MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplitlem 20006
Description: Lemma for dmdprdsplit 20016. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplitlem.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dmdprdsplitlem.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dmdprdsplitlem.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dmdprdsplitlem.3 (𝜑𝐴𝐼)
dmdprdsplitlem.4 (𝜑𝐹𝑊)
dmdprdsplitlem.5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   0 ,   ,𝑖,𝐴   ,𝐺,𝑖   ,𝐼,𝑖   ,𝐹   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(,𝑖)   𝑋(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)))
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
42, 3dprdf2 19976 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐼)
64, 5fssresd 6764 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴):𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
7 fdm 6732 . . . . . 6 ((𝑆𝐴):𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
8 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
9 eqid 2725 . . . . . . 7 {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 }
108, 9eldprd 19973 . . . . . 6 (dom (𝑆𝐴) = 𝐴 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)) ↔ (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
116, 7, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)) ↔ (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
121, 11mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
1312simprd 494 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
1413adantr 479 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
15 simprr 771 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
1612simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
186, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
20 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
21 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
229, 17, 19, 20, 21dprdff 19981 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐴⟶(Base‘𝐺))
2322feqmptd 6966 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛)))
245ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴𝐼)
2524resmptd 6045 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑛𝐴 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
26 iftrue 4536 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐴 → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = (𝑓𝑛))
2726mpteq2ia 5252 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐴 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛))
2825, 27eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛)))
2923, 28eqtr4d 2768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴))
3029oveq2d 7435 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴)))
31 eqid 2725 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
322ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
33 dprdgrp 19974 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
34 grpmnd 18905 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
362, 3dprddomcld 19970 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ V)
3736ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
38 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
393ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
4017adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
4119adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
42 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
439, 40, 41, 42dprdfcl 19982 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ ((𝑆𝐴)‘𝑛))
44 fvres 6915 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝐴 → ((𝑆𝐴)‘𝑛) = (𝑆𝑛))
4544adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑆𝐴)‘𝑛) = (𝑆𝑛))
4643, 45eleqtrd 2827 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ (𝑆𝑛))
474ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4847ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
498subg0cl 19097 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5150adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ ¬ 𝑛𝐴) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5246, 51ifclda 4565 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) ∈ (𝑆𝑛))
5336mptexd 7236 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V)
5453ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V)
55 funmpt 6592 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
579, 17, 19, 20dprdffsupp 19983 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
58 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
59 eldifn 4124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑓 supp 0 ))
6059ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑓 supp 0 ))
6158, 60eldifd 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 )))
62 ssidd 4000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
6336, 5ssexd 5325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ V)
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 ∈ V)
658fvexi 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 0 ∈ V)
6722, 62, 64, 66suppssr 8201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑛) = 0 )
6867adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑛) = 0 )
6961, 68syldan 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) = 0 )
7069ifeq1da 4561 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = if(𝑛𝐴, 0 , 0 ))
71 ifid 4570 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑛𝐴, 0 , 0 ) = 0
7270, 71eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = 0 )
7372, 37suppss2 8206 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
74 fsuppsssupp 9406 . . . . . . . . . 10 ((((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) finSupp 0 )
7554, 56, 57, 73, 74syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) finSupp 0 )
7638, 32, 39, 52, 75dprdwd 19980 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ 𝑊)
7738, 32, 39, 76, 21dprdff 19981 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )):𝐼⟶(Base‘𝐺))
7838, 32, 39, 76, 31dprdfcntz 19984 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ran (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
79 eldifn 4124 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝐼𝐴) → ¬ 𝑛𝐴)
8079adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼𝐴)) → ¬ 𝑛𝐴)
8180iffalsed 4541 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼𝐴)) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = 0 )
8281, 37suppss2 8206 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
8321, 8, 31, 35, 37, 77, 78, 82, 75gsumzres 19876 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
8415, 30, 833eqtrd 2769 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
85 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑊)
8685ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐹𝑊)
878, 38, 32, 39, 86, 76dprdf11 19992 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))) ↔ 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
8884, 87mpbid 231 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
8988fveq1d 6898 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐹𝑋) = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋))
90 eldifi 4123 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑋𝐼)
9190ad2antlr 725 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑋𝐼)
92 eleq1 2813 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑛𝐴𝑋𝐴))
93 fveq2 6896 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑋))
9492, 93ifbieq1d 4554 . . . . 5 (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
95 eqid 2725 . . . . 5 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))
96 fvex 6909 . . . . . 6 (𝑓𝑛) ∈ V
9796, 65ifex 4580 . . . . 5 if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) ∈ V
9894, 95, 97fvmpt3i 7009 . . . 4 (𝑋𝐼 → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
9991, 98syl 17 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
100 eldifn 4124 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐼𝐴) → ¬ 𝑋𝐴)
101100ad2antlr 725 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ¬ 𝑋𝐴)
102101iffalsed 4541 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ) = 0 )
10389, 99, 1023eqtrd 2769 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐹𝑋) = 0 )
10414, 103rexlimddv 3150 1 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  cres 5680  Fun wfun 6543  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419   supp csupp 8165  Xcixp 8916   finSupp cfsupp 9387  Basecbs 17183  0gc0g 17424   Σg cgsu 17425  Mndcmnd 18697  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19083  Cntzccntz 19278   DProd cdprd 19962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-gim 19222  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-cmn 19749  df-dprd 19964
This theorem is referenced by:  dprddisj2  20008
  Copyright terms: Public domain W3C validator