Theorem dprdfid 19956

Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdfid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dprdfid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dprdfid.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑛,𝐴   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺,𝑛   ℎ,𝐼,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   0 ,ℎ,𝑛   𝑆,ℎ,𝑖,𝑛   ℎ,𝑋,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑊(ℎ,𝑖,𝑛)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		eldprdi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		eldprdi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		eldprdi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑋))
9	6, 8	eleqtrrd 2832	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑛))
10	3, 4	dprdf2 19946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
11	10	ffvelcdmda 7059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	12	subg0cl 19073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑋) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
16	9, 15	ifclda 4527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (𝑆‘𝑛))
17	3, 4	dprddomcld 19940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	12	fvexi 6875	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
20		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
21	17, 19, 20	sniffsupp 9358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
22	2, 3, 4, 16, 21	dprdwd 19950	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ 𝑊)
23	1, 22	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
24		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
25		dprdgrp 19944	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
26		grpmnd 18879	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
27	3, 25, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
28		dprdfid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
29	2, 3, 4, 23, 24	dprdff 19951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
30	1	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
31		eldifsni 4757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
33		ifnefalse 4503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
35	34, 17	suppss2 8182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
36	30, 35	eqsstrid 3988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
37	24, 12, 27, 17, 28, 29, 36	gsumpt 19899	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
38		iftrue 4497	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 𝐴)
39	1, 38, 28, 5	fvmptd3 6994	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
41	23, 40	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  {crab 3408  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   supp csupp 8142  Xcixp 8873   finSupp cfsupp 9319  Basecbs 17186  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  Mndcmnd 18668  Grpcgrp 18872  SubGrpcsubg 19059   DProd cdprd 19932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-dprd 19934

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  19961  dprdub  19964  dpjrid  20001