MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdlub 19267
Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdlub.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdlub.3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdlub.4 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
dprdlub (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘

Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdlub.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 eqid 2738 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2738 . . . 4 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
53, 4dprdval 19244 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
61, 2, 5syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
7 eqid 2738 . . . . 5 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
81adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
9 dprdgrp 19246 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
10 grpmnd 18226 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
121, 2dprddomcld 19242 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
1312adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐼 ∈ V)
14 dprdlub.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16 subgsubm 18419 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
182adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 = 𝐼)
19 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
20 eqid 2738 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
214, 8, 18, 19, 20dprdff 19253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
2221ffnd 6505 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 Fn 𝐼)
23 dprdlub.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
2423adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
254, 8, 18, 19dprdfcl 19254 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
2624, 25sseldd 3878 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
2726ralrimiva 3096 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
28 ffnfv 6892 . . . . . 6 (𝑓:𝐼𝑇 ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇))
2922, 27, 28sylanbrc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼𝑇)
304, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 19256 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
314, 8, 18, 19dprdffsupp 19255 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g𝐺))
323, 7, 11, 13, 17, 29, 30, 31gsumzsubmcl 19157 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝑇)
3332fmpttd 6889 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)):{X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}⟶𝑇)
3433frnd 6512 . 2 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) ⊆ 𝑇)
356, 34eqsstrd 3915 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  {crab 3057  Vcvv 3398  wss 3843   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5525  ran crn 5526   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  Xcixp 8507   finSupp cfsupp 8906  Basecbs 16586  0gc0g 16816   Σg cgsu 16817  Mndcmnd 18027  SubMndcsubmnd 18071  Grpcgrp 18219  SubGrpcsubg 18391  Cntzccntz 18563   DProd cdprd 19234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-hash 13783  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-dprd 19236
This theorem is referenced by:  dprdspan  19268  dprdz  19271  dprdcntz2  19279  dprd2dlem1  19282  dprdsplit  19289  ablfac1eu  19314
  Copyright terms: Public domain W3C validator