MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfadd 19939
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
eldprdi.w π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
eldprdi.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
dprdfadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
dprdfadd.b + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dprdfadd (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ π‘Š ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻))))
Distinct variable groups:   + ,β„Ž   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝑖,𝐺   β„Ž,𝐼,𝑖   0 ,β„Ž   𝑆,β„Ž,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,𝑖)   + (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   π‘Š(β„Ž,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 eldprdi.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
31, 2dprddomcld 19920 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
4 eldprdi.w . . . . 5 π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
5 eldprdi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
64, 1, 2, 5dprdfcl 19932 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
7 dprdfadd.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
84, 1, 2, 7dprdfcl 19932 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
9 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
104, 1, 2, 5, 9dprdff 19931 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
1110feqmptd 6953 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
124, 1, 2, 7, 9dprdff 19931 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
1312feqmptd 6953 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π»β€˜π‘₯)))
143, 6, 8, 11, 13offval2 7686 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))))
151, 2dprdf2 19926 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
1615ffvelcdmda 7079 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
17 dprdfadd.b . . . . . 6 + = (+gβ€˜πΊ)
1817subgcl 19060 . . . . 5 (((π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯) ∧ (π»β€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
1916, 6, 8, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
204, 1, 2, 5dprdffsupp 19933 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 19933 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
2220, 21fsuppunfi 9382 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )) ∈ Fin)
23 ssun1 4167 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 ))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
2625fvexi 6898 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
2810, 24, 3, 27suppssr 8178 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
29 ssun2 4168 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 ))
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐻 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))
3112, 30, 3, 27suppssr 8178 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = 0 )
3228, 31oveq12d 7422 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) = ( 0 + 0 ))
33 dprdgrp 19924 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
359, 25grpidcl 18892 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
369, 17, 25grplid 18894 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
3734, 35, 36syl2anc2 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
3837adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
3932, 38eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) = 0 )
4039, 3suppss2 8183 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))
4122, 40ssfid 9266 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) ∈ Fin)
42 funmpt 6579 . . . . . . 7 Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)))
4342a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))))
443mptexd 7220 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∈ V)
45 funisfsupp 9366 . . . . . 6 ((Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) finSupp 0 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) ∈ Fin))
4643, 44, 27, 45syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) finSupp 0 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) ∈ Fin))
4741, 46mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) finSupp 0 )
484, 1, 2, 19, 47dprdwd 19930 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∈ π‘Š)
4914, 48eqeltrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ π‘Š)
50 eqid 2726 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
5134grpmndd 18873 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
52 eqid 2726 . . 3 ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 )
534, 1, 2, 5, 50dprdfcntz 19934 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐹))
544, 1, 2, 7, 50dprdfcntz 19934 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐻))
554, 1, 2, 49, 50dprdfcntz 19934 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
5651adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
57 vex 3472 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ V)
59 eldifi 4121 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
6059adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
61 ffvelcdm 7076 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
6210, 60, 61syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
6362snssd 4807 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
649, 50cntzsubm 19251 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6556, 63, 64syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6612adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐻:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
6766ffnd 6711 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐻 Fn 𝐼)
68 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
69 fnssres 6666 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn 𝐼 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) Fn π‘₯)
7067, 68, 69syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) Fn π‘₯)
71 fvres 6903 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘¦))
7271adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘¦))
731ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
742ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
7573, 74dprdf2 19926 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
7660ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
7775, 76ffvelcdmd 7080 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
789subgss 19051 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘†β€˜π‘˜) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
805ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
814, 73, 74, 80dprdfcl 19932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
8276, 81mpdan 684 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
8382snssd 4807 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (π‘†β€˜π‘˜))
849, 50cntz2ss 19248 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
8579, 83, 84syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
8668sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
87 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
88 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))
8988eldifbd 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘₯)
90 nelne2 3034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 β‰  π‘˜)
9187, 89, 90syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 β‰  π‘˜)
9273, 74, 86, 76, 91, 50dprdcntz 19927 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)))
937ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
944, 73, 74, 93dprdfcl 19932 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ (π‘†β€˜π‘¦))
9586, 94mpdan 684 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ (π‘†β€˜π‘¦))
9692, 95sseldd 3978 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)))
9785, 96sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
9872, 97eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
9998ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
100 ffnfv 7113 . . . . . . . 8 ((𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ↔ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) Fn π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)})))
10170, 99, 100sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
102 resss 5999 . . . . . . . . . 10 (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝐻
103102rnssi 5932 . . . . . . . . 9 ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻
10450cntzidss 19253 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐻 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
10554, 103, 104sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
106105adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
10721, 27fsuppres 9387 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 )
108107adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 )
10925, 50, 56, 58, 65, 101, 106, 108gsumzsubmcl 19835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯)) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
110109snssd 4807 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
11166, 68fssresd 6751 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢(Baseβ€˜πΊ))
1129, 25, 50, 56, 58, 111, 106, 108gsumzcl 19828 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
113112snssd 4807 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1149, 50cntzrec 19249 . . . . . 6 (({(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ({(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ↔ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))})))
115113, 63, 114syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ ({(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ↔ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))})))
116110, 115mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
117 fvex 6897 . . . . 5 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
118117snss 4784 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}) ↔ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
119116, 118sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
1209, 25, 17, 50, 51, 3, 20, 21, 52, 10, 12, 53, 54, 55, 119gsumzaddlem 19838 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
12149, 120jca 511 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ π‘Š ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   supp csupp 8143  Xcixp 8890  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18664  SubMndcsubmnd 18709  Grpcgrp 18860  SubGrpcsubg 19044  Cntzccntz 19228   DProd cdprd 19912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-dprd 19914
This theorem is referenced by:  dprdfsub  19940
  Copyright terms: Public domain W3C validator