Theorem dprdfinv 20122

Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfinv.b	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfinv	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   ℎ,𝑁   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑊(ℎ, 𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfinv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdgrp 20108	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
4		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5		dprdfinv.b	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvf 19084	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
7	3, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
8		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
9		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
11	8, 1, 9, 10, 4	dprdff 20115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
12		fcompt 7136	. . . 4 ⊢ ((𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
13	7, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
14	1, 9	dprdf2 20110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
15	14	ffvelcdmda 7086	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	8, 1, 9, 10	dprdfcl 20116	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
17	5	subginvcl 19232	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥)) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
18	15, 16, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	1, 9	dprddomcld 20104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
20	19	mptexd 7229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V)
21		funmpt 6581	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))))
23	8, 1, 9, 10	dprdffsupp 20117	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
24		ssidd 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
25		eldprdi.0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
26	25	fvexi 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	11, 24, 19, 27	suppssr 8200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
29	28	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = (𝑁‘ 0 ))
30	25, 5	grpinvid 19097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
31	3, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
32	31	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
33	29, 32	eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑥)) = 0 )
34	33, 19	suppss2 8205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
35		fsuppsssupp 9351	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥)))) ∧ (𝐹 finSupp 0 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
36	20, 22, 23, 34, 35	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) finSupp 0 )
37	8, 1, 9, 18, 36	dprdwd 20114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑥))) ∈ 𝑊)
38	13, 37	eqeltrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊)
39		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
40	8, 1, 9, 10, 39	dprdfcntz 20118	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
41	4, 25, 39, 5, 3, 19, 11, 40, 23	gsumzinv 20046	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹)))
42	38, 41	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁 ∘ 𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666   ∘ ccom 5670  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   supp csupp 8165  Xcixp 8904   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17294  0_gc0g 17517   Σ_g cgsu 17518  Grpcgrp 19031  inv_gcminusg 19032  SubGrpcsubg 19217  Cntzccntz 19416   DProd cdprd 20096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-gim 19360  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-cmn 19883  df-dprd 20098

This theorem is used by:  dprdfsub  20124