MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplitlem 18903
Description: Lemma for dmdprdsplit 18913. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplitlem.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dmdprdsplitlem.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dmdprdsplitlem.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dmdprdsplitlem.3 (𝜑𝐴𝐼)
dmdprdsplitlem.4 (𝜑𝐹𝑊)
dmdprdsplitlem.5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   0 ,   ,𝑖,𝐴   ,𝐺,𝑖   ,𝐼,𝑖   ,𝐹   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(,𝑖)   𝑋(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)))
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
42, 3dprdf2 18873 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐼)
64, 5fssresd 6368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴):𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
7 fdm 6346 . . . . . 6 ((𝑆𝐴):𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
8 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
9 eqid 2772 . . . . . . 7 {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 }
108, 9eldprd 18870 . . . . . 6 (dom (𝑆𝐴) = 𝐴 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)) ↔ (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
116, 7, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)) ↔ (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
121, 11mpbid 224 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
1312simprd 488 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
1413adantr 473 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
15 simprr 760 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
1612simpld 487 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
1716ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
186, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
1918ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
20 simprl 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
21 eqid 2772 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
229, 17, 19, 20, 21dprdff 18878 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐴⟶(Base‘𝐺))
2322feqmptd 6556 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛)))
245ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴𝐼)
2524resmptd 5747 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑛𝐴 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
26 iftrue 4350 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐴 → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = (𝑓𝑛))
2726mpteq2ia 5012 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐴 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛))
2825, 27syl6eq 2824 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛)))
2923, 28eqtr4d 2811 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴))
3029oveq2d 6986 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴)))
31 eqid 2772 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
322ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
33 dprdgrp 18871 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
34 grpmnd 17892 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
362, 3dprddomcld 18867 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ V)
3736ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
38 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
393ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
4017adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
4119adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
42 simplrl 764 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
439, 40, 41, 42dprdfcl 18879 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ ((𝑆𝐴)‘𝑛))
44 fvres 6512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝐴 → ((𝑆𝐴)‘𝑛) = (𝑆𝑛))
4544adantl 474 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑆𝐴)‘𝑛) = (𝑆𝑛))
4643, 45eleqtrd 2862 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ (𝑆𝑛))
474ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4847ffvelrnda 6670 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
498subg0cl 18065 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5150adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ ¬ 𝑛𝐴) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5246, 51ifclda 4378 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) ∈ (𝑆𝑛))
5336mptexd 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V)
5453ad2antrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V)
55 funmpt 6220 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
579, 17, 19, 20dprdffsupp 18880 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
58 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
59 eldifn 3988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑓 supp 0 ))
6059ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑓 supp 0 ))
6158, 60eldifd 3834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 )))
62 ssidd 3874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
6336, 5ssexd 5078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ V)
6463ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 ∈ V)
658fvexi 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 0 ∈ V)
6722, 62, 64, 66suppssr 7658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑛) = 0 )
6867adantlr 702 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑛) = 0 )
6961, 68syldan 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) = 0 )
7069ifeq1da 4374 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = if(𝑛𝐴, 0 , 0 ))
71 ifid 4383 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑛𝐴, 0 , 0 ) = 0
7270, 71syl6eq 2824 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = 0 )
7372, 37suppss2 7661 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
74 fsuppsssupp 8638 . . . . . . . . . 10 ((((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) finSupp 0 )
7554, 56, 57, 73, 74syl22anc 826 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) finSupp 0 )
7638, 32, 39, 52, 75dprdwd 18877 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ 𝑊)
7738, 32, 39, 76, 21dprdff 18878 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )):𝐼⟶(Base‘𝐺))
7838, 32, 39, 76, 31dprdfcntz 18881 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ran (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
79 eldifn 3988 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝐼𝐴) → ¬ 𝑛𝐴)
8079adantl 474 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼𝐴)) → ¬ 𝑛𝐴)
8180iffalsed 4355 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼𝐴)) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = 0 )
8281, 37suppss2 7661 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
8321, 8, 31, 35, 37, 77, 78, 82, 75gsumzres 18777 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
8415, 30, 833eqtrd 2812 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
85 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑊)
8685ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐹𝑊)
878, 38, 32, 39, 86, 76dprdf11 18889 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))) ↔ 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
8884, 87mpbid 224 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
8988fveq1d 6495 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐹𝑋) = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋))
90 eldifi 3987 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑋𝐼)
9190ad2antlr 714 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑋𝐼)
92 eleq1 2847 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑛𝐴𝑋𝐴))
93 fveq2 6493 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑋))
9492, 93ifbieq1d 4367 . . . . 5 (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
95 eqid 2772 . . . . 5 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))
96 fvex 6506 . . . . . 6 (𝑓𝑛) ∈ V
9796, 65ifex 4392 . . . . 5 if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) ∈ V
9894, 95, 97fvmpt3i 6594 . . . 4 (𝑋𝐼 → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
9991, 98syl 17 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
100 eldifn 3988 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐼𝐴) → ¬ 𝑋𝐴)
101100ad2antlr 714 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ¬ 𝑋𝐴)
102101iffalsed 4355 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ) = 0 )
10389, 99, 1023eqtrd 2812 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐹𝑋) = 0 )
10414, 103rexlimddv 3230 1 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wrex 3083  {crab 3086  Vcvv 3409  cdif 3820  wss 3823  ifcif 4344   class class class wbr 4923  cmpt 5002  dom cdm 5401  cres 5403  Fun wfun 6176  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970   supp csupp 7627  Xcixp 8253   finSupp cfsupp 8622  Basecbs 16333  0gc0g 16563   Σg cgsu 16564  Mndcmnd 17756  Grpcgrp 17885  SubGrpcsubg 18051  Cntzccntz 18210   DProd cdprd 18859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-supp 7628  df-tpos 7689  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fsupp 8623  df-oi 8763  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-seq 13179  df-hash 13500  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-mhm 17797  df-submnd 17798  df-grp 17888  df-minusg 17889  df-sbg 17890  df-mulg 18006  df-subg 18054  df-ghm 18121  df-gim 18164  df-cntz 18212  df-oppg 18239  df-cmn 18662  df-dprd 18861
This theorem is referenced by:  dprddisj2  18905
  Copyright terms: Public domain W3C validator