MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfid 19936
Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdfid.3 (𝜑𝑋𝐼)
dprdfid.4 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
dprdfid.f 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
Assertion
Ref Expression
dprdfid (𝜑 → (𝐹𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))
Distinct variable groups:   ,𝑛,𝐴   ,𝐹   ,𝑖,𝐺,𝑛   ,𝐼,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   0 ,,𝑛   𝑆,,𝑖,𝑛   ,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑊(,𝑖,𝑛)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfid
StepHypRef Expression
1 dprdfid.f . . 3 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2 eldprdi.w . . . 4 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
3 eldprdi.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 eldprdi.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5 dprdfid.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
65ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑋))
7 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑋)
87fveq2d 6888 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑋))
96, 8eleqtrrd 2830 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑛))
103, 4dprdf2 19926 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
1110ffvelcdmda 7079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 eldprdi.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
1312subg0cl 19058 . . . . . . 7 ((𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
1514adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑋) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
169, 15ifclda 4558 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (𝑆𝑛))
173, 4dprddomcld 19920 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
1812fvexi 6898 . . . . . 6 0 ∈ V
1918a1i 11 . . . . 5 (𝜑0 ∈ V)
20 eqid 2726 . . . . 5 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2117, 19, 20sniffsupp 9394 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
222, 3, 4, 16, 21dprdwd 19930 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ 𝑊)
231, 22eqeltrid 2831 . 2 (𝜑𝐹𝑊)
24 eqid 2726 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
25 dprdgrp 19924 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
26 grpmnd 18867 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
273, 25, 263syl 18 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
28 dprdfid.3 . . . 4 (𝜑𝑋𝐼)
292, 3, 4, 23, 24dprdff 19931 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
301oveq1i 7414 . . . . 5 (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
31 eldifsni 4788 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛𝑋)
3231adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛𝑋)
33 ifnefalse 4535 . . . . . . 7 (𝑛𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
3432, 33syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
3534, 17suppss2 8183 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
3630, 35eqsstrid 4025 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
3724, 12, 27, 17, 28, 29, 36gsumpt 19879 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹𝑋))
38 iftrue 4529 . . . 4 (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 𝐴)
391, 38, 28, 5fvmptd3 7014 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝐴)
4037, 39eqtrd 2766 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
4123, 40jca 511 1 (𝜑 → (𝐹𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  {crab 3426  Vcvv 3468  cdif 3940  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141  cmpt 5224  dom cdm 5669  cfv 6536  (class class class)co 7404   supp csupp 8143  Xcixp 8890   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17150  0gc0g 17391   Σg cgsu 17392  Mndcmnd 18664  Grpcgrp 18860  SubGrpcsubg 19044   DProd cdprd 19912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-dprd 19914
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  19941  dprdub  19944  dpjrid  19981
  Copyright terms: Public domain W3C validator