MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdcntz 19877
Description: The function ๐‘† is a family having pairwise commuting values. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
dprdcntz.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
dprdcntz.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
dprdcntz.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ผ)
dprdcntz.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)
dprdcntz.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
dprdcntz (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘Œ)))

Proof of Theorem dprdcntz
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6896 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘Œ)))
21sseq2d 4014 . 2 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘Œ))))
3 sneq 4638 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ {๐‘ฅ} = {๐‘‹})
43difeq2d 4122 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))
5 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘‹))
65sseq1d 4013 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
74, 6raleqbidv 3342 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})(๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
8 dprdcntz.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
9 dprdcntz.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
108, 9dprddomcld 19870 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
11 dprdcntz.z . . . . . . . 8 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
13 eqid 2732 . . . . . . . 8 (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ)) = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
1411, 12, 13dmdprd 19867 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ V โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))))
1510, 9, 14syl2anc 584 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))))
168, 15mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)})))
1716simp3d 1144 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))
18 simpl 483 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
1918ralimi 3083 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
2017, 19syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
21 dprdcntz.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
227, 20, 21rspcdva 3613 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})(๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
23 dprdcntz.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ผ)
24 dprdcntz.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)
2524necomd 2996 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹)
26 eldifsn 4790 . . 3 (๐‘Œ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘‹}) โ†” (๐‘Œ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹))
2723, 25, 26sylanbrc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))
282, 22, 27rspcdva 3613 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  {csn 4628  โˆช cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   โ€œ cima 5679  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  0gc0g 17384  mrClscmrc 17526  Grpcgrp 18818  SubGrpcsubg 18999  Cntzccntz 19178   DProd cdprd 19862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-ixp 8891  df-dprd 19864
This theorem is referenced by:  dprdfcntz  19884  dprdfadd  19889  dprdres  19897  dprdss  19898  dprdf1o  19901  dprdcntz2  19907  dprd2da  19911  dmdprdsplit2lem  19914
  Copyright terms: Public domain W3C validator