Theorem dprdf11 20244

Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdf11.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dprdf11	⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ, 𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(ℎ, 𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdf11

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
2		eldprdi.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	dprdff 20233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7	6	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
8		dprdf11.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 8, 5	dprdff 20233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
10	9	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
11		eqfnfv 7029	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
12	7, 10, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
13		eldprdi.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	13, 1, 2, 3, 4, 8, 14	dprdfsub 20242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻))))
16	15	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊)
17	13, 1, 2, 3, 16	dprdfeq0 20243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
18	15	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)))
19	18	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ))
20	2, 3	dprddomcld 20222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
21		fvexd 6900	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
22		fvexd 6900	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ V)
23	6	feqmptd 6953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
24	9	feqmptd 6953	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑥)))
25	20, 21, 22, 23, 24	offval2 7713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))))
26	25	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
27		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
28	27	rgenw 3080	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
29		mpteqb 7013	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 )
31		dprdgrp 20226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
32	2, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
34	6	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
35	9	ffvelcdmda 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 13, 14	grpsubeq0 19241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
38	37	ralbidva 3183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
39	30, 38	bitrid 286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
40	26, 39	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
41	17, 19, 40	3bitr3d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
42	5	dprdssv 20237	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
43	13, 1, 2, 3, 4	eldprdi 20239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
44	42, 43	sselid 3906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
45	13, 1, 2, 3, 8	eldprdi 20239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	42, 45	sselid 3906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
47	5, 13, 14	grpsubeq0 19241	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
48	32, 44, 46, 47	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
49	12, 41, 48	3bitr2rd 311	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  Xcixp 8928   finSupp cfsupp 9356  Basecbs 17392  0_gc0g 17615   Σ_g cgsu 17616  Grpcgrp 19149  -_gcsg 19151   DProd cdprd 20214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-hash 14478  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-gim 19478  df-cntz 19536  df-oppg 19565  df-cmn 20001  df-dprd 20216

This theorem is used by:  dmdprdsplitlem  20258  dpjeq  20280