Theorem dprdf11 20126

Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdf11.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dprdf11	⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(ℎ, 𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdf11

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
2		eldprdi.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
5		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	dprdff 20115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7	6	ffnd 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
8		dprdf11.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 8, 5	dprdff 20115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
10	9	ffnd 6713	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
11		eqfnfv 7032	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
12	7, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
13		eldprdi.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
14		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	13, 1, 2, 3, 4, 8, 14	dprdfsub 20124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻))))
16	15	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊)
17	13, 1, 2, 3, 16	dprdfeq0 20125	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
18	15	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)))
19	18	eqeq1d 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ))
20	2, 3	dprddomcld 20104	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
21		fvexd 6903	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
22		fvexd 6903	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ V)
23	6	feqmptd 6956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
24	9	feqmptd 6956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑥)))
25	20, 21, 22, 23, 24	offval2 7707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))))
26	25	eqeq1d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
27		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
28	27	rgenw 3086	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
29		mpteqb 7016	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 )
31		dprdgrp 20108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
32	2, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
34	6	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
35	9	ffvelcdmda 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 13, 14	grpsubeq0 19123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
38	37	ralbidva 3189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
39	30, 38	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
40	26, 39	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
41	17, 19, 40	3bitr3d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
42	5	dprdssv 20119	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
43	13, 1, 2, 3, 4	eldprdi 20121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
44	42, 43	sselid 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
45	13, 1, 2, 3, 8	eldprdi 20121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	42, 45	sselid 3938	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
47	5, 13, 14	grpsubeq0 19123	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
48	32, 44, 46, 47	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
49	12, 41, 48	3bitr2rd 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  {crab 3419  Vcvv 3458   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_f cof 7685  Xcixp 8904   finSupp cfsupp 9331  Basecbs 17294  0_gc0g 17517   Σ_g cgsu 17518  Grpcgrp 19031  -_gcsg 19033   DProd cdprd 20096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-gim 19360  df-cntz 19418  df-oppg 19447  df-cmn 19883  df-dprd 20098

This theorem is used by:  dmdprdsplitlem  20140  dpjeq  20162