Theorem dprddisj2 20235

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprddisj2.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprddisj2	⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

Proof of Theorem dprddisj2

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
2		dprdcntz2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		dprdcntz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		dprdcntz2.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdres 20224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6	5	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
7	1, 6	sstrid 3942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
8	7	sseld 3930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
9		dprddisj2.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
11	9, 10	eldprd 20200	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
12	3, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
13	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
14	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → dom 𝑆 = 𝐼)
15		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
16		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17	10, 13, 14, 15, 16	dprdff 20208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
18	17	feqmptd 6945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
19		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
20	19	difeq2d 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = (𝐼 ∖ ∅))
21		difindi 4238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷))
22		dif0 4327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ ∅) = 𝐼
23	20, 21, 22	3eqtr3g 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼)
24		eqimss2 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
27	26	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
28		elun 4100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
29	27, 28	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
30	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐶 ⊆ 𝐼)
31		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
32	9, 10, 13, 14, 30, 15, 31	dmdprdsplitlem 20233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
33		dprdcntz2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
34	33	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
35		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
36	9, 10, 13, 14, 34, 15, 35	dmdprdsplitlem 20233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
37	32, 36	jaodan 972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷))) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
38	29, 37	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
40	18, 39	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
41	40	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
42		dprdgrp 20201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
43		grpmnd 19131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
44	2, 42, 43	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
45	2, 3	dprddomcld 20197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
46	9	gsumz 19012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
47	44, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
48	47	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
49	41, 48	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )
50	49	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
51		eleq1 2849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
52		elin 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
53	51, 52	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
54		velsn 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
55		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
56	54, 55	bitrid 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ { 0 } ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
57	53, 56	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → ((𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )))
58	50, 57	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
59	58	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
60	59	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
61	12, 60	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
62	61	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ { 0 })))
63	8, 62	mpdd 44	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }))
64	63	ssrdv 3937	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ { 0 })
65	5	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
66		dprdsubg 20220	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
67	9	subg0cl 19324	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
68	65, 66, 67	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
69	2, 3, 33	dprdres 20224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
70	69	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
71		dprdsubg 20220	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
72	9	subg0cl 19324	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
73	70, 71, 72	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
74	68, 73	elind 4146	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
75	74	snssd 4747	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
76	64, 75	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Xcixp 8909   finSupp cfsupp 9337  Basecbs 17367  0_gc0g 17590   Σ_g cgsu 17591  Mndcmnd 18903  Grpcgrp 19124  SubGrpcsubg 19310   DProd cdprd 20189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-gim 19453  df-cntz 19511  df-oppg 19540  df-cmn 19976  df-dprd 20191

This theorem is used by:  dmdprdsplit  20243  ablfac1eulem  20268  ablfac1eu  20269