Theorem dprdfinv 19941

Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfinv.b	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfinv	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   ℎ,𝑁   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdgrp 19927	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		dprdfinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvf 18916	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
8		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
9		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
11	8, 1, 9, 10, 4	dprdff 19934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
12		fcompt 7127	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
13	7, 11, 12	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
14	1, 9	dprdf2 19929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
15	14	ffvelcdmda 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	8, 1, 9, 10	dprdfcl 19935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
17	5	subginvcl 19062	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥)) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
18	15, 16, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	1, 9	dprddomcld 19923	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
20	19	mptexd 7221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V)
21		funmpt 6580	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
23	8, 1, 9, 10	dprdffsupp 19936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		ssidd 4000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
25		eldprdi.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
26	25	fvexi 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	11, 24, 19, 27	suppssr 8181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
29	28	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑁‘ 0 ))
30	25, 5	grpinvid 18929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
32	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
33	29, 32	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = 0 )
34	33, 19	suppss2 8186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
35		fsuppsssupp 9381	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))) ∧ (𝐹 finSupp 0 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
36	20, 22, 23, 34, 35	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
37	8, 1, 9, 18, 36	dprdwd 19933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ 𝑊)
38	13, 37	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊)
39		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
40	8, 1, 9, 10, 39	dprdfcntz 19937	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
41	4, 25, 39, 5, 3, 19, 11, 40, 23	gsumzinv 19865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹)))
42	38, 41	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   ∘ ccom 5673  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   supp csupp 8146  Xcixp 8893   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  0_gc0g 17394   Σ_g cgsu 17395  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  SubGrpcsubg 19047  Cntzccntz 19231   DProd cdprd 19915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-cmn 19702  df-dprd 19917

This theorem is referenced by:  dprdfsub  19943