Theorem dprdfadd 19955

Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
dprdfadd.b	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfadd	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))

Distinct variable groups:   + ,ℎ   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   + (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3	1, 2	dprddomcld 19936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
4		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
5		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
6	4, 1, 2, 5	dprdfcl 19948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
7		dprdfadd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
8	4, 1, 2, 7	dprdfcl 19948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	4, 1, 2, 5, 9	dprdff 19947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
11	10	feqmptd 6903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12	4, 1, 2, 7, 9	dprdff 19947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
13	12	feqmptd 6903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑥)))
14	3, 6, 8, 11, 13	offval2 7644	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))))
15	1, 2	dprdf2 19942	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
16	15	ffvelcdmda 7031	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		dprdfadd.b	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
18	17	subgcl 19070	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	16, 6, 8, 18	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
20	4, 1, 2, 5	dprdffsupp 19949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
21	4, 1, 2, 7	dprdffsupp 19949	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
22	20, 21	fsuppunfi 9295	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )) ∈ Fin)
23		ssun1 4131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
25		eldprdi.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
26	25	fvexi 6849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	10, 24, 3, 27	suppssr 8139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
29		ssun2 4132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
31	12, 30, 3, 27	suppssr 8139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐻‘𝑥) = 0 )
32	28, 31	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) = ( 0 + 0 ))
33		dprdgrp 19940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
34	1, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
35	9, 25	grpidcl 18899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
36	9, 17, 25	grplid 18901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 0 ) = 0 )
37	34, 35, 36	syl2anc2 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 + 0 ) = 0 )
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ( 0 + 0 ) = 0 )
39	32, 38	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) = 0 )
40	39, 3	suppss2 8144	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
41	22, 40	ssfid 9173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
42		funmpt 6531	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)))
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))))
44	3	mptexd 7172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ V)
45		funisfsupp 9274	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
46	43, 44, 27, 45	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
47	41, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) finSupp 0 )
48	4, 1, 2, 19, 47	dprdwd 19946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ 𝑊)
49	14, 48	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ 𝑊)
50		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
51	34	grpmndd 18880	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
52		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 )
53	4, 1, 2, 5, 50	dprdfcntz 19950	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
54	4, 1, 2, 7, 50	dprdfcntz 19950	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻))
55	4, 1, 2, 49, 50	dprdfcntz 19950	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
56	51	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
57		vex 3445	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
59		eldifi 4084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐼)
60	59	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥)) → 𝑘 ∈ 𝐼)
61		ffvelcdm 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
62	10, 60, 61	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
63	62	snssd 4766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺))
64	9, 50	cntzsubm 19271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
65	56, 63, 64	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
66	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
67	66	ffnd 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝐻 Fn 𝐼)
68		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ⊆ 𝐼)
69		fnssres 6616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼) → (𝐻 ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
70	67, 68, 69	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
71		fvres 6854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
73	1	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐺dom DProd 𝑆)
74	2	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → dom 𝑆 = 𝐼)
75	73, 74	dprdf2 19942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
76	60	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐼)
77	75, 76	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
78	9	subgss 19061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
80	5	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝑊)
81	4, 73, 74, 80	dprdfcl 19948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
82	76, 81	mpdan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
83	82	snssd 4766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (𝑆‘𝑘))
84	9, 50	cntz2ss 19268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆‘𝑘) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (𝑆‘𝑘)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
85	79, 83, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
86	68	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐼)
87		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
88		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))
89	88	eldifbd 3915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑘 ∈ 𝑥)
90		nelne2 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑘)
91	87, 89, 90	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑘)
92	73, 74, 86, 76, 91, 50	dprdcntz 19943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑆‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)))
93	7	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐻 ∈ 𝑊)
94	4, 73, 74, 93	dprdfcl 19948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑦) ∈ (𝑆‘𝑦))
95	86, 94	mpdan 688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐻‘𝑦) ∈ (𝑆‘𝑦))
96	92, 95	sseldd 3935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐻‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)))
97	85, 96	sseldd 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐻‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
98	72, 97	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
99	98	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
100		ffnfv 7066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ↔ ((𝐻 ↾ 𝑥) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)})))
101	70, 99, 100	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
102		resss 5961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ 𝐻
103	102	rnssi 5890	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻
104	50	cntzidss 19273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
105	54, 103, 104	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
106	105	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
107	21, 27	fsuppres 9300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
108	107	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
109	25, 50, 56, 58, 65, 101, 106, 108	gsumzsubmcl 19851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
110	109	snssd 4766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
111	66, 68	fssresd 6702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(Base‘𝐺))
112	9, 25, 50, 56, 58, 111, 106, 108	gsumzcl 19844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ (Base‘𝐺))
113	112	snssd 4766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺))
114	9, 50	cntzrec 19269	. . . . . 6 ⊢ (({(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ({(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ↔ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))})))
115	113, 63, 114	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ({(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ↔ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))})))
116	110, 115	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
117		fvex 6848	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
118	117	snss 4742	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}) ↔ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
119	116, 118	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
120	9, 25, 17, 50, 51, 3, 20, 21, 52, 10, 12, 53, 54, 55, 119	gsumzaddlem 19854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
121	49, 120	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3400  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4581   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5625  ran crn 5626   ↾ cres 5627  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   supp csupp 8104  Xcixp 8839  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  0_gc0g 17363   Σ_g cgsu 17364  Mndcmnd 18663  SubMndcsubmnd 18711  Grpcgrp 18867  SubGrpcsubg 19054  Cntzccntz 19248   DProd cdprd 19928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-dprd 19930

This theorem is referenced by:  dprdfsub  19956