Theorem dprdfinv 19622

Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfinv.b	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfinv	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   ℎ,𝑁   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdgrp 19608	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		dprdfinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvf 18626	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
8		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
9		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
11	8, 1, 9, 10, 4	dprdff 19615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
12		fcompt 7005	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
13	7, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
14	1, 9	dprdf2 19610	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
15	14	ffvelrnda 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	8, 1, 9, 10	dprdfcl 19616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
17	5	subginvcl 18764	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥)) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
18	15, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	1, 9	dprddomcld 19604	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
20	19	mptexd 7100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V)
21		funmpt 6472	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
23	8, 1, 9, 10	dprdffsupp 19617	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		ssidd 3944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
25		eldprdi.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
26	25	fvexi 6788	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	11, 24, 19, 27	suppssr 8012	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
29	28	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑁‘ 0 ))
30	25, 5	grpinvid 18636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
32	31	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
33	29, 32	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = 0 )
34	33, 19	suppss2 8016	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
35		fsuppsssupp 9144	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))) ∧ (𝐹 finSupp 0 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
36	20, 22, 23, 34, 35	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
37	8, 1, 9, 18, 36	dprdwd 19614	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ 𝑊)
38	13, 37	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊)
39		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
40	8, 1, 9, 10, 39	dprdfcntz 19618	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
41	4, 25, 39, 5, 3, 19, 11, 40, 23	gsumzinv 19546	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹)))
42	38, 41	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589   ∘ ccom 5593  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  Xcixp 8685   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  SubGrpcsubg 18749  Cntzccntz 18921   DProd cdprd 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-cmn 19388  df-dprd 19598

This theorem is referenced by:  dprdfsub  19624