Theorem dprdfsub 19891

Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
dprdfsub.b	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfsub	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   − (ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfsub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
2		eldprdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		eldprdi.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		eldprdi.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
5		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	dprdff 19882	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7	6	ffvelcdmda 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
8		dprdfadd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 8, 5	dprdff 19882	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
10	9	ffvelcdmda 7087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
11		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13		dprdfsub.b	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
14	5, 11, 12, 13	grpsubval 18870	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
15	7, 10, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
16	15	mpteq2dva 5249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
17	2, 3	dprddomcld 19871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	6	feqmptd 6961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
19	9	feqmptd 6961	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑘)))
20	17, 7, 10, 18, 19	offval2 7690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
21		fvexd 6907	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
22		dprdgrp 19875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
23	2, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
24	5, 12, 23	grpinvf1o 18893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
25		f1of 6834	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺) → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
27	26	feqmptd 6961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
28		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
29	10, 19, 27, 28	fmptco 7127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
30	17, 7, 21, 18, 29	offval2 7690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
31	16, 20, 30	3eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
32		eldprdi.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
33	32, 1, 2, 3, 8, 12	dprdfinv 19889	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
34	33	simpld 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊)
35	32, 1, 2, 3, 4, 34, 11	dprdfadd 19890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))))
36	35	simpld 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊)
37	31, 36	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊)
38	31	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
39	33	simprd 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
40	39	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
41	35	simprd 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
42	5	dprdssv 19886	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
43	32, 1, 2, 3, 4	eldprdi 19888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
44	42, 43	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
45	32, 1, 2, 3, 8	eldprdi 19888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	42, 45	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
47	5, 11, 12, 13	grpsubval 18870	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
48	44, 46, 47	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
49	40, 41, 48	3eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
50	38, 49	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
51	37, 50	jca 513	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  ⟶wf 6540  –1-1-onto→wf1o 6543  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7668  Xcixp 8891   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385   Σ_g cgsu 17386  Grpcgrp 18819  inv_gcminusg 18820  -_gcsg 18821   DProd cdprd 19863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-cmn 19650  df-dprd 19865

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  19892  dprdf11  19893  dprdsubg  19894