Theorem relexpiidm 43703

Description: Any power of any restriction of the identity relation is itself. (Contributed by RP, 12-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpiidm	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem relexpiidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0))
2	1	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴)))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))))
4		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦))
5	4	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))))
7		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)))
8	7	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴)))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
10		oveq2 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁))
11	10	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑥) = ( I ↾ 𝐴)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))))
13		resiexg 7913	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ V)
14		relexp0g 15046	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∈ V → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))))
16		dmresi 6044	. . . . . . 7 ⊢ dom ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
17		rnresi 6067	. . . . . . 7 ⊢ ran ( I ↾ 𝐴) = 𝐴
18	16, 17	uneq12i 4146	. . . . . 6 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = (𝐴 ∪ 𝐴)
19		unidm 4137	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐴) = 𝐴
20	18, 19	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴)) = 𝐴
21	20	reseq2i 5968	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (dom ( I ↾ 𝐴) ∪ ran ( I ↾ 𝐴))) = ( I ↾ 𝐴)
22	15, 21	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟0) = ( I ↾ 𝐴))
23		relres 5997	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ( I ↾ 𝐴)
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → Rel ( I ↾ 𝐴))
25		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → 𝑦 ∈ ℕ0)
26	24, 25	relexpsucrd 15057	. . . . . . 7 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
27		simp1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴))
28	27	coeq1d 5846	. . . . . . . 8 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
29		coires1 6258	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴)
30		residm 6002	. . . . . . . . 9 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)
31	29, 30	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝐴) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
32	28, 31	eqtrdi 2787	. . . . . . 7 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴))
33	26, 32	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))
34	33	3exp 1119	. . . . 5 ⊢ ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
35	34	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑉 → ((( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
36	35	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑦) = ( I ↾ 𝐴)) → (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟(𝑦 + 1)) = ( I ↾ 𝐴))))
37	3, 6, 9, 12, 22, 36	nn0ind 12693	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ 𝑉 → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴)))
38	37	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (( I ↾ 𝐴)↑𝑟𝑁) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∪ cun 3929   I cid 5552  dom cdm 5659  ran crn 5660   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  Rel wrel 5664  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137  ℕ₀cn0 12506  ↑_𝑟crelexp 15043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-relexp 15044

This theorem is referenced by:  relexpmulg  43709  relexpxpmin  43716