Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpiidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpiidm 40055
Description: Any power of any restriction of the identity relation is itself. (Contributed by RP, 12-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpiidm ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem relexpiidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7167 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0))
21eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴)))
32imbi2d 343 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))))
4 oveq2 7167 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦))
54eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)))
65imbi2d 343 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))))
7 oveq2 7167 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)))
87eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴)))
98imbi2d 343 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
10 oveq2 7167 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁))
1110eqeq1d 2826 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
1211imbi2d 343 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))))
13 resiexg 7622 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
14 relexp0g 14384 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
16 dmresi 5924 . . . . . . 7 dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
17 rnresi 5946 . . . . . . 7 ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
1816, 17uneq12i 4140 . . . . . 6 (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = (𝐴𝐴)
19 unidm 4131 . . . . . 6 (𝐴𝐴) = 𝐴
2018, 19eqtri 2847 . . . . 5 (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = 𝐴
2120reseq2i 5853 . . . 4 ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))) = ( I ↾ 𝐴)
2215, 21syl6eq 2875 . . 3 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))
23 relres 5885 . . . . . . . . . 10 Rel ( I ↾ 𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉) → Rel ( I ↾ 𝐴))
2513adantl 484 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
2624, 25relexpsucrd 14392 . . . . . . . 8 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴))))
27263impia 1113 . . . . . . 7 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
28 simp1 1132 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))
2928coeq1d 5735 . . . . . . . 8 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
30 coires1 6120 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴)
31 residm 5889 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
3230, 31eqtri 2847 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
3329, 32syl6eq 2875 . . . . . . 7 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
3427, 33eqtrd 2859 . . . . . 6 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))
35343exp 1115 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (𝐴𝑉 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
3635com13 88 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑉 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
3736a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)) → (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
383, 6, 9, 12, 22, 37nn0ind 12080 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
3938impcom 410 1 ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  Vcvv 3497  cun 3937   I cid 5462  dom cdm 5558  ran crn 5559  cres 5560  ccom 5562  Rel wrel 5563  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543  0cn0 11900  𝑟crelexp 14382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-relexp 14383
This theorem is referenced by:  relexpmulg  40061  relexpxpmin  40068
  Copyright terms: Public domain W3C validator