MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpdmg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpdmg 15078
Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexpdmg ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))

Proof of Theorem relexpdmg
StepHypRef Expression
1 elnn0 12526 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 relexpnndm 15077 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ dom 𝑅)
3 ssun1 4188 . . . . . 6 dom 𝑅 ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
42, 3sstrdi 4008 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
54ex 412 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
6 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → 𝑁 = 0)
76oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = (𝑅𝑟0))
8 relexp0g 15058 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
107, 9eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
1110dmeqd 5919 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) = dom ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
12 dmresi 6072 . . . . . . 7 dom ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
1311, 12eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
14 eqimss 4054 . . . . . 6 (dom (𝑅𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
1615ex 412 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
175, 16jaoi 857 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
181, 17sylbi 217 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅𝑉 → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
1918imp 406 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅𝑉) → dom (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  wss 3963   I cid 5582  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  (class class class)co 7431  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  𝑟crelexp 15055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-relexp 15056
This theorem is referenced by:  relexpdm  15079  iunrelexp0  43692
  Copyright terms: Public domain W3C validator