MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfinv 19883
Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
eldprdi.w π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
eldprdi.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
dprdfinv.b 𝑁 = (invgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dprdfinv (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ π‘Š ∧ (𝐺 Ξ£g (𝑁 ∘ 𝐹)) = (π‘β€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
Distinct variable groups:   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝑖,𝐺   β„Ž,𝐼,𝑖   β„Ž,𝑁   0 ,β„Ž   𝑆,β„Ž,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑁(𝑖)   π‘Š(β„Ž,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfinv
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdgrp 19869 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
5 dprdfinv.b . . . . . 6 𝑁 = (invgβ€˜πΊ)
64, 5grpinvf 18867 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝑁:(Baseβ€˜πΊ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
73, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁:(Baseβ€˜πΊ)⟢(Baseβ€˜πΊ))
8 eldprdi.w . . . . 5 π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
9 eldprdi.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
10 eldprdi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
118, 1, 9, 10, 4dprdff 19876 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
12 fcompt 7127 . . . 4 ((𝑁:(Baseβ€˜πΊ)⟢(Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑁 ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
137, 11, 12syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∘ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
141, 9dprdf2 19871 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
1514ffvelcdmda 7083 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
168, 1, 9, 10dprdfcl 19877 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
175subginvcl 19009 . . . . 5 (((π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯)) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
1815, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
191, 9dprddomcld 19865 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
2019mptexd 7222 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ V)
21 funmpt 6583 . . . . . 6 Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
238, 1, 9, 10dprdffsupp 19878 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
24 ssidd 4004 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜πΊ)
2625fvexi 6902 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
2811, 24, 19, 27suppssr 8177 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0 ))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
2928fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0 ))) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘β€˜ 0 ))
3025, 5grpinvid 18880 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp β†’ (π‘β€˜ 0 ) = 0 )
313, 30syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜ 0 ) = 0 )
3231adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0 ))) β†’ (π‘β€˜ 0 ) = 0 )
3329, 32eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐹 supp 0 ))) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = 0 )
3433, 19suppss2 8181 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))
35 fsuppsssupp 9375 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ V ∧ Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))) ∧ (𝐹 finSupp 0 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) supp 0 ) βŠ† (𝐹 supp 0 ))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) finSupp 0 )
3620, 22, 23, 34, 35syl22anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) finSupp 0 )
378, 1, 9, 18, 36dprdwd 19875 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘₯))) ∈ π‘Š)
3813, 37eqeltrd 2833 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∘ 𝐹) ∈ π‘Š)
39 eqid 2732 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
408, 1, 9, 10, 39dprdfcntz 19879 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐹))
414, 25, 39, 5, 3, 19, 11, 40, 23gsumzinv 19807 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑁 ∘ 𝐹)) = (π‘β€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹)))
4238, 41jca 512 1 (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∘ 𝐹) ∈ π‘Š ∧ (𝐺 Ξ£g (𝑁 ∘ 𝐹)) = (π‘β€˜(𝐺 Ξ£g 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   supp csupp 8142  Xcixp 8887   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  SubGrpcsubg 18994  Cntzccntz 19173   DProd cdprd 19857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-cmn 19644  df-dprd 19859
This theorem is referenced by:  dprdfsub  19885
  Copyright terms: Public domain W3C validator