MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dprdlub 19945
Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdlub.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
dprdlub.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
dprdlub.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑇)
Assertion
Ref Expression
dprdlub (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝑇)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐼   πœ‘,π‘˜   𝑆,π‘˜   𝑇,π‘˜
Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables 𝑓 β„Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdlub.2 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
3 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
4 eqid 2726 . . . 4 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}
53, 4dprdval 19922 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
61, 2, 5syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
7 eqid 2726 . . . . 5 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
81adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
9 dprdgrp 19924 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
10 grpmnd 18867 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
121, 2dprddomcld 19920 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
1312adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐼 ∈ V)
14 dprdlub.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
1514adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
16 subgsubm 19072 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
182adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
19 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)})
20 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
214, 8, 18, 19, 20dprdff 19931 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
2221ffnd 6711 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
23 dprdlub.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑇)
2423adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑇)
254, 8, 18, 19dprdfcl 19932 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
2624, 25sseldd 3978 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑇)
2726ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑇)
28 ffnfv 7113 . . . . . 6 (𝑓:πΌβŸΆπ‘‡ ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑇))
2922, 27, 28sylanbrc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓:πΌβŸΆπ‘‡)
304, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 19934 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ ran 𝑓 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝑓))
314, 8, 18, 19dprdffsupp 19933 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜πΊ))
323, 7, 11, 13, 17, 29, 30, 31gsumzsubmcl 19835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ 𝑇)
3332fmpttd 7109 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)):{β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}βŸΆπ‘‡)
3433frnd 6718 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) βŠ† 𝑇)
356, 34eqsstrd 4015 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Xcixp 8890   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17150  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18664  SubMndcsubmnd 18709  Grpcgrp 18860  SubGrpcsubg 19044  Cntzccntz 19228   DProd cdprd 19912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-dprd 19914
This theorem is referenced by:  dprdspan  19946  dprdz  19949  dprdcntz2  19957  dprd2dlem1  19960  dprdsplit  19967  ablfac1eu  19992
  Copyright terms: Public domain W3C validator