Theorem dprdlub 18741

Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdlub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdlub.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdlub.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdlub.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑘) ⊆ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
dprdlub	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘

Proof of Theorem dprdlub

Dummy variables 𝑓 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdlub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdlub.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2799	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}
5	3, 4	dprdval 18718	. . 3 ⊢ ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
6	1, 2, 5	syl2anc 580	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
7		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8	1	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
9		dprdgrp 18720	. . . . . 6 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
10		grpmnd 17745	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
12	1, 2	dprddomcld 18716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
13	12	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝐼 ∈ V)
14		dprdlub.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	14	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16		subgsubm 17929	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
18	2	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → dom 𝑆 = 𝐼)
19		simpr 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)})
20		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21	4, 8, 18, 19, 20	dprdff 18727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
22	21	ffnd 6257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 Fn 𝐼)
23		dprdlub.4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑘) ⊆ 𝑇)
24	23	adantlr 707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑘) ⊆ 𝑇)
25	4, 8, 18, 19	dprdfcl 18728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
26	24, 25	sseldd 3799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑘) ∈ 𝑇)
27	26	ralrimiva 3147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑘) ∈ 𝑇)
28		ffnfv 6614	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐼⟶𝑇 ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑓‘𝑘) ∈ 𝑇))
29	22, 27, 28	sylanbrc 579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓:𝐼⟶𝑇)
30	4, 8, 18, 19, 7	dprdfcntz 18730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
31	4, 8, 18, 19	dprdffsupp 18729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g‘𝐺))
32	3, 7, 11, 13, 17, 29, 30, 31	gsumzsubmcl 18633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝑇)
33	32	fmpttd 6611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)):{ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)}⟶𝑇)
34	33	frnd 6263	. 2 ⊢ (𝜑 → ran (𝑓 ∈ {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp (0g‘𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) ⊆ 𝑇)
35	6, 34	eqsstrd 3835	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3385   ⊆ wss 3769   class class class wbr 4843   ↦ cmpt 4922  dom cdm 5312  ran crn 5313   Fn wfn 6096  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Xcixp 8148   finSupp cfsupp 8517  Basecbs 16184  0_gc0g 16415   Σ_g cgsu 16416  Mndcmnd 17609  SubMndcsubmnd 17649  Grpcgrp 17738  SubGrpcsubg 17901  Cntzccntz 18060   DProd cdprd 18708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-subg 17904  df-cntz 18062  df-dprd 18710

This theorem is referenced by:  dprdspan  18742  dprdz  18745  dprdcntz2  18753  dprd2dlem1  18756  dprdsplit  18763  ablfac1eu  18788