MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprddisj 19921
Description: The function ๐‘† is a family having trivial intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
dprdcntz.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
dprdcntz.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
dprddisj.0 0 = (0gโ€˜๐บ)
dprddisj.k ๐พ = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
Assertion
Ref Expression
dprddisj (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘‹) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) = { 0 })

Proof of Theorem dprddisj
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘‹))
2 sneq 4638 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ {๐‘ฅ} = {๐‘‹})
32difeq2d 4122 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))
43imaeq2d 6059 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})) = (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))
54unieqd 4922 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})) = โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))
65fveq2d 6895 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ}))) = (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))))
71, 6ineq12d 4213 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = ((๐‘†โ€˜๐‘‹) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))))
87eqeq1d 2733 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 } โ†” ((๐‘†โ€˜๐‘‹) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) = { 0 }))
9 dprdcntz.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
10 dprdcntz.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
119, 10dprddomcld 19913 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
12 eqid 2731 . . . . . . 7 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
13 dprddisj.0 . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐บ)
14 dprddisj.k . . . . . . 7 ๐พ = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
1512, 13, 14dmdprd 19910 . . . . . 6 ((๐ผ โˆˆ V โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
1611, 10, 15syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))))
179, 16mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })))
1817simp3d 1143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }))
19 simpr 484 . . . 4 ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })
2019ralimi 3082 . . 3 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 }) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })
2118, 20syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = { 0 })
22 dprdcntz.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
238, 21, 22rspcdva 3613 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘‹) โˆฉ (๐พโ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})))) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  Vcvv 3473   โˆ– cdif 3945   โˆฉ cin 3947   โІ wss 3948  {csn 4628  โˆช cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   โ€œ cima 5679  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  0gc0g 17390  mrClscmrc 17532  Grpcgrp 18856  SubGrpcsubg 19037  Cntzccntz 19221   DProd cdprd 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-ixp 8896  df-dprd 19907
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  19934  dprdres  19940  dprdss  19941  dprdf1o  19944  dprd2da  19954  dmdprdsplit2lem  19957
  Copyright terms: Public domain W3C validator