Theorem residfi 8838

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5893	. . 3 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		dmfi 8835	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
3	1, 2	eqeltrrid 2857	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		funi 6367	. . . 4 ⊢ Fun I
5		funfn 6365	. . . 4 ⊢ (Fun I ↔ I Fn dom I )
6	4, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ I Fn dom I
7		resfnfinfin 8837	. . 3 ⊢ (( I Fn dom I ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
8	6, 7	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
9	3, 8	impbii 212	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111   I cid 5429  dom cdm 5524   ↾ cres 5526  Fun wfun 6329   Fn wfn 6330  Fincfn 8527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-fin 8531

This theorem is referenced by:  fusgrfisstep  27218