MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjidcl 19845
Description: The key property of projections: the sum of all the projections of 𝐴 is 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
dpjidcl.w π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
dpjidcl (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, 0   β„Ž,𝑖,𝐺,π‘₯   𝑃,β„Ž,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯   β„Ž,𝐼,𝑖,π‘₯   π‘₯,π‘Š   𝐴,β„Ž,π‘₯   𝑆,β„Ž,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑖)   π‘Š(β„Ž,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjidcl
Dummy variables π‘˜ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjidcl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2 dpjfval.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjidcl.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΊ)
4 dpjidcl.w . . . . . 6 π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
53, 4eldprd 19791 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 β†’ (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ π‘Š 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
62, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ π‘Š 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
71, 6mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ π‘Š 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
87simprd 497 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ π‘Š 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
9 dpjfval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
109adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
112adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
129ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
132ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
14 dpjfval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
15 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
1612, 13, 14, 15dpjf 19844 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯):(𝐺 DProd 𝑆)⟢(π‘†β€˜π‘₯))
171ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
1816, 17ffvelcdmd 7040 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
199, 2dprddomcld 19788 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
2019mptexd 7178 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ V)
2120adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ V)
22 funmpt 6543 . . . . . 6 Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄))
2322a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))
24 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓 ∈ π‘Š)
254, 10, 11, 24dprdffsupp 19801 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
26 eldifi 4090 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
27 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (proj1β€˜πΊ) = (proj1β€˜πΊ)
2812, 13, 14, 27, 15dpjval 19843 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
2928fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) = (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄))
3026, 29sylan2 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) = (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄))
31 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
32 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
34 dprdgrp 19792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
35 grpmnd 18763 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3610, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3736adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3819ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐼 ∈ V)
394, 10, 11, 24, 32dprdff 19799 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
4039adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
4124adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 ∈ π‘Š)
424, 12, 13, 41, 33dprdfcntz 19802 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑓 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝑓))
4326, 42sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ ran 𝑓 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝑓))
44 snssi 4772 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )))
4544adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )))
4645difss2d 4098 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝐼)
47 suppssdm 8112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 supp 0 ) βŠ† dom 𝑓
4847, 39fssdm 6692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (𝑓 supp 0 ) βŠ† 𝐼)
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (𝑓 supp 0 ) βŠ† 𝐼)
50 ssconb 4101 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯} βŠ† 𝐼 ∧ (𝑓 supp 0 ) βŠ† 𝐼) β†’ ({π‘₯} βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5146, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ ({π‘₯} βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5245, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (𝑓 supp 0 ) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
5325adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
5432, 3, 33, 37, 38, 40, 43, 52, 53gsumzres 19694 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
5531, 54eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
56 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 } = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
57 difss 4095 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼)
5912, 13, 58dprdres 19815 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆)))
6059simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
6112, 13dprdf2 19794 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
62 fssres 6712 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})):(𝐼 βˆ– {π‘₯})⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
6361, 57, 62sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})):(𝐼 βˆ– {π‘₯})⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
6463fdmd 6683 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ dom (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
6539adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
6665feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
6766reseq1d 5940 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
68 resmpt 5995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
6957, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜))
7067, 69eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
71 eldifi 4090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
724, 12, 13, 41dprdfcl 19800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
7371, 72sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
74 fvres 6865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘˜))
7574adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘˜))
7673, 75eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘˜))
7719difexd 5290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
7877mptexd 7178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ V)
7978ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ V)
80 funmpt 6543 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜))
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
8225adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
83 ssdif 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆ– (𝑓 supp 0 )) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )))
8457, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆ– (𝑓 supp 0 )) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))
8584sseli 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆ– (𝑓 supp 0 )) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )))
86 ssidd 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))
8719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ V)
883fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ V)
9065, 86, 87, 89suppssr 8131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = 0 )
9185, 90sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = 0 )
9277ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
9391, 92suppss2 8135 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))
94 fsuppsssupp 9329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) finSupp 0 )
9579, 81, 82, 93, 94syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) finSupp 0 )
9656, 60, 64, 76, 95dprdwd 19798 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 })
9770, 96eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 })
983, 56, 60, 64, 97eldprdi 19805 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
9926, 98sylan2 594 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
10055, 99eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
101 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
102 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (LSSumβ€˜πΊ) = (LSSumβ€˜πΊ)
10361, 15ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
104 dprdsubg 19811 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
10560, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
10612, 13, 15, 3dpjdisj 19840 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = { 0 })
10712, 13, 15, 33dpjcntz 19839 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
108101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27pj1rid 19492 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = 0 )
10926, 108sylanl2 680 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = 0 )
110100, 109mpdan 686 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = 0 )
11130, 110eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) = 0 )
11219adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐼 ∈ V)
113111, 112suppss2 8135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))
114 fsuppsssupp 9329 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ V ∧ Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) finSupp 0 )
11521, 23, 25, 113, 114syl22anc 838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) finSupp 0 )
1164, 10, 11, 18, 115dprdwd 19798 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ π‘Š)
117 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
11839feqmptd 6914 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
119 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
12012, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
1214, 12, 13, 41dprdffsupp 19801 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
122 disjdif 4435 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = βˆ…
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = βˆ…)
124 undif2 4440 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯} βˆͺ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = ({π‘₯} βˆͺ 𝐼)
12515snssd 4773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝐼)
126 ssequn1 4144 . . . . . . . . . . . . . 14 ({π‘₯} βŠ† 𝐼 ↔ ({π‘₯} βˆͺ 𝐼) = 𝐼)
127125, 126sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ({π‘₯} βˆͺ 𝐼) = 𝐼)
128124, 127eqtr2id 2786 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 = ({π‘₯} βˆͺ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
12932, 3, 101, 33, 120, 87, 65, 42, 121, 123, 128gsumzsplit 19712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) = ((𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ {π‘₯}))(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
13065, 125feqresmpt 6915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 β†Ύ {π‘₯}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯} ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
131130oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ {π‘₯})) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯} ↦ (π‘“β€˜π‘˜))))
13265, 15ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
133 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘₯))
13432, 133gsumsn 19739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯} ↦ (π‘“β€˜π‘˜))) = (π‘“β€˜π‘₯))
135120, 15, 132, 134syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯} ↦ (π‘“β€˜π‘˜))) = (π‘“β€˜π‘₯))
136131, 135eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ {π‘₯})) = (π‘“β€˜π‘₯))
137136oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ {π‘₯}))(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
138119, 129, 1373eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 = ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
13912, 13, 15, 102dpjlsm 19841 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ((π‘†β€˜π‘₯)(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
14017, 139eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘†β€˜π‘₯)(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
1414, 10, 11, 24dprdfcl 19800 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
142101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27, 140, 141, 98pj1eq 19490 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐴 = ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) ↔ ((((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))(proj1β€˜πΊ)(π‘†β€˜π‘₯))β€˜π΄) = (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))))
143138, 142mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))(proj1β€˜πΊ)(π‘†β€˜π‘₯))β€˜π΄) = (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
144143simpld 496 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = (π‘“β€˜π‘₯))
14529, 144eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) = (π‘“β€˜π‘₯))
146145mpteq2dva 5209 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
147118, 146eqtr4d 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))
148147oveq2d 7377 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄))))
149117, 148eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄))))
150116, 149jca 513 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))))
1518, 150rexlimddv 3155 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096  Xcixp 8841   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  Grpcgrp 18756  SubGrpcsubg 18930  Cntzccntz 19103  LSSumclsm 19424  proj1cpj1 19425   DProd cdprd 19780  dProjcdpj 19781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-pj1 19427  df-cmn 19572  df-dprd 19782  df-dpj 19783
This theorem is referenced by:  dpjeq  19846  dpjid  19847
  Copyright terms: Public domain W3C validator