MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfadd 19807
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
eldprdi.w π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
eldprdi.1 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
dprdfadd.4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
dprdfadd.b + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dprdfadd (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ π‘Š ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻))))
Distinct variable groups:   + ,β„Ž   β„Ž,𝐹   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝑖,𝐺   β„Ž,𝐼,𝑖   0 ,β„Ž   𝑆,β„Ž,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž,𝑖)   + (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   π‘Š(β„Ž,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
2 eldprdi.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
31, 2dprddomcld 19788 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
4 eldprdi.w . . . . 5 π‘Š = {β„Ž ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (π‘†β€˜π‘–) ∣ β„Ž finSupp 0 }
5 eldprdi.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
64, 1, 2, 5dprdfcl 19800 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
7 dprdfadd.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
84, 1, 2, 7dprdfcl 19800 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
9 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
104, 1, 2, 5, 9dprdff 19799 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
1110feqmptd 6914 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
124, 1, 2, 7, 9dprdff 19799 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
1312feqmptd 6914 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π»β€˜π‘₯)))
143, 6, 8, 11, 13offval2 7641 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))))
151, 2dprdf2 19794 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
1615ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
17 dprdfadd.b . . . . . 6 + = (+gβ€˜πΊ)
1817subgcl 18946 . . . . 5 (((π‘†β€˜π‘₯) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯) ∧ (π»β€˜π‘₯) ∈ (π‘†β€˜π‘₯)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
1916, 6, 8, 18syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) ∈ (π‘†β€˜π‘₯))
204, 1, 2, 5dprdffsupp 19801 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 19801 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 finSupp 0 )
2220, 21fsuppunfi 9333 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )) ∈ Fin)
23 ssun1 4136 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 ))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜πΊ)
2625fvexi 6860 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
2810, 24, 3, 27suppssr 8131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0 )
29 ssun2 4137 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 ))
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐻 supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))
3112, 30, 3, 27suppssr 8131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ (π»β€˜π‘₯) = 0 )
3228, 31oveq12d 7379 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) = ( 0 + 0 ))
33 dprdgrp 19792 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd 𝑆 β†’ 𝐺 ∈ Grp)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
359, 25grpidcl 18786 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
369, 17, 25grplid 18788 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
3734, 35, 36syl2anc2 586 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
3837adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
3932, 38eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)) = 0 )
4039, 3suppss2 8135 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) βŠ† ((𝐹 supp 0 ) βˆͺ (𝐻 supp 0 )))
4122, 40ssfid 9217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) ∈ Fin)
42 funmpt 6543 . . . . . . 7 Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯)))
4342a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))))
443mptexd 7178 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∈ V)
45 funisfsupp 9317 . . . . . 6 ((Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) finSupp 0 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) ∈ Fin))
4643, 44, 27, 45syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) finSupp 0 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) supp 0 ) ∈ Fin))
4741, 46mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) finSupp 0 )
484, 1, 2, 19, 47dprdwd 19798 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + (π»β€˜π‘₯))) ∈ π‘Š)
4914, 48eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ π‘Š)
50 eqid 2733 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
5134grpmndd 18768 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
52 eqid 2733 . . 3 ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 βˆͺ 𝐻) supp 0 )
534, 1, 2, 5, 50dprdfcntz 19802 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐹))
544, 1, 2, 7, 50dprdfcntz 19802 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐻))
554, 1, 2, 49, 50dprdfcntz 19802 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f + 𝐻) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
5651adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
57 vex 3451 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ V)
59 eldifi 4090 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
6059adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
61 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
6210, 60, 61syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
6362snssd 4773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
649, 50cntzsubm 19124 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6556, 63, 64syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
6612adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐻:𝐼⟢(Baseβ€˜πΊ))
6766ffnd 6673 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ 𝐻 Fn 𝐼)
68 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
69 fnssres 6628 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn 𝐼 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) Fn π‘₯)
7067, 68, 69syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) Fn π‘₯)
71 fvres 6865 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘¦))
7271adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘¦))
731ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐺dom DProd 𝑆)
742ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ dom 𝑆 = 𝐼)
7573, 74dprdf2 19794 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑆:𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
7660ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
7775, 76ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
789subgss 18937 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘†β€˜π‘˜) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
805ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ π‘Š)
814, 73, 74, 80dprdfcl 19800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
8276, 81mpdan 686 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (π‘†β€˜π‘˜))
8382snssd 4773 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (π‘†β€˜π‘˜))
849, 50cntz2ss 19121 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘†β€˜π‘˜) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (π‘†β€˜π‘˜)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
8579, 83, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
8668sselda 3948 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
87 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ π‘₯)
88 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))
8988eldifbd 3927 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ π‘₯)
90 nelne2 3039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ Β¬ π‘˜ ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 β‰  π‘˜)
9187, 89, 90syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 β‰  π‘˜)
9273, 74, 86, 76, 91, 50dprdcntz 19795 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π‘†β€˜π‘¦) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)))
937ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝐻 ∈ π‘Š)
944, 73, 74, 93dprdfcl 19800 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ (π‘†β€˜π‘¦))
9586, 94mpdan 686 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ (π‘†β€˜π‘¦))
9692, 95sseldd 3949 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜(π‘†β€˜π‘˜)))
9785, 96sseldd 3949 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (π»β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
9872, 97eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
9998ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
100 ffnfv 7070 . . . . . . . 8 ((𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ↔ ((𝐻 β†Ύ π‘₯) Fn π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ ((𝐻 β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)})))
10170, 99, 100sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
102 resss 5966 . . . . . . . . . 10 (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝐻
103102rnssi 5899 . . . . . . . . 9 ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻
10450cntzidss 19126 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐻 βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ran 𝐻) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
10554, 103, 104sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
106105adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ ran (𝐻 β†Ύ π‘₯) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜ran (𝐻 β†Ύ π‘₯)))
10721, 27fsuppres 9338 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 )
108107adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯) finSupp 0 )
10925, 50, 56, 58, 65, 101, 106, 108gsumzsubmcl 19703 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯)) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
110109snssd 4773 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}))
11166, 68fssresd 6713 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐻 β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢(Baseβ€˜πΊ))
1129, 25, 50, 56, 58, 111, 106, 108gsumzcl 19696 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
113112snssd 4773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
1149, 50cntzrec 19122 . . . . . 6 (({(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ({(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ↔ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))})))
115113, 63, 114syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ ({(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(πΉβ€˜π‘˜)}) ↔ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))})))
116110, 115mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
117 fvex 6859 . . . . 5 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ V
118117snss 4750 . . . 4 ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}) ↔ {(πΉβ€˜π‘˜)} βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
119116, 118sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ (𝐼 βˆ– π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{(𝐺 Ξ£g (𝐻 β†Ύ π‘₯))}))
1209, 25, 17, 50, 51, 3, 20, 21, 52, 10, 12, 53, 54, 55, 119gsumzaddlem 19706 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻)))
12149, 120jca 513 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ π‘Š ∧ (𝐺 Ξ£g (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Ξ£g 𝐹) + (𝐺 Ξ£g 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   supp csupp 8096  Xcixp 8841  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  SubMndcsubmnd 18608  Grpcgrp 18756  SubGrpcsubg 18930  Cntzccntz 19103   DProd cdprd 19780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-dprd 19782
This theorem is referenced by:  dprdfsub  19808
  Copyright terms: Public domain W3C validator