MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfsub 20055
Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdfadd.4 (𝜑𝐻𝑊)
dprdfsub.b = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdfsub (𝜑 → ((𝐹f 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻))))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝑖,𝐺   ,𝐼,𝑖   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   (,𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfsub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . . . . 8 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
2 eldprdi.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 eldprdi.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 eldprdi.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑊)
5 eqid 2734 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5dprdff 20046 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
76ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
8 dprdfadd.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝑊)
91, 2, 3, 8, 5dprdff 20046 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
109ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐻𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
11 eqid 2734 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
12 eqid 2734 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
13 dprdfsub.b . . . . . . 7 = (-g𝐺)
145, 11, 12, 13grpsubval 19015 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
157, 10, 14syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
1615mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
172, 3dprddomcld 20035 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
186feqmptd 6976 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐼 ↦ (𝐹𝑘)))
199feqmptd 6976 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐼 ↦ (𝐻𝑘)))
2017, 7, 10, 18, 19offval2 7716 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
21 fvexd 6921 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
22 dprdgrp 20039 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
232, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
245, 12, 23grpinvf1o 19039 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
25 f1of 6848 . . . . . . . 8 ((invg𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺) → (invg𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (invg𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
2726feqmptd 6976 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
28 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
2910, 19, 27, 28fmptco 7148 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐼 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3017, 7, 21, 18, 29offval2 7716 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
3116, 20, 303eqtr4d 2784 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
32 eldprdi.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
3332, 1, 2, 3, 8, 12dprdfinv 20053 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
3433simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊)
3532, 1, 2, 3, 4, 34, 11dprdfadd 20054 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)))))
3635simpld 494 . . 3 (𝜑 → (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊)
3731, 36eqeltrd 2838 . 2 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) ∈ 𝑊)
3831oveq2d 7446 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
3933simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
4039oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
4135simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
425dprdssv 20050 . . . . . 6 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
4332, 1, 2, 3, 4eldprdi 20052 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4442, 43sselid 3992 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
4532, 1, 2, 3, 8eldprdi 20052 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4642, 45sselid 3992 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
475, 11, 12, 13grpsubval 19015 . . . . 5 (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
4844, 46, 47syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
4940, 41, 483eqtr4d 2784 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
5038, 49eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
5137, 50jca 511 1 (𝜑 → ((𝐹f 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ccom 5692  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  Xcixp 8935   finSupp cfsupp 9398  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  -gcsg 18965   DProd cdprd 20027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-cmn 19814  df-dprd 20029
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  20056  dprdf11  20057  dprdsubg  20058
  Copyright terms: Public domain W3C validator