Theorem residfi 8487

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5674	. . 3 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
2		dmfi 8484	. . 3 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → dom ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
3	1, 2	syl5eqelr 2881	. 2 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		funi 6131	. . . 4 ⊢ Fun I
5		funfn 6129	. . . 4 ⊢ (Fun I ↔ I Fn dom I )
6	4, 5	mpbi 222	. . 3 ⊢ I Fn dom I
7		resfnfinfin 8486	. . 3 ⊢ (( I Fn dom I ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
8	6, 7	mpan 682	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ( I ↾ 𝐴) ∈ Fin)
9	3, 8	impbii 201	1 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2157   I cid 5217  dom cdm 5310   ↾ cres 5312  Fun wfun 6093   Fn wfn 6094  Fincfn 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-fin 8197

This theorem is referenced by:  fusgrfisstep  26555