MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfadd 19984
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
eldprdi.w π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
eldprdi.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
dprdfadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
dprdfadd.b + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dprdfadd (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ π‘Š ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻))))
Distinct variable groups:   + ,β„Ž   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝑖,𝐺   β„Ž,𝐼,𝑖   0 ,β„Ž   𝑆,β„Ž,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,𝑖)   + (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   π‘Š(β„Ž,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 eldprdi.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
31, 2dprddomcld 19965 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
4 eldprdi.w . . . . 5 π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
5 eldprdi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
64, 1, 2, 5dprdfcl 19977 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
7 dprdfadd.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
84, 1, 2, 7dprdfcl 19977 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
9 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
104, 1, 2, 5, 9dprdff 19976 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
1110feqmptd 6972 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
124, 1, 2, 7, 9dprdff 19976 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
1312feqmptd 6972 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π»β€˜π‘₯)))
143, 6, 8, 11, 13offval2 7711 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))))
151, 2dprdf2 19971 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
1615ffvelcdmda 7099 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
17 dprdfadd.b . . . . . 6 + = (+gβ€˜πΊ)
1817subgcl 19098 . . . . 5 (((π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯) ∧ (π»β€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
1916, 6, 8, 18syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
204, 1, 2, 5dprdffsupp 19978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 19978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
2220, 21fsuppunfi 9419 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )) ∈ Fin)
23 ssun1 4174 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 ))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
2625fvexi 6916 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
2810, 24, 3, 27suppssr 8207 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
29 ssun2 4175 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 ))
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐻 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))
3112, 30, 3, 27suppssr 8207 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = 0 )
3228, 31oveq12d 7444 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) = ( 0 + 0 ))
33 dprdgrp 19969 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
359, 25grpidcl 18929 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
369, 17, 25grplid 18931 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
3734, 35, 36syl2anc2 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
3837adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
3932, 38eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) = 0 )
4039, 3suppss2 8212 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))
4122, 40ssfid 9298 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) ∈ Fin)
42 funmpt 6596 . . . . . . 7 Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)))
4342a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))))
443mptexd 7242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∈ V)
45 funisfsupp 9399 . . . . . 6 ((Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) finSupp 0 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) ∈ Fin))
4643, 44, 27, 45syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) finSupp 0 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) ∈ Fin))
4741, 46mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) finSupp 0 )
484, 1, 2, 19, 47dprdwd 19975 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∈ π‘Š)
4914, 48eqeltrd 2829 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ π‘Š)
50 eqid 2728 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
5134grpmndd 18910 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
52 eqid 2728 . . 3 ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 )
534, 1, 2, 5, 50dprdfcntz 19979 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐹))
544, 1, 2, 7, 50dprdfcntz 19979 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐻))
554, 1, 2, 49, 50dprdfcntz 19979 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
5651adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
57 vex 3477 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ V)
59 eldifi 4127 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
6059adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
61 ffvelcdm 7096 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
6210, 60, 61syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
6362snssd 4817 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
649, 50cntzsubm 19296 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6556, 63, 64syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6612adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐻:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
6766ffnd 6728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐻 Fn 𝐼)
68 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
69 fnssres 6683 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn 𝐼 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) Fn π‘₯)
7067, 68, 69syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) Fn π‘₯)
71 fvres 6921 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘¦))
7271adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘¦))
731ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
742ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
7573, 74dprdf2 19971 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
7660ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
7775, 76ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
789subgss 19089 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘†β€˜π‘˜) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
805ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
814, 73, 74, 80dprdfcl 19977 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
8276, 81mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
8382snssd 4817 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (π‘†β€˜π‘˜))
849, 50cntz2ss 19293 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
8579, 83, 84syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
8668sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
87 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
88 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))
8988eldifbd 3962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘₯)
90 nelne2 3037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 β‰  π‘˜)
9187, 89, 90syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 β‰  π‘˜)
9273, 74, 86, 76, 91, 50dprdcntz 19972 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)))
937ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
944, 73, 74, 93dprdfcl 19977 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ (π‘†β€˜π‘¦))
9586, 94mpdan 685 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ (π‘†β€˜π‘¦))
9692, 95sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)))
9785, 96sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
9872, 97eqeltrd 2829 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
9998ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
100 ffnfv 7134 . . . . . . . 8 ((𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ↔ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) Fn π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)})))
10170, 99, 100sylanbrc 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
102 resss 6011 . . . . . . . . . 10 (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝐻
103102rnssi 5946 . . . . . . . . 9 ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻
10450cntzidss 19298 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐻 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
10554, 103, 104sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
106105adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
10721, 27fsuppres 9424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 )
108107adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 )
10925, 50, 56, 58, 65, 101, 106, 108gsumzsubmcl 19880 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯)) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
110109snssd 4817 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
11166, 68fssresd 6769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢(Baseβ€˜πΊ))
1129, 25, 50, 56, 58, 111, 106, 108gsumzcl 19873 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
113112snssd 4817 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1149, 50cntzrec 19294 . . . . . 6 (({(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ({(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ↔ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))})))
115113, 63, 114syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ ({(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ↔ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))})))
116110, 115mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
117 fvex 6915 . . . . 5 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
118117snss 4794 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}) ↔ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
119116, 118sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
1209, 25, 17, 50, 51, 3, 20, 21, 52, 10, 12, 53, 54, 55, 119gsumzaddlem 19883 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
12149, 120jca 510 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ π‘Š ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689   supp csupp 8171  Xcixp 8922  Fincfn 8970   finSupp cfsupp 9393  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  SubMndcsubmnd 18746  Grpcgrp 18897  SubGrpcsubg 19082  Cntzccntz 19273   DProd cdprd 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-dprd 19959
This theorem is referenced by:  dprdfsub  19985
  Copyright terms: Public domain W3C validator