Theorem dprdfinv 20240

Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfinv.b	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfinv	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   ℎ,𝑁   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑊(ℎ, 𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdgrp 20226	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		dprdfinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvf 19202	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
7	3, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
8		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
9		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
11	8, 1, 9, 10, 4	dprdff 20233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
12		fcompt 7134	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
13	7, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
14	1, 9	dprdf2 20228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
15	14	ffvelcdmda 7084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	8, 1, 9, 10	dprdfcl 20234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
17	5	subginvcl 19350	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥)) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	1, 9	dprddomcld 20222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
20	19	mptexd 7230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V)
21		funmpt 6578	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
23	8, 1, 9, 10	dprdffsupp 20235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		ssidd 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
25		eldprdi.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
26	25	fvexi 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	11, 24, 19, 27	suppssr 8215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
29	28	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑁‘ 0 ))
30	25, 5	grpinvid 19215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
31	3, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
32	31	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
33	29, 32	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = 0 )
34	33, 19	suppss2 8220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
35		fsuppsssupp 9376	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))) ∧ (𝐹 finSupp 0 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
36	20, 22, 23, 34, 35	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
37	8, 1, 9, 18, 36	dprdwd 20232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ 𝑊)
38	13, 37	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊)
39		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
40	8, 1, 9, 10, 39	dprdfcntz 20236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
41	4, 25, 39, 5, 3, 19, 11, 40, 23	gsumzinv 20164	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹)))
42	38, 41	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650   ∘ ccom 5654  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8179  Xcixp 8928   finSupp cfsupp 9356  Basecbs 17392  0_gc0g 17615   Σ_g cgsu 17616  Grpcgrp 19149  inv_gcminusg 19150  SubGrpcsubg 19335  Cntzccntz 19534   DProd cdprd 20214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-gim 19478  df-cntz 19536  df-oppg 19565  df-cmn 20001  df-dprd 20216

This theorem is used by:  dprdfsub  20242