Theorem relexpiidm 43687

Description: Any power of any restriction of the identity relation is itself. (Contributed by RP, 12-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpiidm	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem relexpiidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0))
2	1	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴)))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))))
4		oveq2 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦))
5	4	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))))
7		oveq2 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)))
8	7	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴)))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
10		oveq2 7357	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁))
11	10	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))))
13		resiexg 7845	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
14		relexp0g 14929	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
16		dmresi 6003	. . . . . . 7 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
17		rnresi 6026	. . . . . . 7 ⊢ ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
18	16, 17	uneq12i 4117	. . . . . 6 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐴)
19		unidm 4108	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐴) = 𝐴
20	18, 19	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = 𝐴
21	20	reseq2i 5927	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))) = ( I ↾ 𝐴)
22	15, 21	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))
23		relres 5956	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ( I ↾ 𝐴)
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → Rel ( I ↾ 𝐴))
25		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
26	24, 25	relexpsucrd 14940	. . . . . . 7 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
27		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))
28	27	coeq1d 5804	. . . . . . . 8 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
29		coires1 6213	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴)
30		residm 5961	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
31	29, 30	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
32	28, 31	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
33	26, 32	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))
34	33	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
35	34	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
36	35	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
37	3, 6, 9, 12, 22, 36	nn0ind 12571	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
38	37	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901   I cid 5513  dom cdm 5619  ran crn 5620   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  Rel wrel 5624  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℕ₀cn0 12384  ↑_𝑟crelexp 14926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-seq 13909  df-relexp 14927

This theorem is referenced by:  relexpmulg  43693  relexpxpmin  43700