MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dprdlub 19890
Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdlub.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
dprdlub.3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
dprdlub.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑇)
Assertion
Ref Expression
dprdlub (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝑇)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐺   π‘˜,𝐼   πœ‘,π‘˜   𝑆,π‘˜   𝑇,π‘˜
Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables 𝑓 β„Ž 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdlub.2 . . 3 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
3 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
4 eqid 2732 . . . 4 {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}
53, 4dprdval 19867 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
61, 2, 5syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)))
7 eqid 2732 . . . . 5 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
81adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
9 dprdgrp 19869 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
10 grpmnd 18822 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
121, 2dprddomcld 19865 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
1312adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝐼 ∈ V)
14 dprdlub.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
1514adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
16 subgsubm 19022 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑇 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
182adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)})
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
214, 8, 18, 19, 20dprdff 19876 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
2221ffnd 6715 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
23 dprdlub.4 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑇)
2423adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† 𝑇)
254, 8, 18, 19dprdfcl 19877 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
2624, 25sseldd 3982 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑇)
2726ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑇)
28 ffnfv 7114 . . . . . 6 (𝑓:πΌβŸΆπ‘‡ ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘˜) ∈ 𝑇))
2922, 27, 28sylanbrc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓:πΌβŸΆπ‘‡)
304, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 19879 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ ran 𝑓 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝑓))
314, 8, 18, 19dprdffsupp 19878 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ 𝑓 finSupp (0gβ€˜πΊ))
323, 7, 11, 13, 17, 29, 30, 31gsumzsubmcl 19780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}) β†’ (𝐺 Ξ£g 𝑓) ∈ 𝑇)
3332fmpttd 7111 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)):{β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)}βŸΆπ‘‡)
3433frnd 6722 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝑓 ∈ {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp (0gβ€˜πΊ)} ↦ (𝐺 Ξ£g 𝑓)) βŠ† 𝑇)
356, 34eqsstrd 4019 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 DProd 𝑆) βŠ† 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Xcixp 8887   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  SubMndcsubmnd 18666  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994  Cntzccntz 19173   DProd cdprd 19857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-dprd 19859
This theorem is referenced by:  dprdspan  19891  dprdz  19894  dprdcntz2  19902  dprd2dlem1  19905  dprdsplit  19912  ablfac1eu  19937
  Copyright terms: Public domain W3C validator