MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplitlem 19816
Description: Lemma for dmdprdsplit 19826. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdsplitlem.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdsplitlem.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dmdprdsplitlem.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dmdprdsplitlem.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dmdprdsplitlem.3 (𝜑𝐴𝐼)
dmdprdsplitlem.4 (𝜑𝐹𝑊)
dmdprdsplitlem.5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)))
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplitlem ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑋) = 0 )
Distinct variable groups:   0 ,   ,𝑖,𝐴   ,𝐺,𝑖   ,𝐼,𝑖   ,𝐹   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑊(,𝑖)   𝑋(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dmdprdsplitlem
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmdprdsplitlem.5 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)))
2 dmdprdsplitlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 dmdprdsplitlem.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
42, 3dprdf2 19786 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
5 dmdprdsplitlem.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐼)
64, 5fssresd 6709 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴):𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
7 fdm 6677 . . . . . 6 ((𝑆𝐴):𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
8 dmdprdsplitlem.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
9 eqid 2736 . . . . . . 7 {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 }
108, 9eldprd 19783 . . . . . 6 (dom (𝑆𝐴) = 𝐴 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)) ↔ (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
116, 7, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd (𝑆𝐴)) ↔ (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))))
121, 11mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐴) ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓)))
1312simprd 496 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
1413adantr 481 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → ∃𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
15 simprr 771 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))
1612simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
186, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
20 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
21 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
229, 17, 19, 20, 21dprdff 19791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐴⟶(Base‘𝐺))
2322feqmptd 6910 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛)))
245ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴𝐼)
2524resmptd 5994 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑛𝐴 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
26 iftrue 4492 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐴 → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = (𝑓𝑛))
2726mpteq2ia 5208 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐴 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛))
2825, 27eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴) = (𝑛𝐴 ↦ (𝑓𝑛)))
2923, 28eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴))
3029oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴)))
31 eqid 2736 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
322ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
33 dprdgrp 19784 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
34 grpmnd 18755 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
362, 3dprddomcld 19780 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ V)
3736ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
38 dmdprdsplitlem.w . . . . . . . 8 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
393ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
4017adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐴))
4119adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → dom (𝑆𝐴) = 𝐴)
42 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
439, 40, 41, 42dprdfcl 19792 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ ((𝑆𝐴)‘𝑛))
44 fvres 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝐴 → ((𝑆𝐴)‘𝑛) = (𝑆𝑛))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → ((𝑆𝐴)‘𝑛) = (𝑆𝑛))
4643, 45eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) ∈ (𝑆𝑛))
474ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
4847ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺))
498subg0cl 18936 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑛) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5150adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) ∧ ¬ 𝑛𝐴) → 0 ∈ (𝑆𝑛))
5246, 51ifclda 4521 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛𝐼) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) ∈ (𝑆𝑛))
5336mptexd 7174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V)
5453ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V)
55 funmpt 6539 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))
5655a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
579, 17, 19, 20dprdffsupp 19793 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛𝐴)
59 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑓 supp 0 ))
6059ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → ¬ 𝑛 ∈ (𝑓 supp 0 ))
6158, 60eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 )))
62 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
6336, 5ssexd 5281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ V)
6463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 ∈ V)
658fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 0 ∈ V)
6722, 62, 64, 66suppssr 8127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑛) = 0 )
6867adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐴 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑛) = 0 )
6961, 68syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝑛𝐴) → (𝑓𝑛) = 0 )
7069ifeq1da 4517 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = if(𝑛𝐴, 0 , 0 ))
71 ifid 4526 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑛𝐴, 0 , 0 ) = 0
7270, 71eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = 0 )
7372, 37suppss2 8131 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
74 fsuppsssupp 9321 . . . . . . . . . 10 ((((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ V ∧ Fun (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) finSupp 0 )
7554, 56, 57, 73, 74syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) finSupp 0 )
7638, 32, 39, 52, 75dprdwd 19790 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ∈ 𝑊)
7738, 32, 39, 76, 21dprdff 19791 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )):𝐼⟶(Base‘𝐺))
7838, 32, 39, 76, 31dprdfcntz 19794 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ran (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
79 eldifn 4087 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝐼𝐴) → ¬ 𝑛𝐴)
8079adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼𝐴)) → ¬ 𝑛𝐴)
8180iffalsed 4497 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑛 ∈ (𝐼𝐴)) → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = 0 )
8281, 37suppss2 8131 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝐴)
8321, 8, 31, 35, 37, 77, 78, 82, 75gsumzres 19686 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
8415, 30, 833eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
85 dmdprdsplitlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑊)
8685ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐹𝑊)
878, 38, 32, 39, 86, 76dprdf11 19802 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))) ↔ 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))))
8884, 87mpbid 231 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐹 = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )))
8988fveq1d 6844 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐹𝑋) = ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋))
90 eldifi 4086 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑋𝐼)
9190ad2antlr 725 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑋𝐼)
92 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑛𝐴𝑋𝐴))
93 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑋 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑋))
9492, 93ifbieq1d 4510 . . . . 5 (𝑛 = 𝑋 → if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
95 eqid 2736 . . . . 5 (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 )) = (𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))
96 fvex 6855 . . . . . 6 (𝑓𝑛) ∈ V
9796, 65ifex 4536 . . . . 5 if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ) ∈ V
9894, 95, 97fvmpt3i 6953 . . . 4 (𝑋𝐼 → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
9991, 98syl 17 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑛𝐼 ↦ if(𝑛𝐴, (𝑓𝑛), 0 ))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ))
100 eldifn 4087 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐼𝐴) → ¬ 𝑋𝐴)
101100ad2antlr 725 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → ¬ 𝑋𝐴)
102101iffalsed 4497 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → if(𝑋𝐴, (𝑓𝑋), 0 ) = 0 )
10389, 99, 1023eqtrd 2780 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝑖) ∣ finSupp 0 } ∧ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐹𝑋) = 0 )
10414, 103rexlimddv 3158 1 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cres 5635  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  Xcixp 8835   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  SubGrpcsubg 18922  Cntzccntz 19095   DProd cdprd 19772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-cmn 19564  df-dprd 19774
This theorem is referenced by:  dprddisj2  19818
  Copyright terms: Public domain W3C validator