Theorem dprdfid 19985

Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdfid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dprdfid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dprdfid.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑛,𝐴   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺,𝑛   ℎ,𝐼,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   0 ,ℎ,𝑛   𝑆,ℎ,𝑖,𝑛   ℎ,𝑋,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑊(ℎ,𝑖,𝑛)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		eldprdi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		eldprdi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		eldprdi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
6	5	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑋))
9	6, 8	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑛))
10	3, 4	dprdf2 19975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
11	10	ffvelcdmda 7030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	12	subg0cl 19101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑋) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
16	9, 15	ifclda 4503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (𝑆‘𝑛))
17	3, 4	dprddomcld 19969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	12	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
21	17, 19, 20	sniffsupp 9306	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
22	2, 3, 4, 16, 21	dprdwd 19979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ 𝑊)
23	1, 22	eqeltrid 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
25		dprdgrp 19973	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
26		grpmnd 18907	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
27	3, 25, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
28		dprdfid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
29	2, 3, 4, 23, 24	dprdff 19980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
30	1	oveq1i 7370	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
31		eldifsni 4734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
33		ifnefalse 4479	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
35	34, 17	suppss2 8143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
36	30, 35	eqsstrid 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
37	24, 12, 27, 17, 28, 29, 36	gsumpt 19928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
38		iftrue 4473	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 𝐴)
39	1, 38, 28, 5	fvmptd3 6965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
41	23, 40	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  ifcif 4467  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   supp csupp 8103  Xcixp 8838   finSupp cfsupp 9267  Basecbs 17170  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087   DProd cdprd 19961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-dprd 19963

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  19990  dprdub  19993  dpjrid  20030