Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  relexpiidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpiidm 38838
 Description: Any power of any restriction of the identity relation is itself. (Contributed by RP, 12-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpiidm ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem relexpiidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6914 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0))
21eqeq1d 2828 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴)))
32imbi2d 332 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))))
4 oveq2 6914 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦))
54eqeq1d 2828 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)))
65imbi2d 332 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))))
7 oveq2 6914 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)))
87eqeq1d 2828 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴)))
98imbi2d 332 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
10 oveq2 6914 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁))
1110eqeq1d 2828 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
1211imbi2d 332 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))))
13 resiexg 7365 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
14 relexp0g 14140 . . . . 5 (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
16 dmresi 5701 . . . . . . 7 dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
17 rnresi 5721 . . . . . . 7 ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
1816, 17uneq12i 3993 . . . . . 6 (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = (𝐴𝐴)
19 unidm 3984 . . . . . 6 (𝐴𝐴) = 𝐴
2018, 19eqtri 2850 . . . . 5 (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = 𝐴
2120reseq2i 5627 . . . 4 ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))) = ( I ↾ 𝐴)
2215, 21syl6eq 2878 . . 3 (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))
23 relres 5663 . . . . . . . . . 10 Rel ( I ↾ 𝐴)
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉) → Rel ( I ↾ 𝐴))
2513adantl 475 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉) → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
2624, 25relexpsucrd 14148 . . . . . . . 8 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴))))
27263impia 1151 . . . . . . 7 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
28 simp1 1172 . . . . . . . . 9 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))
2928coeq1d 5517 . . . . . . . 8 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
30 coires1 5895 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴)
31 residm 5667 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
3230, 31eqtri 2850 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
3329, 32syl6eq 2878 . . . . . . 7 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
3427, 33eqtrd 2862 . . . . . 6 (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴𝑉𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))
35343exp 1154 . . . . 5 ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (𝐴𝑉 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
3635com13 88 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑉 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
3736a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)) → (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
383, 6, 9, 12, 22, 37nn0ind 11801 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
3938impcom 398 1 ((𝐴𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  Vcvv 3415   ∪ cun 3797   I cid 5250  dom cdm 5343  ran crn 5344   ↾ cres 5345   ∘ ccom 5347  Rel wrel 5348  (class class class)co 6906  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256  ℕ0cn0 11619  ↑𝑟crelexp 14138 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-seq 13097  df-relexp 14139 This theorem is referenced by:  relexpmulg  38844  relexpxpmin  38851
 Copyright terms: Public domain W3C validator