MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjidcl 19102
Description: The key property of projections: the sum of all the projections of 𝐴 is 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0 0 = (0g𝐺)
dpjidcl.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
dpjidcl (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝑥,, 0   ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,,𝑥   𝑆,,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjidcl
Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjidcl.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2 dpjfval.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjidcl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
4 dpjidcl.w . . . . . 6 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
53, 4eldprd 19048 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
71, 6mpbid 233 . . 3 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓)))
87simprd 496 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
9 dpjfval.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
112adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
129ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑆)
132ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → dom 𝑆 = 𝐼)
14 dpjfval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
15 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
1612, 13, 14, 15dpjf 19101 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝑥):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆𝑥))
171ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
1816, 17ffvelrnd 6847 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) ∈ (𝑆𝑥))
199, 2dprddomcld 19045 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
2019mptexd 6985 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
22 funmpt 6389 . . . . . 6 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))
2322a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))
24 simprl 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓𝑊)
254, 10, 11, 24dprdffsupp 19058 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
26 eldifi 4106 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑥𝐼)
27 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (proj1𝐺) = (proj1𝐺)
2812, 13, 14, 27, 15dpjval 19100 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑃𝑥) = ((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
2928fveq1d 6668 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
3026, 29sylan2 592 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
31 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
32 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
33 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
34 dprdgrp 19049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
35 grpmnd 18042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
3610, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
3819ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐼 ∈ V)
394, 10, 11, 24, 32dprdff 19056 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
4124adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓𝑊)
424, 12, 13, 41, 33dprdfcntz 19059 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
4326, 42sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
44 snssi 4739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
4645difss2d 4114 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
47 suppssdm 7837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
4847, 39fssdm 6526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
50 ssconb 4117 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥} ⊆ 𝐼 ∧ (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5146, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
5245, 51mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥}))
5325adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓 finSupp 0 )
5432, 3, 33, 37, 38, 40, 43, 52, 53gsumzres 18951 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 Σg 𝑓))
5531, 54eqtr4d 2863 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
56 eqid 2825 . . . . . . . . . . 11 {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 } = {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 }
57 difss 4111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼)
5912, 13, 58dprdres 19072 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6059simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
6112, 13dprdf2 19051 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
62 fssres 6540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
6361, 57, 62sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
6463fdmd 6519 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → dom (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {𝑥}))
6539adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
6665feqmptd 6729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓 = (𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)))
6766reseq1d 5850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ((𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
68 resmpt 5903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)))
6957, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑓𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘))
7067, 69syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)))
71 eldifi 4106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑘𝐼)
724, 12, 13, 41dprdfcl 19057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
7371, 72sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
74 fvres 6685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆𝑘))
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆𝑘))
7673, 75eleqtrrd 2920 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓𝑘) ∈ ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘))
77 difexg 5227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
7819, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
7978mptexd 6985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V)
8079ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V)
81 funmpt 6389 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘))
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)))
8325adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
84 ssdif 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
8557, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))
8685sseli 3966 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
87 ssidd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
8819ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼 ∈ V)
893fvexi 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ∈ V)
9165, 87, 88, 90suppssr 7855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑘) = 0 )
9286, 91sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓𝑘) = 0 )
9378ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
9492, 93suppss2 7858 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
95 fsuppsssupp 8841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) finSupp 0 )
9680, 82, 83, 94, 95syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) finSupp 0 )
9756, 60, 64, 76, 96dprdwd 19055 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓𝑘)) ∈ {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
9870, 97eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∈ {X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ finSupp 0 })
993, 56, 60, 64, 98eldprdi 19062 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
10026, 99sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
10155, 100eqeltrd 2917 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
102 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
103 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
10461, 15ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
105 dprdsubg 19068 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10660, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10712, 13, 15, 3dpjdisj 19097 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑆𝑥) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
10812, 13, 15, 33dpjcntz 19096 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
109102, 103, 3, 33, 104, 106, 107, 108, 27pj1rid 18750 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
11026, 109sylanl2 677 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
111101, 110mpdan 683 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
11230, 111eqtrd 2860 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = 0 )
11319adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
114112, 113suppss2 7858 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
115 fsuppsssupp 8841 . . . . 5 ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ V ∧ Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
11621, 23, 25, 114, 115syl22anc 836 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
1174, 10, 11, 18, 116dprdwd 19055 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
118 simprr 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
11939feqmptd 6729 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)))
120 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
12112, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
1224, 12, 13, 41dprdffsupp 19058 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
123 disjdif 4423 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅)
125 undif2 4427 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐼)
12615snssd 4740 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
127 ssequn1 4159 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
128126, 127sylib 219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
129125, 128syl5req 2873 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼 = ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})))
13032, 3, 102, 33, 121, 88, 65, 42, 122, 124, 129gsumzsplit 18969 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg 𝑓) = ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
13165, 126feqresmpt 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓 ↾ {𝑥}) = (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘)))
132131oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘))))
13365, 15ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
134 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑥 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑥))
13532, 134gsumsn 18996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐼 ∧ (𝑓𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘))) = (𝑓𝑥))
136121, 15, 133, 135syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓𝑘))) = (𝑓𝑥))
137132, 136eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝑓𝑥))
138137oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = ((𝑓𝑥)(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
139120, 130, 1383eqtrd 2864 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 = ((𝑓𝑥)(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
14012, 13, 15, 103dpjlsm 19098 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
14117, 140eleqtrd 2919 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ ((𝑆𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
1424, 10, 11, 24dprdfcl 19057 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
143102, 103, 3, 33, 104, 106, 107, 108, 27, 141, 142, 99pj1eq 18748 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴 = ((𝑓𝑥)(+g𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ↔ ((((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1𝐺)(𝑆𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))))
144139, 143mpbid 233 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1𝐺)(𝑆𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
145144simpld 495 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑆𝑥)(proj1𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓𝑥))
14629, 145eqtrd 2860 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑃𝑥)‘𝐴) = (𝑓𝑥))
147146mpteq2dva 5157 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑓𝑥)))
148119, 147eqtr4d 2863 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))
149148oveq2d 7167 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))))
150118, 149eqtrd 2860 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴))))
151117, 150jca 512 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑊𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
1528, 151rexlimddv 3295 1 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑃𝑥)‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3143  {crab 3146  Vcvv 3499  cdif 3936  cun 3937  cin 3938  wss 3939  c0 4294  {csn 4563   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  ran crn 5554  cres 5555  Fun wfun 6345  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151   supp csupp 7824  Xcixp 8453   finSupp cfsupp 8825  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  Mndcmnd 17902  Grpcgrp 18035  SubGrpcsubg 18205  Cntzccntz 18377  LSSumclsm 18681  proj1cpj1 18682   DProd cdprd 19037  dProjcdpj 19038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-mulg 18157  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-gim 18331  df-cntz 18379  df-oppg 18406  df-lsm 18683  df-pj1 18684  df-cmn 18830  df-dprd 19039  df-dpj 19040
This theorem is referenced by:  dpjeq  19103  dpjid  19104
  Copyright terms: Public domain W3C validator