Theorem dprdfid 20005

Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdfid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dprdfid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dprdfid.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑛,𝐴   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺,𝑛   ℎ,𝐼,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   0 ,ℎ,𝑛   𝑆,ℎ,𝑖,𝑛   ℎ,𝑋,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑊(ℎ,𝑖,𝑛)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		eldprdi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		eldprdi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		eldprdi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑋))
9	6, 8	eleqtrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑛))
10	3, 4	dprdf2 19995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
11	10	ffvelcdmda 7079	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	12	subg0cl 19122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑋) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
16	9, 15	ifclda 4541	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (𝑆‘𝑛))
17	3, 4	dprddomcld 19989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	12	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
21	17, 19, 20	sniffsupp 9417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
22	2, 3, 4, 16, 21	dprdwd 19999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ 𝑊)
23	1, 22	eqeltrid 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
24		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
25		dprdgrp 19993	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
26		grpmnd 18928	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
27	3, 25, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
28		dprdfid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
29	2, 3, 4, 23, 24	dprdff 20000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
30	1	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
31		eldifsni 4771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
33		ifnefalse 4517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
35	34, 17	suppss2 8204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
36	30, 35	eqsstrid 4002	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
37	24, 12, 27, 17, 28, 29, 36	gsumpt 19948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
38		iftrue 4511	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 𝐴)
39	1, 38, 28, 5	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
41	23, 40	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {crab 3420  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928  ifcif 4505  {csn 4606   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8164  Xcixp 8916   finSupp cfsupp 9378  Basecbs 17233  0_gc0g 17458   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18717  Grpcgrp 18921  SubGrpcsubg 19108   DProd cdprd 19981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-dprd 19983

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  20010  dprdub  20013  dpjrid  20050