Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdlub 19068
 Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdlub.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdlub.3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdlub.4 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
dprdlub (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘

Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdlub.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 eqid 2826 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2826 . . . 4 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
53, 4dprdval 19045 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
61, 2, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
7 eqid 2826 . . . . 5 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
81adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
9 dprdgrp 19047 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
10 grpmnd 18040 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
121, 2dprddomcld 19043 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐼 ∈ V)
14 dprdlub.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16 subgsubm 18231 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
182adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 = 𝐼)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
20 eqid 2826 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
214, 8, 18, 19, 20dprdff 19054 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
2221ffnd 6512 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 Fn 𝐼)
23 dprdlub.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
2423adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
254, 8, 18, 19dprdfcl 19055 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
2624, 25sseldd 3972 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
2726ralrimiva 3187 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
28 ffnfv 6878 . . . . . 6 (𝑓:𝐼𝑇 ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇))
2922, 27, 28sylanbrc 583 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼𝑇)
304, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 19057 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
314, 8, 18, 19dprdffsupp 19056 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g𝐺))
323, 7, 11, 13, 17, 29, 30, 31gsumzsubmcl 18958 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝑇)
3332fmpttd 6875 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)):{X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}⟶𝑇)
3433frnd 6518 . 2 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) ⊆ 𝑇)
356, 34eqsstrd 4009 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  {crab 3147  Vcvv 3500   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5063   ↦ cmpt 5143  dom cdm 5554  ran crn 5555   Fn wfn 6347  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  Xcixp 8450   finSupp cfsupp 8822  Basecbs 16473  0gc0g 16703   Σg cgsu 16704  Mndcmnd 17900  SubMndcsubmnd 17943  Grpcgrp 18033  SubGrpcsubg 18203  Cntzccntz 18375   DProd cdprd 19035 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-subg 18206  df-cntz 18377  df-dprd 19037 This theorem is referenced by:  dprdspan  19069  dprdz  19072  dprdcntz2  19080  dprd2dlem1  19083  dprdsplit  19090  ablfac1eu  19115
 Copyright terms: Public domain W3C validator