Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpiidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpiidm 41280
Description: Any power of any restriction of the identity relation is itself. (Contributed by RP, 12-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpiidm ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem relexpiidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7277 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0))
21eqeq1d 2742 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴)))
32imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))))
4 oveq2 7277 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦))
54eqeq1d 2742 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)))
65imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))))
7 oveq2 7277 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)))
87eqeq1d 2742 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴)))
98imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
10 oveq2 7277 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁))
1110eqeq1d 2742 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
1211imbi2d 341 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))))
13 resiexg 7753 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
14 relexp0g 14729 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
16 dmresi 5959 . . . . . . 7 dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
17 rnresi 5981 . . . . . . 7 ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
1816, 17uneq12i 4100 . . . . . 6 (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = (𝐴𝐴)
19 unidm 4091 . . . . . 6 (𝐴𝐴) = 𝐴
2018, 19eqtri 2768 . . . . 5 (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = 𝐴
2120reseq2i 5886 . . . 4 ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))) = ( I ↾ 𝐴)
2215, 21eqtrdi 2796 . . 3 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))
23 relres 5918 . . . . . . . . 9 Rel ( I ↾ 𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . . 8 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → Rel ( I ↾ 𝐴))
25 simp3 1137 . . . . . . . 8 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
2624, 25relexpsucrd 14740 . . . . . . 7 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
27 simp1 1135 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))
2827coeq1d 5768 . . . . . . . 8 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
29 coires1 6166 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴)
30 residm 5922 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
3129, 30eqtri 2768 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
3228, 31eqtrdi 2796 . . . . . . 7 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
3326, 32eqtrd 2780 . . . . . 6 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))
34333exp 1118 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (𝐴𝑉 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
3534com13 88 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑉 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
3635a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)) → (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
373, 6, 9, 12, 22, 36nn0ind 12413 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
3837impcom 408 1 ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  cun 3890   I cid 5488  dom cdm 5589  ran crn 5590  cres 5591  ccom 5593  Rel wrel 5594  (class class class)co 7269  0cc0 10870  1c1 10871   + caddc 10873  0cn0 12231  𝑟crelexp 14726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-seq 13718  df-relexp 14727
This theorem is referenced by:  relexpmulg  41286  relexpxpmin  41293
  Copyright terms: Public domain W3C validator