Theorem dprdfsub 19539

Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
dprdfsub.b	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfsub	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻))))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   − (ℎ,𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfsub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
2		eldprdi.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		eldprdi.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		eldprdi.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
5		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	dprdff 19530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7	6	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
8		dprdfadd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 8, 5	dprdff 19530	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
10	9	ffvelrnda 6943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
11		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13		dprdfsub.b	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐺)
14	5, 11, 12, 13	grpsubval 18540	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
15	7, 10, 14	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
16	15	mpteq2dva 5170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
17	2, 3	dprddomcld 19519	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
18	6	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑘)))
19	9	feqmptd 6819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑘)))
20	17, 7, 10, 18, 19	offval2 7531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
21		fvexd 6771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
22		dprdgrp 19523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
23	2, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
24	5, 12, 23	grpinvf1o 18560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
25		f1of 6700	. . . . . . . 8 ⊢ ((invg‘𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺) → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
27	26	feqmptd 6819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
28		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
29	10, 19, 27, 28	fmptco 6983	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
30	17, 7, 21, 18, 29	offval2 7531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
31	16, 20, 30	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
32		eldprdi.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
33	32, 1, 2, 3, 8, 12	dprdfinv 19537	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
34	33	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊)
35	32, 1, 2, 3, 4, 34, 11	dprdfadd 19538	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))))
36	35	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊)
37	31, 36	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊)
38	31	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
39	33	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
40	39	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
41	35	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
42	5	dprdssv 19534	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
43	32, 1, 2, 3, 4	eldprdi 19536	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
44	42, 43	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
45	32, 1, 2, 3, 8	eldprdi 19536	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	42, 45	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
47	5, 11, 12, 13	grpsubval 18540	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
48	44, 46, 47	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
49	40, 41, 48	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
50	38, 49	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻)))
51	37, 50	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f − 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) − (𝐺 Σg 𝐻))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  Xcixp 8643   finSupp cfsupp 9058  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494   DProd cdprd 19511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-cmn 19303  df-dprd 19513

This theorem is referenced by:  dprdfeq0  19540  dprdf11  19541  dprdsubg  19542