MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dprdres 19898
Description: Restriction of a direct product (dropping factors). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdres.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdres.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
dprdres.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdres (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆)))
Proof of Theorem dprdres
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdres.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdgrp 19875 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4 dprdres.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
51, 4dprdf2 19877 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
6 dprdres.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
75, 6fssresd 6759 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
81ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
94ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
106ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
11 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1210, 11sseldd 3984 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
13 eldifi 4127 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
1413adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
1510, 14sseldd 3984 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
16 eldifsni 4794 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 β‰  π‘₯)
1716adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 β‰  π‘₯)
1817necomd 2997 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
19 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
208, 9, 12, 15, 18, 19dprdcntz 19878 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
2111fvresd 6912 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π‘₯))
2214fvresd 6912 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (π‘†β€˜π‘¦))
2322fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) = ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
2420, 21, 233sstr4d 4030 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)))
2524ralrimiva 3147 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)))
26 fvres 6911 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π‘₯))
2726adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π‘₯))
2827ineq1d 4212 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
29 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3029subgacs 19041 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
31 acsmre 17596 . . . . . . . . . . . 12 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
323, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
3332adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
34 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
35 resss 6007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝑆
36 imass1 6101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝑆 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
386adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
39 ssdif 4140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 βŠ† 𝐼 β†’ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
40 imass2 6102 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
4237, 41sstrid 3994 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
4342unissd 4919 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
44 imassrn 6071 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† ran 𝑆
455frnd 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
4629subgss 19007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
47 velpw 4608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
4948ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)
5045, 49sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5244, 51sstrid 3994 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
53 sspwuni 5104 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
5452, 53sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
5533, 34, 43, 54mrcssd 17568 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
56 sslin 4235 . . . . . . . . 9 (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
581adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
594adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
606sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
61 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
6258, 59, 60, 61, 34dprddisj 19879 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)})
6357, 62sseqtrd 4023 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† {(0gβ€˜πΊ)})
645ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
6560, 64syldan 592 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
6661subg0cl 19014 . . . . . . . . . 10 ((π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
6843, 54sstrd 3993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6934mrccl 17555 . . . . . . . . . . 11 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
7033, 68, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
7161subg0cl 19014 . . . . . . . . . 10 (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
7367, 72elind 4195 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
7473snssd 4813 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
7563, 74eqssd 4000 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)})
7628, 75eqtrd 2773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)})
7725, 76jca 513 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) ∧ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)}))
7877ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) ∧ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)}))
791, 4dprddomcld 19871 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
8079, 6ssexd 5325 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
817fdmd 6729 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐴) = 𝐴)
8219, 61, 34dmdprd 19868 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ dom (𝑆 β†Ύ 𝐴) = 𝐴) β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢(SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) ∧ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)}))))
8380, 81, 82syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢(SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) ∧ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)}))))
843, 7, 78, 83mpbir3and 1343 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴))
85 rnss 5939 . . . . . 6 ((𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝑆 β†’ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† ran 𝑆)
86 uniss 4917 . . . . . 6 (ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† ran 𝑆 β†’ βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† βˆͺ ran 𝑆)
8735, 85, 86mp2b 10 . . . . 5 βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† βˆͺ ran 𝑆
8887a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† βˆͺ ran 𝑆)
89 sspwuni 5104 . . . . 5 (ran 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9050, 89sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9132, 34, 88, 90mrcssd 17568 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴)) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran 𝑆))
9234dprdspan 19897 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) = ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴)))
9384, 92syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) = ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴)))
9434dprdspan 19897 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran 𝑆))
951, 94syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran 𝑆))
9691, 93, 953sstr4d 4030 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆))
9784, 96jca 513 1 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Moorecmre 17526  mrClscmrc 17527  ACScacs 17529  Grpcgrp 18819  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179   DProd cdprd 19863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-cmn 19650  df-dprd 19865
This theorem is referenced by:  dprdf1  19903  dprdcntz2  19908  dprddisj2  19909  dprd2dlem1  19911  dprd2da  19912  dmdprdsplit  19917  dprdsplit  19918  dpjf  19927  dpjidcl  19928  dpjlid  19931  dpjghm  19933  ablfac1eulem  19942  ablfac1eu  19943
  Copyright terms: Public domain W3C validator