Theorem dpjidcl 19851

Description: The key property of projections: the sum of all the projections of 𝐴 is 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dpjfval.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p	⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
dpjidcl.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }

Assertion

Ref	Expression
dpjidcl	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, 0   ℎ,𝑖,𝐺,𝑥   𝑃,ℎ,𝑥   𝜑,𝑖,𝑥   ℎ,𝐼,𝑖,𝑥   𝑥,𝑊   𝐴,ℎ,𝑥   𝑆,ℎ,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjidcl

Dummy variables 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dpjidcl.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2		dpjfval.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		dpjidcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		dpjidcl.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
5	3, 4	eldprd 19797	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
6	2, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))))
7	1, 6	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓)))
8	7	simprd 496	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝑊 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
9		dpjfval.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺dom DProd 𝑆)
11	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → dom 𝑆 = 𝐼)
12	9	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd 𝑆)
13	2	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → dom 𝑆 = 𝐼)
14		dpjfval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
15		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
16	12, 13, 14, 15	dpjf 19850	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑥):(𝐺 DProd 𝑆)⟶(𝑆‘𝑥))
17	1	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
18	16, 17	ffvelcdmd 7041	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	9, 2	dprddomcld 19794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
20	19	mptexd 7179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ V)
22		funmpt 6544	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))
24		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 ∈ 𝑊)
25	4, 10, 11, 24	dprdffsupp 19807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 finSupp 0 )
26		eldifi 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑥 ∈ 𝐼)
27		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (proj1‘𝐺) = (proj1‘𝐺)
28	12, 13, 14, 27, 15	dpjval 19849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑃‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
29	28	fveq1d 6849	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
30	26, 29	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴))
31		simplrr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
32		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
33		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
34		dprdgrp 19798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
35		grpmnd 18769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
36	10, 34, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐺 ∈ Mnd)
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐺 ∈ Mnd)
38	19	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐼 ∈ V)
39	4, 10, 11, 24, 32	dprdff 19805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
41	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ 𝑊)
42	4, 12, 13, 41, 33	dprdfcntz 19808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
43	26, 42	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
44		snssi 4773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
46	45	difss2d 4099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
47		suppssdm 8113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓
48	47, 39	fssdm 6693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼)
50		ssconb 4102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥} ⊆ 𝐼 ∧ (𝑓 supp 0 ) ⊆ 𝐼) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
51	46, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ({𝑥} ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥})))
52	45, 51	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑥}))
53	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝑓 finSupp 0 )
54	32, 3, 33, 37, 38, 40, 43, 52, 53	gsumzres 19700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 Σg 𝑓))
55	31, 54	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
56		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 } = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
57		difss 4096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼)
59	12, 13, 58	dprdres 19821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
60	59	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
61	12, 13	dprdf2 19800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
62		fssres 6713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
63	61, 57, 62	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})):(𝐼 ∖ {𝑥})⟶(SubGrp‘𝐺))
64	63	fdmd 6684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → dom (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {𝑥}))
65	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
66	65	feqmptd 6915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)))
67	66	reseq1d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))
68		resmpt 5996	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)))
69	57, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑘)) ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘))
70	67, 69	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) = (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)))
71		eldifi 4091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → 𝑘 ∈ 𝐼)
72	4, 12, 13, 41	dprdfcl 19806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
73	71, 72	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
74		fvres 6866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘) = (𝑆‘𝑘))
76	73, 75	eleqtrrd 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝑓‘𝑘) ∈ ((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑘))
77	19	difexd 5291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
78	77	mptexd 7179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ V)
79	78	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ V)
80		funmpt 6544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘))
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)))
82	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
83		ssdif 4104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐼 → ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
84	57, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) ⊆ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))
85	84	sseli 3943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 )) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 )))
86		ssidd 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
87	19	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
88	3	fvexi 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ∈ V)
90	65, 86, 87, 89	suppssr 8132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓‘𝑘) = 0 )
91	85, 90	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐼 ∖ {𝑥}) ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑓‘𝑘) = 0 )
92	77	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∖ {𝑥}) ∈ V)
93	91, 92	suppss2 8136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
94		fsuppsssupp 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) finSupp 0 )
95	79, 81, 82, 93, 94	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) finSupp 0 )
96	56, 60, 64, 76, 95	dprdwd 19804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥}) ↦ (𝑓‘𝑘)) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
97	70, 96	eqeltrd 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑥})((𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 })
98	3, 56, 60, 64, 97	eldprdi 19811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
99	26, 98	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
100	55, 99	eqeltrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))
101		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
102		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
103	61, 15	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
104		dprdsubg 19817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
105	60, 104	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
106	12, 13, 15, 3	dpjdisj 19846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑆‘𝑥) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = { 0 })
107	12, 13, 15, 33	dpjcntz 19845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
108	101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27	pj1rid 19498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
109	26, 108	sylanl2 679	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
110	100, 109	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = 0 )
111	30, 110	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑓 supp 0 ))) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = 0 )
112	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐼 ∈ V)
113	111, 112	suppss2 8136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))
114		fsuppsssupp 9330	. . . . 5 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) supp 0 ) ⊆ (𝑓 supp 0 ))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
115	21, 23, 25, 113, 114	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) finSupp 0 )
116	4, 10, 11, 18, 115	dprdwd 19804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊)
117		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
118	39	feqmptd 6915	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
119		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))
120	12, 34, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 ∈ Mnd)
121	4, 12, 13, 41	dprdffsupp 19807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑓 finSupp 0 )
122		disjdif 4436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ({𝑥} ∩ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ∅)
124		undif2 4441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})) = ({𝑥} ∪ 𝐼)
125	15	snssd 4774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → {𝑥} ⊆ 𝐼)
126		ssequn1 4145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
127	125, 126	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ({𝑥} ∪ 𝐼) = 𝐼)
128	124, 127	eqtr2id 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 = ({𝑥} ∪ (𝐼 ∖ {𝑥})))
129	32, 3, 101, 33, 120, 87, 65, 42, 121, 123, 128	gsumzsplit 19718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg 𝑓) = ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
130	65, 125	feqresmpt 6916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓 ↾ {𝑥}) = (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘)))
131	130	oveq2d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘))))
132	65, 15	ffvelcdmd 7041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
133		fveq2 6847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝑓‘𝑘) = (𝑓‘𝑥))
134	32, 133	gsumsn 19745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘))) = (𝑓‘𝑥))
135	120, 15, 132, 134	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑥} ↦ (𝑓‘𝑘))) = (𝑓‘𝑥))
136	131, 135	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥})) = (𝑓‘𝑥))
137	136	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺 Σg (𝑓 ↾ {𝑥}))(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
138	119, 129, 137	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
139	12, 13, 15, 102	dpjlsm 19847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝑆‘𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
140	17, 139	eleqtrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ ((𝑆‘𝑥)(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
141	4, 10, 11, 24	dprdfcl 19806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
142	101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27, 140, 141, 98	pj1eq 19496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴 = ((𝑓‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))) ↔ ((((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓‘𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1‘𝐺)(𝑆‘𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))))
143	138, 142	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓‘𝑥) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))(proj1‘𝐺)(𝑆‘𝑥))‘𝐴) = (𝐺 Σg (𝑓 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥})))))
144	143	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑆‘𝑥)(proj1‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑥}))))‘𝐴) = (𝑓‘𝑥))
145	29, 144	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑃‘𝑥)‘𝐴) = (𝑓‘𝑥))
146	145	mpteq2dva 5210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑓‘𝑥)))
147	118, 146	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝑓 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))
148	147	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → (𝐺 Σg 𝑓) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))))
149	117, 148	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴))))
150	116, 149	jca 512	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg 𝑓))) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))
151	8, 150	rexlimddv 3154	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)) ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑃‘𝑥)‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069  {crab 3405  Vcvv 3446   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   ↾ cres 5640  Fun wfun 6495  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   supp csupp 8097  Xcixp 8842   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17094  +_gcplusg 17147  0_gc0g 17335   Σ_g cgsu 17336  Mndcmnd 18570  Grpcgrp 18762  SubGrpcsubg 18936  Cntzccntz 19109  LSSumclsm 19430  proj₁cpj1 19431   DProd cdprd 19786  dProjcdpj 19787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-hash 14241  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-mhm 18615  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-mulg 18887  df-subg 18939  df-ghm 19020  df-gim 19063  df-cntz 19111  df-oppg 19138  df-lsm 19432  df-pj1 19433  df-cmn 19578  df-dprd 19788  df-dpj 19789

This theorem is referenced by:  dpjeq  19852  dpjid  19853