MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dprdres 19897
Description: Restriction of a direct product (dropping factors). (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdres.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdres.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
dprdres.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdres (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆)))
Proof of Theorem dprdres
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdres.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdgrp 19874 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
4 dprdres.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
51, 4dprdf2 19876 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
6 dprdres.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
75, 6fssresd 6758 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
81ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
94ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
106ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
11 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
1210, 11sseldd 3983 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
13 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
1413adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
1510, 14sseldd 3983 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
16 eldifsni 4793 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 β‰  π‘₯)
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 β‰  π‘₯)
1817necomd 2996 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
19 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
208, 9, 12, 15, 18, 19dprdcntz 19877 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
2111fvresd 6911 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π‘₯))
2214fvresd 6911 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦) = (π‘†β€˜π‘¦))
2322fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) = ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘¦)))
2420, 21, 233sstr4d 4029 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)))
2524ralrimiva 3146 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)))
26 fvres 6910 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π‘₯))
2726adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) = (π‘†β€˜π‘₯))
2827ineq1d 4211 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
29 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3029subgacs 19040 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
31 acsmre 17595 . . . . . . . . . . . 12 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
323, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
34 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
35 resss 6006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝑆
36 imass1 6100 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝑆 β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
386adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† 𝐼)
39 ssdif 4139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 βŠ† 𝐼 β†’ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
40 imass2 6101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
4237, 41sstrid 3993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
4342unissd 4918 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
44 imassrn 6070 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† ran 𝑆
455frnd 6725 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
4629subgss 19006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
47 velpw 4607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ π‘₯ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
4846, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
4948ssriv 3986 . . . . . . . . . . . . . 14 (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ)
5045, 49sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ran 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
5244, 51sstrid 3993 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
53 sspwuni 5103 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
5452, 53sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
5533, 34, 43, 54mrcssd 17567 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
56 sslin 4234 . . . . . . . . 9 (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
581adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
594adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
606sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
61 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
6258, 59, 60, 61, 34dprddisj 19878 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ (𝑆 β€œ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)})
6357, 62sseqtrd 4022 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) βŠ† {(0gβ€˜πΊ)})
645ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
6560, 64syldan 591 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
6661subg0cl 19013 . . . . . . . . . 10 ((π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
6843, 54sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
6934mrccl 17554 . . . . . . . . . . 11 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
7033, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
7161subg0cl 19013 . . . . . . . . . 10 (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯}))))
7367, 72elind 4194 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
7473snssd 4812 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ {(0gβ€˜πΊ)} βŠ† ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))))
7563, 74eqssd 3999 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)})
7628, 75eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)})
7725, 76jca 512 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) ∧ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)}))
7877ralrimiva 3146 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) ∧ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)}))
791, 4dprddomcld 19870 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
8079, 6ssexd 5324 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
817fdmd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 β†Ύ 𝐴) = 𝐴)
8219, 61, 34dmdprd 19867 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ dom (𝑆 β†Ύ 𝐴) = 𝐴) β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢(SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) ∧ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)}))))
8380, 81, 82syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢(SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘¦)) ∧ (((𝑆 β†Ύ 𝐴)β€˜π‘₯) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((𝑆 β†Ύ 𝐴) β€œ (𝐴 βˆ– {π‘₯})))) = {(0gβ€˜πΊ)}))))
843, 7, 78, 83mpbir3and 1342 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴))
85 rnss 5938 . . . . . 6 ((𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† 𝑆 β†’ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† ran 𝑆)
86 uniss 4916 . . . . . 6 (ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† ran 𝑆 β†’ βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† βˆͺ ran 𝑆)
8735, 85, 86mp2b 10 . . . . 5 βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† βˆͺ ran 𝑆
8887a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴) βŠ† βˆͺ ran 𝑆)
89 sspwuni 5103 . . . . 5 (ran 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9050, 89sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
9132, 34, 88, 90mrcssd 17567 . . 3 (πœ‘ β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴)) βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran 𝑆))
9234dprdspan 19896 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) = ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴)))
9384, 92syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) = ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran (𝑆 β†Ύ 𝐴)))
9434dprdspan 19896 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran 𝑆))
951, 94syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ran 𝑆))
9691, 93, 953sstr4d 4029 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆))
9784, 96jca 512 1 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ 𝐴)) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  0gc0g 17384  Moorecmre 17525  mrClscmrc 17526  ACScacs 17528  Grpcgrp 18818  SubGrpcsubg 18999  Cntzccntz 19178   DProd cdprd 19862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-gim 19132  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-cmn 19649  df-dprd 19864
This theorem is referenced by:  dprdf1  19902  dprdcntz2  19907  dprddisj2  19908  dprd2dlem1  19910  dprd2da  19911  dmdprdsplit  19916  dprdsplit  19917  dpjf  19926  dpjidcl  19927  dpjlid  19930  dpjghm  19932  ablfac1eulem  19941  ablfac1eu  19942
  Copyright terms: Public domain W3C validator