MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit2 19433
Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplit2.1 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
dmdprdsplit2.2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
dmdprdsplit2.3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
dmdprdsplit2.4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)

Proof of Theorem dmdprdsplit2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplit.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
2 dmdprdsplit.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2737 . 2 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dmdprdsplit2.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
5 dprdgrp 19392 . . 3 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdsplit.u . . 3 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
8 dprdsplit.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9 ssun1 4086 . . . . . . . 8 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
109, 7sseqtrrid 3954 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐼)
118, 10fssresd 6586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
1211fdmd 6556 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
134, 12dprddomcld 19388 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
14 dmdprdsplit2.2 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
15 ssun2 4087 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1615, 7sseqtrrid 3954 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐼)
178, 16fssresd 6586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
1817fdmd 6556 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
1914, 18dprddomcld 19388 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
20 unexg 7534 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐶𝐷) ∈ V)
2113, 19, 20syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐷) ∈ V)
227, 21eqeltrd 2838 . 2 (𝜑𝐼 ∈ V)
237eleq2d 2823 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑥 ∈ (𝐶𝐷)))
24 elun 4063 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
2523, 24bitrdi 290 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷)))
26 dprdsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
27 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
28 dmdprdsplit2.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
298, 26, 7, 1, 2, 4, 14, 27, 28, 3dmdprdsplit2lem 19432 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 }))
30 incom 4115 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
3130, 26eqtr3id 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐶) = ∅)
32 uncom 4067 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐷) = (𝐷𝐶)
337, 32eqtrdi 2794 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐷𝐶))
34 dprdsubg 19411 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
354, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
36 dprdsubg 19411 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3714, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
381, 35, 37, 27cntzrecd 19068 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐶))))
39 incom 4115 . . . . . . . . 9 ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
4039, 28eqtr3id 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))) = { 0 })
418, 31, 33, 1, 2, 14, 4, 38, 40, 3dmdprdsplit2lem 19432 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 }))
4229, 41jaodan 958 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → ((𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))) ∧ ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 }))
4342simpld 498 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))))
4443ex 416 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝑥𝐷) → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))))
4525, 44sylbid 243 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 → (𝑦𝐼 → (𝑥𝑦 → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦))))))
46453imp2 1351 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐼𝑥𝑦)) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑦)))
4725biimpa 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝐶𝑥𝐷))
4829simprd 499 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
4941simprd 499 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
5048, 49jaodan 958 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
5147, 50syldan 594 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ⊆ { 0 })
521, 2, 3, 6, 22, 8, 46, 51dmdprdd 19386 1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  Vcvv 3408  cdif 3863  cun 3864  cin 3865  wss 3866  c0 4237  {csn 4541   cuni 4819   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  cres 5553  cima 5554  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  0gc0g 16944  mrClscmrc 17086  Grpcgrp 18365  SubGrpcsubg 18537  Cntzccntz 18709   DProd cdprd 19380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-gim 18663  df-cntz 18711  df-oppg 18738  df-lsm 19025  df-cmn 19172  df-dprd 19382
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  19434  pgpfaclem1  19468
  Copyright terms: Public domain W3C validator