Theorem relexpiidm 44378

Description: Any power of any restriction of the identity relation is itself. (Contributed by RP, 12-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpiidm	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem relexpiidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0))
2	1	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴)))
3	2	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))))
4		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦))
5	4	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))))
7		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)))
8	7	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴)))
9	8	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
10		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁))
11	10	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))))
13		resiexg 7908	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
14		relexp0g 15058	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
16		dmresi 6054	. . . . . . 7 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
17		rnresi 6077	. . . . . . 7 ⊢ ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
18	16, 17	uneq12i 4119	. . . . . 6 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐴)
19		unidm 4110	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐴) = 𝐴
20	18, 19	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = 𝐴
21	20	reseq2i 5975	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))) = ( I ↾ 𝐴)
22	15, 21	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))
23		relres 6004	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ( I ↾ 𝐴)
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → Rel ( I ↾ 𝐴))
25		simp3 1154	. . . . . . . 8 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
26	24, 25	relexpsucrd 15069	. . . . . . 7 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
27		simp1 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))
28	27	coeq1d 5847	. . . . . . . 8 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
29		coires1 6266	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴)
30		residm 6009	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
31	29, 30	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
32	28, 31	eqtrdi 2812	. . . . . . 7 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
33	26, 32	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))
34	33	3exp 1135	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
35	34	com13 89	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
36	35	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
37	3, 6, 9, 12, 22, 36	nn0ind 12690	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
38	37	impcom 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3902   I cid 5555  dom cdm 5661  ran crn 5662   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  Rel wrel 5666  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  ℕ₀cn0 12503  ↑_𝑟crelexp 15055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-relexp 15056

This theorem is referenced by:  relexpmulg  44384  relexpxpmin  44391