MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit2 19918
Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
dprdsplit.i (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
dprdsplit.u (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
dmdprdsplit.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
dmdprdsplit.0 0 = (0gโ€˜๐บ)
dmdprdsplit2.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))
dmdprdsplit2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
dmdprdsplit2.3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
dmdprdsplit2.4 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit2 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)

Proof of Theorem dmdprdsplit2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplit.z . 2 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
2 dmdprdsplit.0 . 2 0 = (0gโ€˜๐บ)
3 eqid 2732 . 2 (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ)) = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
4 dmdprdsplit2.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))
5 dprdgrp 19877 . . 3 (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
64, 5syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
7 dprdsplit.u . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
8 dprdsplit.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
9 ssun1 4172 . . . . . . . 8 ๐ถ โŠ† (๐ถ โˆช ๐ท)
109, 7sseqtrrid 4035 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โŠ† ๐ผ)
118, 10fssresd 6758 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โ†พ ๐ถ):๐ถโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
1211fdmd 6728 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘† โ†พ ๐ถ) = ๐ถ)
134, 12dprddomcld 19873 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ V)
14 dmdprdsplit2.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
15 ssun2 4173 . . . . . . . 8 ๐ท โŠ† (๐ถ โˆช ๐ท)
1615, 7sseqtrrid 4035 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โŠ† ๐ผ)
178, 16fssresd 6758 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โ†พ ๐ท):๐ทโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
1817fdmd 6728 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom (๐‘† โ†พ ๐ท) = ๐ท)
1914, 18dprddomcld 19873 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
20 unexg 7738 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ V โˆง ๐ท โˆˆ V) โ†’ (๐ถ โˆช ๐ท) โˆˆ V)
2113, 19, 20syl2anc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆช ๐ท) โˆˆ V)
227, 21eqeltrd 2833 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
237eleq2d 2819 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆช ๐ท)))
24 elun 4148 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ถ โˆช ๐ท) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
2523, 24bitrdi 286 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)))
26 dprdsplit.i . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
27 dmdprdsplit2.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
28 dmdprdsplit2.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })
298, 26, 7, 1, 2, 4, 14, 27, 28, 3dmdprdsplit2lem 19917 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) โŠ† { 0 }))
30 incom 4201 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆฉ ๐ท) = (๐ท โˆฉ ๐ถ)
3130, 26eqtr3id 2786 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆฉ ๐ถ) = โˆ…)
32 uncom 4153 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆช ๐ท) = (๐ท โˆช ๐ถ)
337, 32eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (๐ท โˆช ๐ถ))
34 dprdsubg 19896 . . . . . . . . . 10 (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
354, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
36 dprdsubg 19896 . . . . . . . . . 10 (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
3714, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ))
381, 35, 37, 27cntzrecd 19548 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))))
39 incom 4201 . . . . . . . . 9 ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)))
4039, 28eqtr3id 2786 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))) = { 0 })
418, 31, 33, 1, 2, 14, 4, 38, 40, 3dmdprdsplit2lem 19917 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) โŠ† { 0 }))
4229, 41jaodan 956 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) โŠ† { 0 }))
4342simpld 495 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
4443ex 413 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
4525, 44sylbid 239 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
46453imp2 1349 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
4725biimpa 477 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท))
4829simprd 496 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) โŠ† { 0 })
4941simprd 496 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) โŠ† { 0 })
5048, 49jaodan 956 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ถ โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) โŠ† { 0 })
5147, 50syldan 591 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) โŠ† { 0 })
521, 2, 3, 6, 22, 8, 46, 51dmdprdd 19871 1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  {csn 4628  โˆช cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   โ†พ cres 5678   โ€œ cima 5679  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0gc0g 17387  mrClscmrc 17529  Grpcgrp 18821  SubGrpcsubg 19002  Cntzccntz 19181   DProd cdprd 19865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-gim 19135  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-dprd 19867
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  19919  pgpfaclem1  19953
  Copyright terms: Public domain W3C validator