Theorem dprddisj2 20005

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz2.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
dprdcntz2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprddisj2.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprddisj2	⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

Proof of Theorem dprddisj2

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 4178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
2		dprdcntz2.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		dprdcntz2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		dprdcntz2.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
5	2, 3, 4	dprdres 19994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6	5	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
7	1, 6	sstrid 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
8	7	sseld 3921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
9		dprddisj2.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
11	9, 10	eldprd 19970	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
12	3, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
13	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
14	3	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → dom 𝑆 = 𝐼)
15		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
17	10, 13, 14, 15, 16	dprdff 19978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
18	17	feqmptd 6900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
19		dprdcntz2.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
20	19	difeq2d 4067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = (𝐼 ∖ ∅))
21		difindi 4233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ (𝐶 ∩ 𝐷)) = ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷))
22		dif0 4319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐼 ∖ ∅) = 𝐼
23	20, 21, 22	3eqtr3g 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼)
24		eqimss2 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) = 𝐼 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
26	25	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐼 ⊆ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
27	26	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)))
28		elun 4094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐼 ∖ 𝐶) ∪ (𝐼 ∖ 𝐷)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
29	27, 28	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)))
30	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐶 ⊆ 𝐼)
31		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
32	9, 10, 13, 14, 30, 15, 31	dmdprdsplitlem 20003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
33		dprdcntz2.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
34	33	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
35		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
36	9, 10, 13, 14, 34, 15, 35	dmdprdsplitlem 20003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷)) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
37	32, 36	jaodan 960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐶) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐷))) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
38	29, 37	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) = 0 )
39	38	mpteq2dva 5179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
40	18, 39	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
41	40	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
42		dprdgrp 19971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
43		grpmnd 18905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
44	2, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
45	2, 3	dprddomcld 19967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
46	9	gsumz 18793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
47	44, 45, 46	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
48	47	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )) = 0 )
49	41, 48	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) ∧ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )
50	49	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
51		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
52		elin 3906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
53	51, 52	bitrdi 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))))
54		velsn 4584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
55		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
56	54, 55	bitrid 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ { 0 } ↔ (𝐺 Σg 𝑓) = 0 ))
57	53, 56	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → ((𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (((𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∧ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝐺 Σg 𝑓) = 0 )))
58	50, 57	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
59	58	rexlimdva 3139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
60	59	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
61	12, 60	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 })))
62	61	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥 ∈ { 0 })))
63	8, 62	mpdd 43	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) → 𝑥 ∈ { 0 }))
64	63	ssrdv 3928	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ { 0 })
65	5	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
66		dprdsubg 19990	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
67	9	subg0cl 19099	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
68	65, 66, 67	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
69	2, 3, 33	dprdres 19994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
70	69	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
71		dprdsubg 19990	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
72	9	subg0cl 19099	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
73	70, 71, 72	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
74	68, 73	elind 4141	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
75	74	snssd 4753	. 2 ⊢ (𝜑 → { 0 } ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
76	64, 75	eqssd 3940	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Xcixp 8836   finSupp cfsupp 9265  Basecbs 17168  0_gc0g 17391   Σ_g cgsu 17392  Mndcmnd 18691  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19085   DProd cdprd 19959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-gim 19223  df-cntz 19281  df-oppg 19310  df-cmn 19746  df-dprd 19961

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit  20013  ablfac1eulem  20038  ablfac1eu  20039