹)
3836, 37mpbir 231 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹
39 fss 6752 . . . . . . 7 ((( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐹𝐹𝐵) → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵)
4038, 39mpan 690 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵)
4140biantrurd 532 . . . . 5 (𝐹𝐵 → (∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
4233, 41bitr4id 290 . . . 4 (𝐹𝐵 → ((( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥})))) ↔ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
4342pm5.32i 574 . . 3 ((𝐹𝐵 ∧ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥}))))
4443a1i 11 . 2 (𝑊𝑌 → ((𝐹𝐵 ∧ (( I ↾ 𝐹):dom ( I ↾ 𝐹)⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ dom ( I ↾ 𝐹)∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · (( I ↾ 𝐹)‘𝑥)) ∈ (𝐾‘(( I ↾ 𝐹) “ (dom ( I ↾ 𝐹) ∖ {𝑥}))))) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
452, 15, 443bitrd 305 1 (𝑊𝑌 → (𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝐹𝐵 ∧ ∀𝑥𝐹𝑘 ∈ (𝑁 ∖ { 0 }) ¬ (𝑘 · 𝑥) ∈ (𝐾‘(𝐹 ∖ {𝑥})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143   I cid 5577  dom cdm 5685  cres 5687  cima 5688  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  LSpanclspn 20969   LIndF clindf 21824  LIndSclinds 21825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-lindf 21826  df-linds 21827
This theorem is referenced by:  lindsind  21837  lindfrn  21841  islbs4  21852  0nellinds  33398  lindssn  33406  lindsunlem  33675  lindsun  33676  lindsadd  37620  lindsenlbs  37622  lindslininds  48381
  Copyright terms: Public domain W3C validator