Theorem dprdfsub 19624

Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
dprdfsub.b	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfsub	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   − (ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfsub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
2		eldprdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		eldprdi.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		eldprdi.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
5		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	dprdff 19615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7	6	ffvelrnda 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
8		dprdfadd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 8, 5	dprdff 19615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
10	9	ffvelrnda 6961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13		dprdfsub.b	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
14	5, 11, 12, 13	grpsubval 18625	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
15	7, 10, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
16	15	mpteq2dva 5174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
17	2, 3	dprddomcld 19604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	6	feqmptd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
19	9	feqmptd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑘)))
20	17, 7, 10, 18, 19	offval2 7553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
21		fvexd 6789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
22		dprdgrp 19608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
23	2, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
24	5, 12, 23	grpinvf1o 18645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
25		f1of 6716	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺) → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
27	26	feqmptd 6837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
28		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
29	10, 19, 27, 28	fmptco 7001	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
30	17, 7, 21, 18, 29	offval2 7553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
31	16, 20, 30	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
32		eldprdi.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
33	32, 1, 2, 3, 8, 12	dprdfinv 19622	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
34	33	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊)
35	32, 1, 2, 3, 4, 34, 11	dprdfadd 19623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))))
36	35	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊)
37	31, 36	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊)
38	31	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
39	33	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
40	39	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
41	35	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
42	5	dprdssv 19619	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
43	32, 1, 2, 3, 4	eldprdi 19621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
44	42, 43	sselid 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
45	32, 1, 2, 3, 8	eldprdi 19621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	42, 45	sselid 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
47	5, 11, 12, 13	grpsubval 18625	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
48	44, 46, 47	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
49	40, 41, 48	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
50	38, 49	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
51	37, 50	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3432   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  Xcixp 8685   finSupp cfsupp 9128  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579   DProd cdprd 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-cmn 19388  df-dprd 19598

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  19625  dprdf11  19626  dprdsubg  19627