MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dprdlub 19990
Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdlub.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
dprdlub.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
dprdlub.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑇)
Assertion
Ref Expression
dprdlub (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝑇)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐼   πœ‘,π‘˜   𝑆,π‘˜   𝑇,π‘˜
Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables 𝑓 β„Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdlub.2 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
3 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
4 eqid 2728 . . . 4 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}
53, 4dprdval 19967 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
61, 2, 5syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
7 eqid 2728 . . . . 5 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
81adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
9 dprdgrp 19969 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
10 grpmnd 18904 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
121, 2dprddomcld 19965 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
1312adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐼 ∈ V)
14 dprdlub.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
1514adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
16 subgsubm 19110 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
182adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
19 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)})
20 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
214, 8, 18, 19, 20dprdff 19976 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
2221ffnd 6728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
23 dprdlub.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑇)
2423adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑇)
254, 8, 18, 19dprdfcl 19977 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
2624, 25sseldd 3983 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑇)
2726ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑇)
28 ffnfv 7134 . . . . . 6 (𝑓:πΌβŸΆπ‘‡ ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑇))
2922, 27, 28sylanbrc 581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓:πΌβŸΆπ‘‡)
304, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 19979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ ran 𝑓 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝑓))
314, 8, 18, 19dprdffsupp 19978 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜πΊ))
323, 7, 11, 13, 17, 29, 30, 31gsumzsubmcl 19880 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ 𝑇)
3332fmpttd 7130 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)):{β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}βŸΆπ‘‡)
3433frnd 6735 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) βŠ† 𝑇)
356, 34eqsstrd 4020 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  ran crn 5683   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Xcixp 8922   finSupp cfsupp 9393  Basecbs 17187  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  SubMndcsubmnd 18746  Grpcgrp 18897  SubGrpcsubg 19082  Cntzccntz 19273   DProd cdprd 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-dprd 19959
This theorem is referenced by:  dprdspan  19991  dprdz  19994  dprdcntz2  20002  dprd2dlem1  20005  dprdsplit  20012  ablfac1eu  20037
  Copyright terms: Public domain W3C validator