Theorem dpjidcl 20121

Description: The key property of projections: the sum of all the projections of 𝐴 is 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjidcl.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }

Assertion

Ref	Expression
dpjidcl	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, 0   ℎ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,ℎ,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   ℎ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   𝑆,ℎ,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjidcl

Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjidcl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2		dpjfval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjidcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		dpjidcl.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
5	3, 4	eldprd 20067	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
6	2, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
7	1, 6	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8	7	simprd 500	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
9		dpjfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
10	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
11	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
12	9	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑆)
13	2	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → dom 𝑆 = 𝐼)
14		dpjfval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
15		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
16	12, 13, 14, 15	dpjf 20120	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑥):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆‘𝑥))
17	1	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
18	16, 17	ffvelcdmd 7070	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	9, 2	dprddomcld 20064	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
20	19	mptexd 7212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
21	20	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
22		funmpt 6563	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))
24		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 ∈ 𝑊)
25	4, 10, 11, 24	dprdffsupp 20077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
26		eldifi 4087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑥 ∈ 𝐼)
27		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (proj1‘𝐺) = (proj1‘𝐺)
28	12, 13, 14, 27, 15	dpjval 20119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
29	28	fveq1d 6873	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
30	26, 29	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
31		simplrr 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
32		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
33		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
34		dprdgrp 20068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
35		grpmnd 18997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
36	10, 34, 35	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
37	36	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
38	19	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐼 ∈ V)
39	4, 10, 11, 24, 32	dprdff 20075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
40	39	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
41	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ 𝑊)
42	4, 12, 13, 41, 33	dprdfcntz 20078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
43	26, 42	sylan2 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
44		snssi 4747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
45	44	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
46	45	difss2d 4095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
47		suppssdm 8161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
48	47, 39	fssdm 6715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
49	48	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
50		ssconb 4098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝐼 ∧ (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
51	46, 49, 50	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
52	45, 51	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥}))
53	25	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓 finSupp 0 )
54	32, 3, 33, 37, 38, 40, 43, 52, 53	gsumzres 19970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 Σg 𝑓))
55	31, 54	eqtr4d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
56		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
57		difss 4092	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼)
59	12, 13, 58	dprdres 20091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
60	59	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
61	12, 13	dprdf2 20070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
62		fssres 6734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
63	61, 57, 62	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
64	63	fdmd 6706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → dom (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {𝑥}))
65	39	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
66	65	feqmptd 6939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)))
67	66	reseq1d 5968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
68		resmpt 6030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)))
69	57, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘))
70	67, 69	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)))
71		eldifi 4087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝐼)
72	4, 12, 13, 41	dprdfcl 20076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
73	71, 72	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
74		fvres 6890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
75	74	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
76	73, 75	eleqtrrd 2868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓‘𝑘) ∈ ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘))
77	19	difexd 5292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
78	77	mptexd 7212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ V)
79	78	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ V)
80		funmpt 6563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘))
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)))
82	25	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
83		ssdif 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
84	57, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))
85	84	sseli 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
86		ssidd 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
87	19	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
88	3	fvexi 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ V)
90	65, 86, 87, 89	suppssr 8179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓‘𝑘) = 0 )
91	85, 90	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓‘𝑘) = 0 )
92	77	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
93	91, 92	suppss2 8184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
94		fsuppsssupp 9329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) finSupp 0 )
95	79, 81, 82, 93, 94	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) finSupp 0 )
96	56, 60, 64, 76, 95	dprdwd 20074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
97	70, 96	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
98	3, 56, 60, 64, 97	eldprdi 20081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
99	26, 98	sylan2 604	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
100	55, 99	eqeltrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
101		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
102		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
103	61, 15	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
104		dprdsubg 20087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
105	60, 104	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
106	12, 13, 15, 3	dpjdisj 20116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
107	12, 13, 15, 33	dpjcntz 20115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
108	101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27	pj1rid 19763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
109	26, 108	sylanl2 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
110	100, 109	mpdan 699	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
111	30, 110	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 0 )
112	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
113	111, 112	suppss2 8184	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
114		fsuppsssupp 9329	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
115	21, 23, 25, 113, 114	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
116	4, 10, 11, 18, 115	dprdwd 20074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
117		simprr 784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
118	39	feqmptd 6939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
119		simplrr 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
120	12, 34, 35	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
121	4, 12, 13, 41	dprdffsupp 20077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
122		disjdif 4429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅)
124		undif2 4434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐼)
125	15	snssd 4748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
126		ssequn1 4141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
127	125, 126	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
128	124, 127	eqtr2id 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 = ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})))
129	32, 3, 101, 33, 120, 87, 65, 42, 121, 123, 128	gsumzsplit 19988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg 𝑓) = ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
130	65, 125	feqresmpt 6940	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ {𝑥}) = (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘)))
131	130	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘))))
132	65, 15	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
133		fveq2 6871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
134	32, 133	gsumsn 20015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘))) = (𝑓‘𝑥))
135	120, 15, 132, 134	syl3anc 1394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘))) = (𝑓‘𝑥))
136	131, 135	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝑓‘𝑥))
137	136	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
138	119, 129, 137	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
139	12, 13, 15, 102	dpjlsm 20117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
140	17, 139	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ ((𝑆‘𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
141	4, 10, 11, 24	dprdfcl 20076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
142	101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27, 140, 141, 98	pj1eq 19761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴 = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ↔ ((((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓‘𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1‘𝐺)(𝑆‘𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))))
143	138, 142	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓‘𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1‘𝐺)(𝑆‘𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
144	143	simpld 499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓‘𝑥))
145	29, 144	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = (𝑓‘𝑥))
146	145	mpteq2dva 5198	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
147	118, 146	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))
148	147	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))))
149	117, 148	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))))
150	116, 149	jca 520	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))
151	8, 150	rexlimddv 3172	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  {crab 3417  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5652  ran crn 5653   ↾ cres 5654  Fun wfun 6519  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   supp csupp 8144  Xcixp 8883   finSupp cfsupp 9309  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  0_gc0g 17482   Σ_g cgsu 17483  Mndcmnd 18782  Grpcgrp 18990  SubGrpcsubg 19177  Cntzccntz 19376  LSSumclsm 19695  proj₁cpj1 19696   DProd cdprd 20056  dProjcdpj 20057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-gim 19320  df-cntz 19378  df-oppg 19407  df-lsm 19697  df-pj1 19698  df-cmn 19843  df-dprd 20058  df-dpj 20059

This theorem is referenced by:  dpjeq  20122  dpjid  20123