MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddisj2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprddisj2 19980
Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c (𝜑𝐶𝐼)
dprdcntz2.d (𝜑𝐷𝐼)
dprdcntz2.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprddisj2.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprddisj2 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })

Proof of Theorem dprddisj2
Dummy variables 𝑓 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4224 . . . . . 6 ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶))
2 dprdcntz2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 dprdcntz2.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 dprdcntz2.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐼)
52, 3, 4dprdres 19969 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
65simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
71, 6sstrid 3989 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
87sseld 3977 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
9 dprddisj2.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
10 eqid 2727 . . . . . . . 8 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
119, 10eldprd 19945 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
123, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
132ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → dom 𝑆 = 𝐼)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 })
16 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1710, 13, 14, 15, 16dprdff 19953 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
1817feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)))
19 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
2019difeq2d 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐶𝐷)) = (𝐼 ∖ ∅))
21 difindi 4277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∖ (𝐶𝐷)) = ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷))
22 dif0 4368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∖ ∅) = 𝐼
2320, 21, 223eqtr3g 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)) = 𝐼)
24 eqimss2 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)) = 𝐼𝐼 ⊆ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼 ⊆ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)))
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝐼 ⊆ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)))
2726sselda 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)))
28 elun 4144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝐼𝐶) ∪ (𝐼𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼𝐷)))
2927, 28sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥 ∈ (𝐼𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼𝐷)))
304ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝐶𝐼)
31 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
329, 10, 13, 14, 30, 15, 31dmdprdsplitlem 19978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐶)) → (𝑓𝑥) = 0 )
33 dprdcntz2.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷𝐼)
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝐷𝐼)
35 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
369, 10, 13, 14, 34, 15, 35dmdprdsplitlem 19978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐷)) → (𝑓𝑥) = 0 )
3732, 36jaodan 956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼𝐷))) → (𝑓𝑥) = 0 )
3829, 37syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = 0 )
3938mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)) = (𝑥𝐼0 ))
4018, 39eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥𝐼0 ))
4140oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥𝐼0 )))
42 dprdgrp 19946 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
43 grpmnd 18882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
442, 42, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
452, 3dprddomcld 19942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ V)
469gsumz 18773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥𝐼0 )) = 0 )
4744, 45, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐼0 )) = 0 )
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg (𝑥𝐼0 )) = 0 )
4941, 48eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )
5049ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) → (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
51 eleq1 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
52 elin 3960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5351, 52bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))))
54 velsn 4640 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
55 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
5654, 55bitrid 283 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ { 0 } ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
5753, 56imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → ((𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )))
5850, 57syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
5958rexlimdva 3150 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
6059adantld 490 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
6112, 60sylbid 239 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
6261com23 86 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ { 0 })))
638, 62mpdd 43 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }))
6463ssrdv 3984 . 2 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ { 0 })
655simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
66 dprdsubg 19965 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
679subg0cl 19073 . . . . 5 ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
6865, 66, 673syl 18 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
692, 3, 33dprdres 19969 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
7069simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
71 dprdsubg 19965 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
729subg0cl 19073 . . . . 5 ((𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
7370, 71, 723syl 18 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
7468, 73elind 4190 . . 3 (𝜑0 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
7574snssd 4808 . 2 (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
7664, 75eqssd 3995 1 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142  cmpt 5225  dom cdm 5672  cres 5674  cfv 6542  (class class class)co 7414  Xcixp 8905   finSupp cfsupp 9375  Basecbs 17165  0gc0g 17406   Σg cgsu 17407  Mndcmnd 18679  Grpcgrp 18875  SubGrpcsubg 19059   DProd cdprd 19934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19197  df-cntz 19252  df-oppg 19281  df-cmn 19721  df-dprd 19936
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  19988  ablfac1eulem  20013  ablfac1eu  20014
  Copyright terms: Public domain W3C validator