Theorem dprdf11 20048

Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdf11.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dprdf11	⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdf11

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
2		eldprdi.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	dprdff 20037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7	6	ffnd 6688	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
8		dprdf11.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 8, 5	dprdff 20037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
10	9	ffnd 6688	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
11		eqfnfv 7007	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
12	7, 10, 11	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
13		eldprdi.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
14		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	13, 1, 2, 3, 4, 8, 14	dprdfsub 20046	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻))))
16	15	simpld 498	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊)
17	13, 1, 2, 3, 16	dprdfeq0 20047	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
18	15	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)))
19	18	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ))
20	2, 3	dprddomcld 20026	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
21		fvexd 6878	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
22		fvexd 6878	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ V)
23	6	feqmptd 6931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
24	9	feqmptd 6931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑥)))
25	20, 21, 22, 23, 24	offval2 7676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))))
26	25	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
27		ovex 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
28	27	rgenw 3079	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
29		mpteqb 6991	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 )
31		dprdgrp 20030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
33	32	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
34	6	ffvelcdmda 7061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
35	9	ffvelcdmda 7061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 13, 14	grpsubeq0 19051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
38	37	ralbidva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
39	30, 38	bitrid 285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
40	26, 39	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
41	17, 19, 40	3bitr3d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
42	5	dprdssv 20041	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
43	13, 1, 2, 3, 4	eldprdi 20043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
44	42, 43	sselid 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
45	13, 1, 2, 3, 8	eldprdi 20043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	42, 45	sselid 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
47	5, 13, 14	grpsubeq0 19051	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
48	32, 44, 46, 47	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
49	12, 41, 48	3bitr2rd 310	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645   Fn wfn 6512  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∘_f cof 7654  Xcixp 8875   finSupp cfsupp 9304  Basecbs 17228  0_gc0g 17451   Σ_g cgsu 17452  Grpcgrp 18958  -_gcsg 18960   DProd cdprd 20018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-cntz 19340  df-oppg 19369  df-cmn 19805  df-dprd 20020

This theorem is referenced by:  dmdprdsplitlem  20062  dpjeq  20084