MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjidcl 18811
Description: The key property of projections: the sum of all the projections of 𝐴 is 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0 0 = (0g𝐺)
dpjidcl.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
dpjidcl (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝑥,, 0   ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,,𝑥   𝑆,,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjidcl
Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjidcl.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjidcl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
4 dpjidcl.w . . . . . 6 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
53, 4eldprd 18757 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
71, 6mpbid 224 . . 3 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓)))
87simprd 491 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
9 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
109adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
112adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
129ad2antrr 719 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑆)
132ad2antrr 719 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → dom 𝑆 = 𝐼)
14 dpjfval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
15 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
1612, 13, 14, 15dpjf 18810 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝑥):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑥))
171ad2antrr 719 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
1816, 17ffvelrnd 6609 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) ∈ (𝑆𝑥))
199, 2dprddomcld 18754 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
20 mptexg 6740 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
2119, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
2221adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
23 funmpt 6161 . . . . . 6 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))
25 simprl 789 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓𝑊)
264, 10, 11, 25dprdffsupp 18767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
27 eldifi 3959 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑥𝐼)
28 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
2912, 13, 14, 28, 15dpjval 18809 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝑥) = ((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
3029fveq1d 6435 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
3127, 30sylan2 588 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
32 simplrr 798 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
33 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
34 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
35 dprdgrp 18758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
36 grpmnd 17783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3710, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
3837adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
3919ad2antrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐼 ∈ V)
404, 10, 11, 25, 33dprdff 18765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
4140adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
4225adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓𝑊)
434, 12, 13, 42, 34dprdfcntz 18768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
4427, 43sylan2 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
45 snssi 4557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
4645adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
4746difss2d 3967 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
48 suppssdm 7572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
4948, 40fssdm 6294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
5049adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
51 ssconb 3970 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥} ⊆ 𝐼 ∧ (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5247, 50, 51syl2anc 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5346, 52mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥}))
5426adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓 finSupp 0 )
5533, 3, 34, 38, 39, 41, 44, 53, 54gsumzres 18663 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 Σg 𝑓))
5632, 55eqtr4d 2864 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
57 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 }
58 difss 3964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼)
6012, 13, 59dprdres 18781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6160simpld 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
6212, 13dprdf2 18760 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
63 fssres 6307 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
6462, 58, 63sylancl 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
6564fdmd 6287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → dom (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {𝑥}))
6640adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
6766feqmptd 6496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓 = (𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)))
6867reseq1d 5628 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ((𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
69 resmpt 5686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)))
7058, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘))
7168, 70syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)))
72 eldifi 3959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑘𝐼)
734, 12, 13, 42dprdfcl 18766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
7472, 73sylan2 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
75 fvres 6452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆𝑘))
7675adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆𝑘))
7774, 76eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘))
78 difexg 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
7919, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
80 mptexg 6740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V)
8281ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V)
83 funmpt 6161 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘))
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)))
8526adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
86 ssdif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
8758, 86ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))
8887sseli 3823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
89 ssidd 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
9019ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼 ∈ V)
913fvexi 6447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ∈ V)
9366, 89, 90, 92suppssr 7591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑘) = 0 )
9488, 93sylan2 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑘) = 0 )
9579ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
9694, 95suppss2 7594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
97 fsuppsssupp 8560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) finSupp 0 )
9882, 84, 85, 96, 97syl22anc 874 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) finSupp 0 )
9957, 61, 65, 77, 98dprdwd 18764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
10071, 99eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∈ {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
1013, 57, 61, 65, 100eldprdi 18771 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
10227, 101sylan2 588 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
10356, 102eqeltrd 2906 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
104 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
105 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
10662, 15ffvelrnd 6609 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
107 dprdsubg 18777 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10861, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10912, 13, 15, 3dpjdisj 18806 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
11012, 13, 15, 34dpjcntz 18805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
111104, 105, 3, 34, 106, 108, 109, 110, 28pj1rid 18466 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
11227, 111sylanl2 673 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
113103, 112mpdan 680 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
11431, 113eqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 0 )
11519adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
116114, 115suppss2 7594 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
117 fsuppsssupp 8560 . . . . 5 ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V ∧ Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
11822, 24, 26, 116, 117syl22anc 874 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
1194, 10, 11, 18, 118dprdwd 18764 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
120 simprr 791 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
12140feqmptd 6496 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)))
122 simplrr 798 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
12312, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
1244, 12, 13, 42dprdffsupp 18767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
125 disjdif 4263 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅)
127 undif2 4267 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐼)
12815snssd 4558 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
129 ssequn1 4010 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
130128, 129sylib 210 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
131127, 130syl5req 2874 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼 = ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})))
13233, 3, 104, 34, 123, 90, 66, 43, 124, 126, 131gsumzsplit 18680 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg 𝑓) = ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
13366, 128feqresmpt 6497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ {𝑥}) = (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘)))
134133oveq2d 6921 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘))))
13566, 15ffvelrnd 6609 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
136 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑥 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑥))
13733, 136gsumsn 18707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐼 ∧ (𝑓𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘))) = (𝑓𝑥))
138123, 15, 135, 137syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘))) = (𝑓𝑥))
139134, 138eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝑓𝑥))
140139oveq1d 6920 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = ((𝑓𝑥)(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
141122, 132, 1403eqtrd 2865 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 = ((𝑓𝑥)(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
14212, 13, 15, 105dpjlsm 18807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
14317, 142eleqtrd 2908 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ ((𝑆𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
1444, 10, 11, 25dprdfcl 18766 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
145104, 105, 3, 34, 106, 108, 109, 110, 28, 143, 144, 101pj1eq 18464 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴 = ((𝑓𝑥)(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ↔ ((((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1𝐺)(𝑆𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))))
146141, 145mpbid 224 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1𝐺)(𝑆𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
147146simpld 490 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓𝑥))
14830, 147eqtrd 2861 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = (𝑓𝑥))
149148mpteq2dva 4967 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)))
150121, 149eqtr4d 2864 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))
151150oveq2d 6921 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))))
152120, 151eqtrd 2861 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))))
153119, 152jca 509 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
1548, 153rexlimddv 3245 1 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3118  {crab 3121  Vcvv 3414  cdif 3795  cun 3796  cin 3797  wss 3798  c0 4144  {csn 4397   class class class wbr 4873  cmpt 4952  dom cdm 5342  ran crn 5343  cres 5344  Fun wfun 6117  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905   supp csupp 7559  Xcixp 8175   finSupp cfsupp 8544  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  0gc0g 16453   Σg cgsu 16454  Mndcmnd 17647  Grpcgrp 17776  SubGrpcsubg 17939  Cntzccntz 18098  LSSumclsm 18400  proj1cpj1 18401   DProd cdprd 18746  dProjcdpj 18747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-gim 18052  df-cntz 18100  df-oppg 18126  df-lsm 18402  df-pj1 18403  df-cmn 18548  df-dprd 18748  df-dpj 18749
This theorem is referenced by:  dpjeq  18812  dpjid  18813
  Copyright terms: Public domain W3C validator