Theorem dprdfinv 20053

Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfinv.b	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfinv	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   ℎ,𝑁   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdgrp 20039	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		dprdfinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvf 19016	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
8		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
9		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
11	8, 1, 9, 10, 4	dprdff 20046	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
12		fcompt 7152	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
13	7, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
14	1, 9	dprdf2 20041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
15	14	ffvelcdmda 7103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	8, 1, 9, 10	dprdfcl 20047	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
17	5	subginvcl 19165	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥)) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	1, 9	dprddomcld 20035	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
20	19	mptexd 7243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V)
21		funmpt 6605	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
23	8, 1, 9, 10	dprdffsupp 20048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		ssidd 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
25		eldprdi.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
26	25	fvexi 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	11, 24, 19, 27	suppssr 8218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
29	28	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑁‘ 0 ))
30	25, 5	grpinvid 19029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
32	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
33	29, 32	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = 0 )
34	33, 19	suppss2 8223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
35		fsuppsssupp 9418	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))) ∧ (𝐹 finSupp 0 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
36	20, 22, 23, 34, 35	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
37	8, 1, 9, 18, 36	dprdwd 20045	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ 𝑊)
38	13, 37	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊)
39		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
40	8, 1, 9, 10, 39	dprdfcntz 20049	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
41	4, 25, 39, 5, 3, 19, 11, 40, 23	gsumzinv 19977	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹)))
42	38, 41	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5688   ∘ ccom 5692  Fun wfun 6556  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183  Xcixp 8935   finSupp cfsupp 9398  Basecbs 17244  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  Grpcgrp 18963  inv_gcminusg 18964  SubGrpcsubg 19150  Cntzccntz 19345   DProd cdprd 20027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-cmn 19814  df-dprd 20029

This theorem is referenced by:  dprdfsub  20055