Theorem dprdfid 20037

Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdfid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dprdfid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dprdfid.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑛,𝐴   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺,𝑛   ℎ,𝐼,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   0 ,ℎ,𝑛   𝑆,ℎ,𝑖,𝑛   ℎ,𝑋,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑊(ℎ,𝑖,𝑛)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		eldprdi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		eldprdi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		eldprdi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
6	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑋))
9	6, 8	eleqtrrd 2844	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑛))
10	3, 4	dprdf2 20027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
11	10	ffvelcdmda 7104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	12	subg0cl 19152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑋) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
16	9, 15	ifclda 4561	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (𝑆‘𝑛))
17	3, 4	dprddomcld 20021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	12	fvexi 6920	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
21	17, 19, 20	sniffsupp 9440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
22	2, 3, 4, 16, 21	dprdwd 20031	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ 𝑊)
23	1, 22	eqeltrid 2845	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
25		dprdgrp 20025	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
26		grpmnd 18958	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
27	3, 25, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
28		dprdfid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
29	2, 3, 4, 23, 24	dprdff 20032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
30	1	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
31		eldifsni 4790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
33		ifnefalse 4537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
35	34, 17	suppss2 8225	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
36	30, 35	eqsstrid 4022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
37	24, 12, 27, 17, 28, 29, 36	gsumpt 19980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
38		iftrue 4531	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 𝐴)
39	1, 38, 28, 5	fvmptd3 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
41	23, 40	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  Xcixp 8937   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138   DProd cdprd 20013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-dprd 20015

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  20042  dprdub  20045  dpjrid  20082