MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpdmg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpdmg 15081
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpdmg ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))

Proof of Theorem relexpdmg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12528 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 relexpnndm 15080 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)
3 ssun1 4178 . . . . . 6 dom 𝑅 ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
42, 3sstrdi 3996 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
54ex 412 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
6 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → 𝑁 = 0)
76oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = (𝑅𝑟0))
8 relexp0g 15061 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
107, 9eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
1110dmeqd 5916 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) = dom ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
12 dmresi 6070 . . . . . . 7 dom ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
1311, 12eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
14 eqimss 4042 . . . . . 6 (dom (𝑅𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
1615ex 412 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
175, 16jaoi 858 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
181, 17sylbi 217 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
1918imp 406 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  wss 3951   I cid 5577  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  (class class class)co 7431  0cc0 11155  cn 12266  0cn0 12526  𝑟crelexp 15058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-relexp 15059
This theorem is referenced by:  relexpdm  15082  iunrelexp0  43715
  Copyright terms: Public domain W3C validator