Theorem dpjidcl 20076

Description: The key property of projections: the sum of all the projections of 𝐴 is 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjidcl.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }

Assertion

Ref	Expression
dpjidcl	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, 0   ℎ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,ℎ,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   ℎ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   𝑆,ℎ,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjidcl

Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjidcl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2		dpjfval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjidcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		dpjidcl.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
5	3, 4	eldprd 20022	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
7	1, 6	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8	7	simprd 498	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
9		dpjfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
10	9	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
11	2	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
12	9	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑆)
13	2	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → dom 𝑆 = 𝐼)
14		dpjfval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
15		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
16	12, 13, 14, 15	dpjf 20075	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑥):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆‘𝑥))
17	1	ad2antrr 734	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
18	16, 17	ffvelcdmd 7055	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	9, 2	dprddomcld 20019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
20	19	mptexd 7197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
21	20	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
22		funmpt 6548	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))
24		simprl 778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 ∈ 𝑊)
25	4, 10, 11, 24	dprdffsupp 20032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
26		eldifi 4079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑥 ∈ 𝐼)
27		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (proj1‘𝐺) = (proj1‘𝐺)
28	12, 13, 14, 27, 15	dpjval 20074	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
29	28	fveq1d 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
30	26, 29	sylan2 601	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
31		simplrr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
32		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
33		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
34		dprdgrp 20023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
35		grpmnd 18958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
36	10, 34, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
37	36	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
38	19	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐼 ∈ V)
39	4, 10, 11, 24, 32	dprdff 20030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
40	39	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
41	24	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ 𝑊)
42	4, 12, 13, 41, 33	dprdfcntz 20033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
43	26, 42	sylan2 601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
44		snssi 4738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
45	44	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
46	45	difss2d 4087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
47		suppssdm 8145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
48	47, 39	fssdm 6700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
49	48	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
50		ssconb 4090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝐼 ∧ (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
51	46, 49, 50	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
52	45, 51	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥}))
53	25	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓 finSupp 0 )
54	32, 3, 33, 37, 38, 40, 43, 52, 53	gsumzres 19925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 Σg 𝑓))
55	31, 54	eqtr4d 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
56		eqid 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
57		difss 4084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼)
59	12, 13, 58	dprdres 20046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
60	59	simpld 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
61	12, 13	dprdf2 20025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
62		fssres 6719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
63	61, 57, 62	sylancl 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
64	63	fdmd 6691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → dom (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {𝑥}))
65	39	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
66	65	feqmptd 6924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)))
67	66	reseq1d 5957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
68		resmpt 6016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)))
69	57, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘))
70	67, 69	eqtrdi 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)))
71		eldifi 4079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝐼)
72	4, 12, 13, 41	dprdfcl 20031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
73	71, 72	sylan2 601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
74		fvres 6875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
75	74	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
76	73, 75	eleqtrrd 2859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓‘𝑘) ∈ ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘))
77	19	difexd 5281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
78	77	mptexd 7197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ V)
79	78	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ V)
80		funmpt 6548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘))
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)))
82	25	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
83		ssdif 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
84	57, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))
85	84	sseli 3927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
86		ssidd 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
87	19	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
88	3	fvexi 6870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ V)
90	65, 86, 87, 89	suppssr 8163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓‘𝑘) = 0 )
91	85, 90	sylan2 601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓‘𝑘) = 0 )
92	77	ad2antrr 734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
93	91, 92	suppss2 8168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
94		fsuppsssupp 9317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) finSupp 0 )
95	79, 81, 82, 93, 94	syl22anc 847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) finSupp 0 )
96	56, 60, 64, 76, 95	dprdwd 20029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
97	70, 96	eqeltrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
98	3, 56, 60, 64, 97	eldprdi 20036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
99	26, 98	sylan2 601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
100	55, 99	eqeltrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
101		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
102		eqid 2756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
103	61, 15	ffvelcdmd 7055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
104		dprdsubg 20042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
105	60, 104	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
106	12, 13, 15, 3	dpjdisj 20071	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
107	12, 13, 15, 33	dpjcntz 20070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
108	101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27	pj1rid 19718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
109	26, 108	sylanl2 689	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
110	100, 109	mpdan 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
111	30, 110	eqtrd 2791	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 0 )
112	19	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
113	111, 112	suppss2 8168	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
114		fsuppsssupp 9317	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
115	21, 23, 25, 113, 114	syl22anc 847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
116	4, 10, 11, 18, 115	dprdwd 20029	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
117		simprr 780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
118	39	feqmptd 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
119		simplrr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
120	12, 34, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
121	4, 12, 13, 41	dprdffsupp 20032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
122		disjdif 4420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅)
124		undif2 4425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐼)
125	15	snssd 4739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
126		ssequn1 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
127	125, 126	sylib 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
128	124, 127	eqtr2id 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 = ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})))
129	32, 3, 101, 33, 120, 87, 65, 42, 121, 123, 128	gsumzsplit 19943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg 𝑓) = ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
130	65, 125	feqresmpt 6925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ {𝑥}) = (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘)))
131	130	oveq2d 7401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘))))
132	65, 15	ffvelcdmd 7055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
133		fveq2 6856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
134	32, 133	gsumsn 19970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘))) = (𝑓‘𝑥))
135	120, 15, 132, 134	syl3anc 1386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘))) = (𝑓‘𝑥))
136	131, 135	eqtrd 2791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝑓‘𝑥))
137	136	oveq1d 7400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
138	119, 129, 137	3eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
139	12, 13, 15, 102	dpjlsm 20072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
140	17, 139	eleqtrd 2858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ ((𝑆‘𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
141	4, 10, 11, 24	dprdfcl 20031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
142	101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27, 140, 141, 98	pj1eq 19716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴 = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ↔ ((((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓‘𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1‘𝐺)(𝑆‘𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))))
143	138, 142	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓‘𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1‘𝐺)(𝑆‘𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
144	143	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓‘𝑥))
145	29, 144	eqtrd 2791	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = (𝑓‘𝑥))
146	145	mpteq2dva 5187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
147	118, 146	eqtr4d 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))
148	147	oveq2d 7401	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))))
149	117, 148	eqtrd 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))))
150	116, 149	jca 518	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))
151	8, 150	rexlimddv 3163	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ∃wrex 3080  {crab 3408  Vcvv 3448   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280  {csn 4576   class class class wbr 5094   ↦ cmpt 5175  dom cdm 5640  ran crn 5641   ↾ cres 5642  Fun wfun 6504  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   supp csupp 8128  Xcixp 8868   finSupp cfsupp 9297  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262  0_gc0g 17444   Σ_g cgsu 17445  Mndcmnd 18744  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  Cntzccntz 19331  LSSumclsm 19650  proj₁cpj1 19651   DProd cdprd 20011  dProjcdpj 20012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-hash 14334  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mhm 18793  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19230  df-gim 19275  df-cntz 19333  df-oppg 19362  df-lsm 19652  df-pj1 19653  df-cmn 19798  df-dprd 20013  df-dpj 20014

This theorem is referenced by:  dpjeq  20077  dpjid  20078