MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjidcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjidcl 20006
Description: The key property of projections: the sum of all the projections of 𝐴 is 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
dpjfval.p 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
dpjidcl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
dpjidcl.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
dpjidcl.w π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
dpjidcl (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, 0   β„Ž,𝑖,𝐺,π‘₯   𝑃,β„Ž,π‘₯   πœ‘,𝑖,π‘₯   β„Ž,𝐼,𝑖,π‘₯   π‘₯,π‘Š   𝐴,β„Ž,π‘₯   𝑆,β„Ž,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐴(𝑖)   𝑃(𝑖)   π‘Š(β„Ž,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dpjidcl
Dummy variables π‘˜ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dpjidcl.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
2 dpjfval.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjidcl.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜πΊ)
4 dpjidcl.w . . . . . 6 π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
53, 4eldprd 19952 . . . . 5 (dom 𝑆 = 𝐼 β†’ (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ π‘Š 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
62, 5syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ π‘Š 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))))
71, 6mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ βˆƒπ‘“ ∈ π‘Š 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
87simprd 495 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ π‘Š 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
9 dpjfval.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
109adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
112adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
129ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
132ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
14 dpjfval.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐺dProj𝑆)
15 simpr 484 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
1612, 13, 14, 15dpjf 20005 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯):(𝐺 DProd 𝑆)⟢(π‘†β€˜π‘₯))
171ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
1816, 17ffvelcdmd 7089 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
199, 2dprddomcld 19949 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
2019mptexd 7230 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ V)
2120adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ V)
22 funmpt 6585 . . . . . 6 Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄))
2322a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))
24 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓 ∈ π‘Š)
254, 10, 11, 24dprdffsupp 19962 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
26 eldifi 4122 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
27 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (proj1β€˜πΊ) = (proj1β€˜πΊ)
2812, 13, 14, 27, 15dpjval 20004 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘₯) = ((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
2928fveq1d 6893 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) = (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄))
3026, 29sylan2 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) = (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄))
31 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
32 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
33 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
34 dprdgrp 19953 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
35 grpmnd 18888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3610, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
3819ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐼 ∈ V)
394, 10, 11, 24, 32dprdff 19960 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
4124adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 ∈ π‘Š)
424, 12, 13, 41, 33dprdfcntz 19963 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑓 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝑓))
4326, 42sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ ran 𝑓 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝑓))
44 snssi 4807 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ {π‘₯} βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )))
4645difss2d 4130 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝐼)
47 suppssdm 8175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 supp 0 ) βŠ† dom 𝑓
4847, 39fssdm 6736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (𝑓 supp 0 ) βŠ† 𝐼)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (𝑓 supp 0 ) βŠ† 𝐼)
50 ssconb 4133 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯} βŠ† 𝐼 ∧ (𝑓 supp 0 ) βŠ† 𝐼) β†’ ({π‘₯} βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5146, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ ({π‘₯} βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )) ↔ (𝑓 supp 0 ) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
5245, 51mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (𝑓 supp 0 ) βŠ† (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
5325adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
5432, 3, 33, 37, 38, 40, 43, 52, 53gsumzres 19855 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
5531, 54eqtr4d 2770 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
56 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 } = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
57 difss 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼)
5912, 13, 58dprdres 19976 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) βŠ† (𝐺 DProd 𝑆)))
6059simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
6112, 13dprdf2 19955 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
62 fssres 6757 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼) β†’ (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})):(𝐼 βˆ– {π‘₯})⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
6361, 57, 62sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})):(𝐼 βˆ– {π‘₯})⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
6463fdmd 6727 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ dom (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (𝐼 βˆ– {π‘₯}))
6539adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
6665feqmptd 6961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
6766reseq1d 5978 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
68 resmpt 6035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
6957, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜))
7067, 69eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
71 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
724, 12, 13, 41dprdfcl 19961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
7371, 72sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
74 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘˜))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘˜))
7673, 75eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘˜))
7719difexd 5325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
7877mptexd 7230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ V)
7978ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ V)
80 funmpt 6585 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜))
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
8225adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
83 ssdif 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝐼 β†’ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆ– (𝑓 supp 0 )) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )))
8457, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆ– (𝑓 supp 0 )) βŠ† (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))
8584sseli 3974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆ– (𝑓 supp 0 )) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 )))
86 ssidd 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))
8719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ V)
883fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ V)
9065, 86, 87, 89suppssr 8194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = 0 )
9185, 90sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ ((𝐼 βˆ– {π‘₯}) βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = 0 )
9277ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
9391, 92suppss2 8199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))
94 fsuppsssupp 9396 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) finSupp 0 )
9579, 81, 82, 93, 94syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) finSupp 0 )
9656, 60, 64, 76, 95dprdwd 19959 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯}) ↦ (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 })
9770, 96eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {π‘₯})((𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 })
983, 56, 60, 64, 97eldprdi 19966 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
9926, 98sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
10055, 99eqeltrd 2828 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))
101 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
102 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (LSSumβ€˜πΊ) = (LSSumβ€˜πΊ)
10361, 15ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
104 dprdsubg 19972 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
10560, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
10612, 13, 15, 3dpjdisj 20001 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘†β€˜π‘₯) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = { 0 })
10712, 13, 15, 33dpjcntz 20000 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
108101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27pj1rid 19648 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = 0 )
10926, 108sylanl2 680 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) ∧ 𝐴 ∈ (𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) β†’ (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = 0 )
110100, 109mpdan 686 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = 0 )
11130, 110eqtrd 2767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝑓 supp 0 ))) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) = 0 )
11219adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐼 ∈ V)
113111, 112suppss2 8199 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))
114 fsuppsssupp 9396 . . . . 5 ((((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ V ∧ Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄))) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) supp 0 ) βŠ† (𝑓 supp 0 ))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) finSupp 0 )
11521, 23, 25, 113, 114syl22anc 838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) finSupp 0 )
1164, 10, 11, 18, 115dprdwd 19959 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ π‘Š)
117 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
11839feqmptd 6961 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
119 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))
12012, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
1214, 12, 13, 41dprdffsupp 19962 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑓 finSupp 0 )
122 disjdif 4467 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = βˆ…
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ({π‘₯} ∩ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = βˆ…)
124 undif2 4472 . . . . . . . . . . . . 13 ({π‘₯} βˆͺ (𝐼 βˆ– {π‘₯})) = ({π‘₯} βˆͺ 𝐼)
12515snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ {π‘₯} βŠ† 𝐼)
126 ssequn1 4176 . . . . . . . . . . . . . 14 ({π‘₯} βŠ† 𝐼 ↔ ({π‘₯} βˆͺ 𝐼) = 𝐼)
127125, 126sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ({π‘₯} βˆͺ 𝐼) = 𝐼)
128124, 127eqtr2id 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 = ({π‘₯} βˆͺ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))
12932, 3, 101, 33, 120, 87, 65, 42, 121, 123, 128gsumzsplit 19873 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) = ((𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ {π‘₯}))(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
13065, 125feqresmpt 6962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 β†Ύ {π‘₯}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯} ↦ (π‘“β€˜π‘˜)))
131130oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ {π‘₯})) = (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯} ↦ (π‘“β€˜π‘˜))))
13265, 15ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
133 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘₯))
13432, 133gsumsn 19900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯} ↦ (π‘“β€˜π‘˜))) = (π‘“β€˜π‘₯))
135120, 15, 132, 134syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ {π‘₯} ↦ (π‘“β€˜π‘˜))) = (π‘“β€˜π‘₯))
136131, 135eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ {π‘₯})) = (π‘“β€˜π‘₯))
137136oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ {π‘₯}))(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) = ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
138119, 129, 1373eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 = ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
13912, 13, 15, 102dpjlsm 20002 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ((π‘†β€˜π‘₯)(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
14017, 139eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘†β€˜π‘₯)(LSSumβ€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
1414, 10, 11, 24dprdfcl 19961 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
142101, 102, 3, 33, 103, 105, 106, 107, 27, 140, 141, 98pj1eq 19646 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐴 = ((π‘“β€˜π‘₯)(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))) ↔ ((((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))(proj1β€˜πΊ)(π‘†β€˜π‘₯))β€˜π΄) = (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))))
143138, 142mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = (π‘“β€˜π‘₯) ∧ (((𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))(proj1β€˜πΊ)(π‘†β€˜π‘₯))β€˜π΄) = (𝐺 Ξ£g (𝑓 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯})))))
144143simpld 494 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘†β€˜π‘₯)(proj1β€˜πΊ)(𝐺 DProd (𝑆 β†Ύ (𝐼 βˆ– {π‘₯}))))β€˜π΄) = (π‘“β€˜π‘₯))
14529, 144eqtrd 2767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄) = (π‘“β€˜π‘₯))
146145mpteq2dva 5242 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘“β€˜π‘₯)))
147118, 146eqtr4d 2770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝑓 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))
148147oveq2d 7430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄))))
149117, 148eqtrd 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄))))
150116, 149jca 511 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g 𝑓))) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))))
1518, 150rexlimddv 3156 1 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∈ π‘Š ∧ 𝐴 = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘₯)β€˜π΄)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βˆͺ cun 3942   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8159  Xcixp 8907   finSupp cfsupp 9377  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  0gc0g 17412   Ξ£g cgsu 17413  Mndcmnd 18685  Grpcgrp 18881  SubGrpcsubg 19066  Cntzccntz 19257  LSSumclsm 19580  proj1cpj1 19581   DProd cdprd 19941  dProjcdpj 19942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-gim 19204  df-cntz 19259  df-oppg 19288  df-lsm 19582  df-pj1 19583  df-cmn 19728  df-dprd 19943  df-dpj 19944
This theorem is referenced by:  dpjeq  20007  dpjid  20008
  Copyright terms: Public domain W3C validator