Theorem dprddisj2 20060

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprddisj2.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprddisj2	⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

Proof of Theorem dprddisj2

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
2		dprdcntz2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		dprdcntz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		dprdcntz2.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdres 20049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6	5	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
7	1, 6	sstrid 3994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
8	7	sseld 3981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
9		dprddisj2.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
11	9, 10	eldprd 20025	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
12	3, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
13	2	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
14	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → dom 𝑆 = 𝐼)
15		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17	10, 13, 14, 15, 16	dprdff 20033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
18	17	feqmptd 6976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
19		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
20	19	difeq2d 4125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = (𝐼 ∖ ∅))
21		difindi 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷))
22		dif0 4377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ ∅) = 𝐼
23	20, 21, 22	3eqtr3g 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼)
24		eqimss2 4042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
27	26	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
28		elun 4152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
30	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐶 ⊆ 𝐼)
31		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
32	9, 10, 13, 14, 30, 15, 31	dmdprdsplitlem 20058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
33		dprdcntz2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
35		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
36	9, 10, 13, 14, 34, 15, 35	dmdprdsplitlem 20058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
37	32, 36	jaodan 959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷))) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
38	29, 37	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
40	18, 39	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
41	40	oveq2d 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
42		dprdgrp 20026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
43		grpmnd 18959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
44	2, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
45	2, 3	dprddomcld 20022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
46	9	gsumz 18850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
47	44, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
49	41, 48	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )
50	49	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
51		eleq1 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
52		elin 3966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
53	51, 52	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
54		velsn 4641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
55		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
56	54, 55	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ { 0 } ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
57	53, 56	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → ((𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )))
58	50, 57	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
59	58	rexlimdva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
60	59	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
61	12, 60	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
62	61	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ { 0 })))
63	8, 62	mpdd 43	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }))
64	63	ssrdv 3988	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ { 0 })
65	5	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
66		dprdsubg 20045	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
67	9	subg0cl 19153	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
68	65, 66, 67	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
69	2, 3, 33	dprdres 20049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
70	69	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
71		dprdsubg 20045	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
72	9	subg0cl 19153	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
73	70, 71, 72	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
74	68, 73	elind 4199	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
75	74	snssd 4808	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
76	64, 75	eqssd 4000	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ∪ cun 3948   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684   ↾ cres 5686  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Xcixp 8938   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  Mndcmnd 18748  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139   DProd cdprd 20014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-cmn 19801  df-dprd 20016

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  20068  ablfac1eulem  20093  ablfac1eu  20094