MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjidcl 20093
Description: The key property of projections: the sum of all the projections of 𝐴 is 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0 0 = (0g𝐺)
dpjidcl.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
dpjidcl (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝑥,, 0   ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,,𝑥   𝑆,,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjidcl
Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjidcl.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjidcl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
4 dpjidcl.w . . . . . 6 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
53, 4eldprd 20039 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
71, 6mpbid 232 . . 3 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓)))
87simprd 495 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
9 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
112adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
129ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑆)
132ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → dom 𝑆 = 𝐼)
14 dpjfval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
15 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
1612, 13, 14, 15dpjf 20092 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝑥):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑥))
171ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
1816, 17ffvelcdmd 7105 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) ∈ (𝑆𝑥))
199, 2dprddomcld 20036 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
2019mptexd 7244 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
22 funmpt 6606 . . . . . 6 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))
2322a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))
24 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓𝑊)
254, 10, 11, 24dprdffsupp 20049 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
26 eldifi 4141 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑥𝐼)
27 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
2812, 13, 14, 27, 15dpjval 20091 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝑥) = ((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
2928fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
3026, 29sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
31 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
32 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
33 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
34 dprdgrp 20040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
35 grpmnd 18971 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3610, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
3819ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐼 ∈ V)
394, 10, 11, 24, 32dprdff 20047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
4124adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓𝑊)
424, 12, 13, 41, 33dprdfcntz 20050 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
4326, 42sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
44 snssi 4813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
4645difss2d 4149 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
47 suppssdm 8201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
4847, 39fssdm 6756 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
50 ssconb 4152 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥} ⊆ 𝐼 ∧ (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5146, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5245, 51mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥}))
5325adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓 finSupp 0 )
5432, 3, 33, 37, 38, 40, 43, 52, 53gsumzres 19942 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 Σg 𝑓))
5531, 54eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
56 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 }
57 difss 4146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼)
5912, 13, 58dprdres 20063 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6059simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
6112, 13dprdf2 20042 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
62 fssres 6775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
6361, 57, 62sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
6463fdmd 6747 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → dom (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {𝑥}))
6539adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
6665feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓 = (𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)))
6766reseq1d 5999 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ((𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
68 resmpt 6057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)))
6957, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘))
7067, 69eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)))
71 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑘𝐼)
724, 12, 13, 41dprdfcl 20048 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
7371, 72sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
74 fvres 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆𝑘))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆𝑘))
7673, 75eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘))
7719difexd 5337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
7877mptexd 7244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V)
7978ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V)
80 funmpt 6606 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘))
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)))
8225adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
83 ssdif 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
8457, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))
8584sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
86 ssidd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
8719ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼 ∈ V)
883fvexi 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ∈ V)
9065, 86, 87, 89suppssr 8219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑘) = 0 )
9185, 90sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑘) = 0 )
9277ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
9391, 92suppss2 8224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
94 fsuppsssupp 9419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) finSupp 0 )
9579, 81, 82, 93, 94syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) finSupp 0 )
9656, 60, 64, 76, 95dprdwd 20046 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
9770, 96eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∈ {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
983, 56, 60, 64, 97eldprdi 20053 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
9926, 98sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
10055, 99eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
101 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
102 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
10361, 15ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
104 dprdsubg 20059 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10560, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10612, 13, 15, 3dpjdisj 20088 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
10712, 13, 15, 33dpjcntz 20087 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
108101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27pj1rid 19735 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
10926, 108sylanl2 681 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
110100, 109mpdan 687 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
11130, 110eqtrd 2775 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 0 )
11219adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
113111, 112suppss2 8224 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
114 fsuppsssupp 9419 . . . . 5 ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V ∧ Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
11521, 23, 25, 113, 114syl22anc 839 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
1164, 10, 11, 18, 115dprdwd 20046 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
117 simprr 773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
11839feqmptd 6977 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)))
119 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
12012, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
1214, 12, 13, 41dprdffsupp 20049 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
122 disjdif 4478 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅)
124 undif2 4483 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐼)
12515snssd 4814 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
126 ssequn1 4196 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
127125, 126sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
128124, 127eqtr2id 2788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼 = ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})))
12932, 3, 101, 33, 120, 87, 65, 42, 121, 123, 128gsumzsplit 19960 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg 𝑓) = ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
13065, 125feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ {𝑥}) = (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘)))
131130oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘))))
13265, 15ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
133 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑥 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑥))
13432, 133gsumsn 19987 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐼 ∧ (𝑓𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘))) = (𝑓𝑥))
135120, 15, 132, 134syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘))) = (𝑓𝑥))
136131, 135eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝑓𝑥))
137136oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = ((𝑓𝑥)(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
138119, 129, 1373eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 = ((𝑓𝑥)(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
13912, 13, 15, 102dpjlsm 20089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
14017, 139eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ ((𝑆𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
1414, 10, 11, 24dprdfcl 20048 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
142101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27, 140, 141, 98pj1eq 19733 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴 = ((𝑓𝑥)(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ↔ ((((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1𝐺)(𝑆𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))))
143138, 142mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1𝐺)(𝑆𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
144143simpld 494 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓𝑥))
14529, 144eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = (𝑓𝑥))
146145mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)))
147118, 146eqtr4d 2778 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))
148147oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))))
149117, 148eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))))
150116, 149jca 511 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
1518, 150rexlimddv 3159 1 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  Xcixp 8936   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  Cntzccntz 19346  LSSumclsm 19667  proj1cpj1 19668   DProd cdprd 20028  dProjcdpj 20029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-pj1 19670  df-cmn 19815  df-dprd 20030  df-dpj 20031
This theorem is referenced by:  dpjeq  20094  dpjid  20095
  Copyright terms: Public domain W3C validator