Theorem relexpdmg 14844

Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexpdmg	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))

Proof of Theorem relexpdmg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12328	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		relexpnndm 14843	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)
3		ssun1 4118	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅 ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
4	2, 3	sstrdi 3943	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
5	4	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
6		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 = 0)
7	6	oveq2d 7345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = (𝑅↑𝑟0))
8		relexp0g 14824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
10	7, 9	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
11	10	dmeqd 5841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) = dom ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
12		dmresi 5985	. . . . . . 7 ⊢ dom ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
13	11, 12	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
14		eqimss 3987	. . . . . 6 ⊢ (dom (𝑅↑𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
16	15	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
17	5, 16	jaoi 854	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
18	1, 17	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ 𝑉 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
19	18	imp 407	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897   I cid 5511  dom cdm 5614  ran crn 5615   ↾ cres 5616  (class class class)co 7329  0cc0 10964  ℕcn 12066  ℕ₀cn0 12326  ↑_𝑟crelexp 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-seq 13815  df-relexp 14822

This theorem is referenced by:  relexpdm  14845  iunrelexp0  41620