Theorem dprdf11 19962

Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdf11.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dprdf11	⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdf11

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
2		eldprdi.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
3		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	dprdff 19951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7	6	ffnd 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐼)
8		dprdf11.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
9	1, 2, 3, 8, 5	dprdff 19951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
10	9	ffnd 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
11		eqfnfv 7006	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
12	7, 10, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
13		eldprdi.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
15	13, 1, 2, 3, 4, 8, 14	dprdfsub 19960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻))))
16	15	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) ∈ 𝑊)
17	13, 1, 2, 3, 16	dprdfeq0 19961	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
18	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)))
19	18	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻)) = 0 ↔ ((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ))
20	2, 3	dprddomcld 19940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
21		fvexd 6876	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
22		fvexd 6876	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ V)
23	6	feqmptd 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
24	9	feqmptd 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑥)))
25	20, 21, 22, 23, 24	offval2 7676	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))))
26	25	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )))
27		ovex 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
28	27	rgenw 3049	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V
29		mpteqb 6990	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 )
31		dprdgrp 19944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
32	2, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
34	6	ffvelcdmda 7059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
35	9	ffvelcdmda 7059	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
36	5, 13, 14	grpsubeq0 18965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
38	37	ralbidva 3155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
39	30, 38	bitrid 283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(-g‘𝐺)(𝐻‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
40	26, 39	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f (-g‘𝐺)𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
41	17, 19, 40	3bitr3d 309	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) = (𝐻‘𝑥)))
42	5	dprdssv 19955	. . . 4 ⊢ (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
43	13, 1, 2, 3, 4	eldprdi 19957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
44	42, 43	sselid 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
45	13, 1, 2, 3, 8	eldprdi 19957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
46	42, 45	sselid 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
47	5, 13, 14	grpsubeq0 18965	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
48	32, 44, 46, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g‘𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
49	12, 41, 48	3bitr2rd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408  Vcvv 3450   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  Xcixp 8873   finSupp cfsupp 9319  Basecbs 17186  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874   DProd cdprd 19932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-gim 19198  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-cmn 19719  df-dprd 19934

This theorem is referenced by:  dmdprdsplitlem  19976  dpjeq  19998