Theorem relexpdmg 14998

Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpdmg	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))

Proof of Theorem relexpdmg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12433	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		relexpnndm 14997	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)
3		ssun1 4119	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅 ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
4	2, 3	sstrdi 3935	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
5	4	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
6		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 = 0)
7	6	oveq2d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = (𝑅↑𝑟0))
8		relexp0g 14978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
10	7, 9	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
11	10	dmeqd 5855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) = dom ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
12		dmresi 6012	. . . . . . 7 ⊢ dom ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
13	11, 12	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
14		eqimss 3981	. . . . . 6 ⊢ (dom (𝑅↑𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
17	5, 16	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
18	1, 17	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890   I cid 5519  dom cdm 5625  ran crn 5626   ↾ cres 5627  (class class class)co 7361  0cc0 11032  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ↑_𝑟crelexp 14975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-seq 13958  df-relexp 14976

This theorem is referenced by:  relexpdm  14999  iunrelexp0  44150