MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdcntz 19919
Description: The function ๐‘† is a family having pairwise commuting values. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
dprdcntz.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
dprdcntz.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
dprdcntz.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ผ)
dprdcntz.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)
dprdcntz.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
dprdcntz (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘Œ)))

Proof of Theorem dprdcntz
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2fveq3 6895 . . 3 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘Œ)))
21sseq2d 4013 . 2 (๐‘ฆ = ๐‘Œ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘Œ))))
3 sneq 4637 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ {๐‘ฅ} = {๐‘‹})
43difeq2d 4121 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))
5 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘‹))
65sseq1d 4012 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
74, 6raleqbidv 3340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})(๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
8 dprdcntz.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
9 dprdcntz.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
108, 9dprddomcld 19912 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
11 dprdcntz.z . . . . . . . 8 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
12 eqid 2730 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
13 eqid 2730 . . . . . . . 8 (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ)) = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
1411, 12, 13dmdprd 19909 . . . . . . 7 ((๐ผ โˆˆ V โˆง dom ๐‘† = ๐ผ) โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))))
1510, 9, 14syl2anc 582 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))))
168, 15mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)})))
1716simp3d 1142 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}))
18 simpl 481 . . . . 5 ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
1918ralimi 3081 . . . 4 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) โˆง ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)}) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
2017, 19syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘ฅ})(๐‘†โ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
21 dprdcntz.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ผ)
227, 20, 21rspcdva 3612 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘‹})(๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
23 dprdcntz.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ผ)
24 dprdcntz.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)
2524necomd 2994 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹)
26 eldifsn 4789 . . 3 (๐‘Œ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘‹}) โ†” (๐‘Œ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹))
2723, 25, 26sylanbrc 581 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐ผ โˆ– {๐‘‹}))
282, 22, 27rspcdva 3612 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘‹) โŠ† (๐‘โ€˜(๐‘†โ€˜๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  Vcvv 3472   โˆ– cdif 3944   โˆฉ cin 3946   โŠ† wss 3947  {csn 4627  โˆช cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675   โ€œ cima 5678  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  0gc0g 17389  mrClscmrc 17531  Grpcgrp 18855  SubGrpcsubg 19036  Cntzccntz 19220   DProd cdprd 19904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-ixp 8894  df-dprd 19906
This theorem is referenced by:  dprdfcntz  19926  dprdfadd  19931  dprdres  19939  dprdss  19940  dprdf1o  19943  dprdcntz2  19949  dprd2da  19953  dmdprdsplit2lem  19956
  Copyright terms: Public domain W3C validator