Theorem dprddisj2 20016

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprddisj2.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprddisj2	⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

Proof of Theorem dprddisj2

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
2		dprdcntz2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		dprdcntz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		dprdcntz2.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdres 20005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6	5	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
7	1, 6	sstrid 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
8	7	sseld 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
9		dprddisj2.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
11	9, 10	eldprd 19981	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
12	3, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
13	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
14	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → dom 𝑆 = 𝐼)
15		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17	10, 13, 14, 15, 16	dprdff 19989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
18	17	feqmptd 6908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
19		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
20	19	difeq2d 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = (𝐼 ∖ ∅))
21		difindi 4232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷))
22		dif0 4318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ ∅) = 𝐼
23	20, 21, 22	3eqtr3g 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼)
24		eqimss2 3981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
26	25	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
27	26	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
28		elun 4093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
30	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐶 ⊆ 𝐼)
31		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
32	9, 10, 13, 14, 30, 15, 31	dmdprdsplitlem 20014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
33		dprdcntz2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
34	33	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
35		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
36	9, 10, 13, 14, 34, 15, 35	dmdprdsplitlem 20014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
37	32, 36	jaodan 960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷))) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
38	29, 37	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
40	18, 39	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
41	40	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
42		dprdgrp 19982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
43		grpmnd 18916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
44	2, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
45	2, 3	dprddomcld 19978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
46	9	gsumz 18804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
48	47	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
49	41, 48	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )
50	49	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
51		eleq1 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
52		elin 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
53	51, 52	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
54		velsn 4583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
55		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
56	54, 55	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ { 0 } ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
57	53, 56	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → ((𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )))
58	50, 57	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
59	58	rexlimdva 3138	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
60	59	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
61	12, 60	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
62	61	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ { 0 })))
63	8, 62	mpdd 43	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }))
64	63	ssrdv 3927	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ { 0 })
65	5	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
66		dprdsubg 20001	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
67	9	subg0cl 19110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
68	65, 66, 67	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
69	2, 3, 33	dprdres 20005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
70	69	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
71		dprdsubg 20001	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
72	9	subg0cl 19110	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
73	70, 71, 72	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
74	68, 73	elind 4140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
75	74	snssd 4730	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
76	64, 75	eqssd 3939	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Xcixp 8845   finSupp cfsupp 9274  Basecbs 17179  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096   DProd cdprd 19970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-cmn 19757  df-dprd 19972

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  20024  ablfac1eulem  20049  ablfac1eu  20050