Theorem dprdf11 19939

Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdf11.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dprdf11	⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdf11

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
2		eldprdi.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	dprdff 19928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7	6	ffnd 6657	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
8		dprdf11.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 8, 5	dprdff 19928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
10	9	ffnd 6657	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
11		eqfnfv 6970	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
13		eldprdi.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
14		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	13, 1, 2, 3, 4, 8, 14	dprdfsub 19937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻))))
16	15	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊)
17	13, 1, 2, 3, 16	dprdfeq0 19938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
18	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)))
19	18	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ))
20	2, 3	dprddomcld 19917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
21		fvexd 6843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
22		fvexd 6843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ V)
23	6	feqmptd 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
24	9	feqmptd 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑥)))
25	20, 21, 22, 23, 24	offval2 7636	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))))
26	25	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
27		ovex 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
28	27	rgenw 3052	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
29		mpteqb 6954	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 )
31		dprdgrp 19921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
34	6	ffvelcdmda 7023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
35	9	ffvelcdmda 7023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 13, 14	grpsubeq0 18941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
38	37	ralbidva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
39	30, 38	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
40	26, 39	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
41	17, 19, 40	3bitr3d 309	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
42	5	dprdssv 19932	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
43	13, 1, 2, 3, 4	eldprdi 19934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
44	42, 43	sselid 3928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
45	13, 1, 2, 3, 8	eldprdi 19934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	42, 45	sselid 3928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
47	5, 13, 14	grpsubeq0 18941	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
48	32, 44, 46, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
49	12, 41, 48	3bitr2rd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {crab 3396  Vcvv 3437   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  dom cdm 5619   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614  Xcixp 8827   finSupp cfsupp 9252  Basecbs 17122  0_gc0g 17345   Σ_g cgsu 17346  Grpcgrp 18848  -_gcsg 18850   DProd cdprd 19909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-hash 14240  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-mulg 18983  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-gim 19173  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-cmn 19696  df-dprd 19911

This theorem is referenced by:  dmdprdsplitlem  19953  dpjeq  19975