MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfsub 19874
Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdfadd.4 (𝜑𝐻𝑊)
dprdfsub.b = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdfsub (𝜑 → ((𝐹f 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻))))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝑖,𝐺   ,𝐼,𝑖   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   (,𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfsub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . . . . 8 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
2 eldprdi.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 eldprdi.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 eldprdi.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑊)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5dprdff 19865 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
76ffvelcdmda 7074 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
8 dprdfadd.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝑊)
91, 2, 3, 8, 5dprdff 19865 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
109ffvelcdmda 7074 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐻𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
11 eqid 2733 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
13 dprdfsub.b . . . . . . 7 = (-g𝐺)
145, 11, 12, 13grpsubval 18857 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
157, 10, 14syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
1615mpteq2dva 5244 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
172, 3dprddomcld 19854 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
186feqmptd 6949 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐼 ↦ (𝐹𝑘)))
199feqmptd 6949 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐼 ↦ (𝐻𝑘)))
2017, 7, 10, 18, 19offval2 7677 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
21 fvexd 6896 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
22 dprdgrp 19858 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
232, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
245, 12, 23grpinvf1o 18880 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
25 f1of 6823 . . . . . . . 8 ((invg𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺) → (invg𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (invg𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
2726feqmptd 6949 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
28 fveq2 6881 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
2910, 19, 27, 28fmptco 7114 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐼 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3017, 7, 21, 18, 29offval2 7677 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
3116, 20, 303eqtr4d 2783 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
32 eldprdi.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
3332, 1, 2, 3, 8, 12dprdfinv 19872 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
3433simpld 496 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊)
3532, 1, 2, 3, 4, 34, 11dprdfadd 19873 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)))))
3635simpld 496 . . 3 (𝜑 → (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊)
3731, 36eqeltrd 2834 . 2 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) ∈ 𝑊)
3831oveq2d 7412 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
3933simprd 497 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
4039oveq2d 7412 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
4135simprd 497 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
425dprdssv 19869 . . . . . 6 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
4332, 1, 2, 3, 4eldprdi 19871 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4442, 43sselid 3978 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
4532, 1, 2, 3, 8eldprdi 19871 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4642, 45sselid 3978 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
475, 11, 12, 13grpsubval 18857 . . . . 5 (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
4844, 46, 47syl2anc 585 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
4940, 41, 483eqtr4d 2783 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
5038, 49eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
5137, 50jca 513 1 (𝜑 → ((𝐹f 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹f 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   class class class wbr 5144  cmpt 5227  dom cdm 5672  ccom 5676  wf 6531  1-1-ontowf1o 6534  cfv 6535  (class class class)co 7396  f cof 7655  Xcixp 8879   finSupp cfsupp 9349  Basecbs 17131  +gcplusg 17184  0gc0g 17372   Σg cgsu 17373  Grpcgrp 18806  invgcminusg 18807  -gcsg 18808   DProd cdprd 19846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-tpos 8198  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-oi 9492  df-card 9921  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-seq 13954  df-hash 14278  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-mhm 18658  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-subg 18988  df-ghm 19075  df-gim 19118  df-cntz 19166  df-oppg 19194  df-cmn 19634  df-dprd 19848
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  19875  dprdf11  19876  dprdsubg  19877
  Copyright terms: Public domain W3C validator