Theorem dprdfsub 20065

Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
dprdfsub.b	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfsub	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   − (ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfsub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
2		eldprdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		eldprdi.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		eldprdi.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
5		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	dprdff 20056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7	6	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
8		dprdfadd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 8, 5	dprdff 20056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
10	9	ffvelcdmda 7118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
11		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13		dprdfsub.b	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
14	5, 11, 12, 13	grpsubval 19025	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
15	7, 10, 14	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
16	15	mpteq2dva 5266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
17	2, 3	dprddomcld 20045	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	6	feqmptd 6990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
19	9	feqmptd 6990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑘)))
20	17, 7, 10, 18, 19	offval2 7734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
21		fvexd 6935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
22		dprdgrp 20049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
23	2, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
24	5, 12, 23	grpinvf1o 19049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
25		f1of 6862	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺) → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
27	26	feqmptd 6990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
28		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
29	10, 19, 27, 28	fmptco 7163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
30	17, 7, 21, 18, 29	offval2 7734	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
31	16, 20, 30	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
32		eldprdi.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
33	32, 1, 2, 3, 8, 12	dprdfinv 20063	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
34	33	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊)
35	32, 1, 2, 3, 4, 34, 11	dprdfadd 20064	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))))
36	35	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊)
37	31, 36	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊)
38	31	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
39	33	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
40	39	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
41	35	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
42	5	dprdssv 20060	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
43	32, 1, 2, 3, 4	eldprdi 20062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
44	42, 43	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
45	32, 1, 2, 3, 8	eldprdi 20062	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	42, 45	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
47	5, 11, 12, 13	grpsubval 19025	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
48	44, 46, 47	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
49	40, 41, 48	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
50	38, 49	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
51	37, 50	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Xcixp 8955   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  -_gcsg 18975   DProd cdprd 20037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-cmn 19824  df-dprd 20039

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  20066  dprdf11  20067  dprdsubg  20068