Theorem dprdfid 20042

Description: A function mapping all but one arguments to zero sums to the value of this argument in a direct product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdfid.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
dprdfid.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
dprdfid.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
dprdfid	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Distinct variable groups:   ℎ,𝑛,𝐴   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺,𝑛   ℎ,𝐼,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   0 ,ℎ,𝑛   𝑆,ℎ,𝑖,𝑛   ℎ,𝑋,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑊(ℎ,𝑖,𝑛)   𝑋(𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdfid.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		eldprdi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
3		eldprdi.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
4		eldprdi.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5		dprdfid.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
6	5	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑋))
7		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑋)
8	7	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑋))
9	6, 8	eleqtrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑋) → 𝐴 ∈ (𝑆‘𝑛))
10	3, 4	dprdf2 20032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
11	10	ffvelcdmda 7061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12		eldprdi.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
13	12	subg0cl 19159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
15	14	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ ¬ 𝑛 = 𝑋) → 0 ∈ (𝑆‘𝑛))
16	9, 15	ifclda 4515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) ∈ (𝑆‘𝑛))
17	3, 4	dprddomcld 20026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	12	fvexi 6877	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
20		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
21	17, 19, 20	sniffsupp 9343	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
22	2, 3, 4, 16, 21	dprdwd 20036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ 𝑊)
23	1, 22	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
24		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
25		dprdgrp 20030	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
26		grpmnd 18965	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
27	3, 25, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
28		dprdfid.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
29	2, 3, 4, 23, 24	dprdff 20037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
30	1	oveq1i 7402	. . . . 5 ⊢ (𝐹 supp 0 ) = ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 )
31		eldifsni 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑛 ≠ 𝑋)
32	31	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑛 ≠ 𝑋)
33		ifnefalse 4491	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ≠ 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
35	34, 17	suppss2 8175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
36	30, 35	eqsstrid 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ {𝑋})
37	24, 12, 27, 17, 28, 29, 36	gsumpt 19985	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐹‘𝑋))
38		iftrue 4485	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 𝐴)
39	1, 38, 28, 5	fvmptd3 6995	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝐴)
40	37, 39	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)
41	23, 40	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901  ifcif 4479  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   supp csupp 8135  Xcixp 8875   finSupp cfsupp 9304  Basecbs 17228  0_gc0g 17451   Σ_g cgsu 17452  Mndcmnd 18751  Grpcgrp 18958  SubGrpcsubg 19145   DProd cdprd 20018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-dprd 20020

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  20047  dprdub  20050  dpjrid  20087