MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfid 18731
Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdfid.3 (𝜑𝑋𝐼)
dprdfid.4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
dprdfid.f 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
Assertion
Ref Expression
dprdfid (𝜑 → (𝐹𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))
Distinct variable groups:   ,𝑛,𝐴   ,𝐹   ,𝑖,𝐺,𝑛   ,𝐼,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   0 ,,𝑛   𝑆,,𝑖,𝑛   ,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑊(,𝑖,𝑛)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfid
StepHypRef Expression
1 dprdfid.f . . 3 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2 eldprdi.w . . . 4 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
3 eldprdi.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 eldprdi.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5 dprdfid.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
65ad2antrr 718 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
7 simpr 478 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑋)
87fveq2d 6416 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑋))
96, 8eleqtrrd 2882 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑛))
103, 4dprdf2 18721 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
1110ffvelrnda 6586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 eldprdi.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
1312subg0cl 17914 . . . . . . 7 ((𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
1514adantr 473 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑋) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
169, 15ifclda 4312 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (𝑆𝑛))
173, 4dprddomcld 18715 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
1812fvexi 6426 . . . . . 6 0 ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝜑0 ∈ V)
20 eqid 2800 . . . . 5 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2117, 19, 20sniffsupp 8558 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
222, 3, 4, 16, 21dprdwd 18725 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ 𝑊)
231, 22syl5eqel 2883 . 2 (𝜑𝐹𝑊)
24 eqid 2800 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
25 dprdgrp 18719 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
26 grpmnd 17744 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
273, 25, 263syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
28 dprdfid.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
292, 3, 4, 23, 24dprdff 18726 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
301oveq1i 6889 . . . . 5 (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
31 eldifsni 4511 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛𝑋)
3231adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛𝑋)
33 ifnefalse 4290 . . . . . . 7 (𝑛𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
3534, 17suppss2 7568 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
3630, 35syl5eqss 3846 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
3724, 12, 27, 17, 28, 29, 36gsumpt 18675 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹𝑋))
38 iftrue 4284 . . . . 5 (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 𝐴)
3938, 1fvmptg 6506 . . . 4 ((𝑋𝐼𝐴 ∈ (𝑆𝑋)) → (𝐹𝑋) = 𝐴)
4028, 5, 39syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝐴)
4137, 40eqtrd 2834 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
4223, 41jca 508 1 (𝜑 → (𝐹𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2972  {crab 3094  Vcvv 3386  cdif 3767  ifcif 4278  {csn 4369   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5313  cfv 6102  (class class class)co 6879   supp csupp 7533  Xcixp 8149   finSupp cfsupp 8518  Basecbs 16183  0gc0g 16414   Σg cgsu 16415  Mndcmnd 17608  Grpcgrp 17737  SubGrpcsubg 17900   DProd cdprd 18707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-oi 8658  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-seq 13055  df-hash 13370  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-grp 17740  df-mulg 17856  df-subg 17903  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-dprd 18709
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  18736  dprdub  18739  dpjrid  18776
  Copyright terms: Public domain W3C validator