Theorem dprddisj2 20285

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprddisj2.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprddisj2	⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

Proof of Theorem dprddisj2

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
2		dprdcntz2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		dprdcntz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		dprdcntz2.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdres 20274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6	5	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
7	1, 6	sstrid 3924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
8	7	sseld 3912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
9		dprddisj2.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
11	9, 10	eldprd 20250	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
12	3, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
13	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
14	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → dom 𝑆 = 𝐼)
15		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
16		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17	10, 13, 14, 15, 16	dprdff 20258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
18	17	feqmptd 6976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
19		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
20	19	difeq2d 4066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = (𝐼 ∖ ∅))
21		difindi 4240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷))
22		dif0 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ ∅) = 𝐼
23	20, 21, 22	3eqtr3g 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼)
24		eqimss2 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
27	26	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
28		elun 4155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
29	27, 28	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
30	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐶 ⊆ 𝐼)
31		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
32	9, 10, 13, 14, 30, 15, 31	dmdprdsplitlem 20283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
33		dprdcntz2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
34	33	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
35		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
36	9, 10, 13, 14, 34, 15, 35	dmdprdsplitlem 20283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
37	32, 36	jaodan 972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷))) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
38	29, 37	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
40	18, 39	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
41	40	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
42		dprdgrp 20251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
43		grpmnd 19180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
44	2, 42, 43	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
45	2, 3	dprddomcld 20247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
46	9	gsumz 19061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
47	44, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
48	47	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
49	41, 48	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )
50	49	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
51		eleq1 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
52		elin 4096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
53	51, 52	bitrdi 290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
54		velsn 4600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
55		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
56	54, 55	bitrid 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ { 0 } ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
57	53, 56	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → ((𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )))
58	50, 57	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
59	58	rexlimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
60	59	adantld 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
61	12, 60	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
62	61	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ { 0 })))
63	8, 62	mpdd 44	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }))
64	63	ssrdv 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ { 0 })
65	5	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
66		dprdsubg 20270	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
67	9	subg0cl 19373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
68	65, 66, 67	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
69	2, 3, 33	dprdres 20274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
70	69	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
71		dprdsubg 20270	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
72	9	subg0cl 19373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
73	70, 71, 72	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
74	68, 73	elind 4100	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
75	74	snssd 4747	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
76	64, 75	eqssd 3930	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Xcixp 8953   finSupp cfsupp 9381  Basecbs 17416  0_gc0g 17639   Σ_g cgsu 17640  Mndcmnd 18952  Grpcgrp 19173  SubGrpcsubg 19359   DProd cdprd 20239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-gim 19502  df-cntz 19561  df-oppg 19590  df-cmn 20026  df-dprd 20241

This theorem is used by:  dmdprdsplit  20293  ablfac1eulem  20318  ablfac1eu  20319