Theorem dprdfadd 19988

Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eldprdi.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
eldprdi.w	⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
eldprdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
dprdfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
dprdfadd.b	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdfadd	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))

Distinct variable groups:   + ,ℎ   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝑖,𝐺   ℎ,𝐼,𝑖   0 ,ℎ   𝑆,ℎ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑖)   + (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(ℎ,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfadd

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldprdi.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		eldprdi.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3	1, 2	dprddomcld 19969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
4		eldprdi.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = {ℎ ∈ X𝑖 ∈ 𝐼 (𝑆‘𝑖) ∣ ℎ finSupp 0 }
5		eldprdi.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
6	4, 1, 2, 5	dprdfcl 19981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
7		dprdfadd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
8	4, 1, 2, 7	dprdfcl 19981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥))
9		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	4, 1, 2, 5, 9	dprdff 19980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
11	10	feqmptd 6895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
12	4, 1, 2, 7, 9	dprdff 19980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
13	12	feqmptd 6895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐻‘𝑥)))
14	3, 6, 8, 11, 13	offval2 7640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))))
15	1, 2	dprdf2 19975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
16	15	ffvelcdmda 7025	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		dprdfadd.b	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
18	17	subgcl 19103	. . . . 5 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥) ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ (𝑆‘𝑥)) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
19	16, 6, 8, 18	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) ∈ (𝑆‘𝑥))
20	4, 1, 2, 5	dprdffsupp 19982	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
21	4, 1, 2, 7	dprdffsupp 19982	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp 0 )
22	20, 21	fsuppunfi 9291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )) ∈ Fin)
23		ssun1 4107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
25		eldprdi.0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
26	25	fvexi 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
28	10, 24, 3, 27	suppssr 8135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
29		ssun2 4108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
31	12, 30, 3, 27	suppssr 8135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐻‘𝑥) = 0 )
32	28, 31	oveq12d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) = ( 0 + 0 ))
33		dprdgrp 19973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝐺 ∈ Grp)
34	1, 33	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
35	9, 25	grpidcl 18932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
36	9, 17, 25	grplid 18934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 0 ) = 0 )
37	34, 35, 36	syl2anc2 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 0 + 0 ) = 0 )
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ( 0 + 0 ) = 0 )
39	32, 38	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)) = 0 )
40	39, 3	suppss2 8140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
41	22, 40	ssfid 9169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
42		funmpt 6523	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥)))
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))))
44	3	mptexd 7168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ V)
45		funisfsupp 9270	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
46	43, 44, 27, 45	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
47	41, 46	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) finSupp 0 )
48	4, 1, 2, 19, 47	dprdwd 19979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐻‘𝑥))) ∈ 𝑊)
49	14, 48	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ 𝑊)
50		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
51	34	grpmndd 18913	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
52		eqid 2739	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 ) = ((𝐹 ∪ 𝐻) supp 0 )
53	4, 1, 2, 5, 50	dprdfcntz 19983	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
54	4, 1, 2, 7, 50	dprdfcntz 19983	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻))
55	4, 1, 2, 49, 50	dprdfcntz 19983	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ∘f + 𝐻) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐹 ∘f + 𝐻)))
56	51	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
57		vex 3435	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
59		eldifi 4061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐼)
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥)) → 𝑘 ∈ 𝐼)
61		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
62	10, 60, 61	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
63	62	snssd 4718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺))
64	9, 50	cntzsubm 19304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
65	56, 63, 64	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
66	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
67	66	ffnd 6656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝐻 Fn 𝐼)
68		simprl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → 𝑥 ⊆ 𝐼)
69		fnssres 6608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐼) → (𝐻 ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
70	67, 68, 69	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) Fn 𝑥)
71		fvres 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) = (𝐻‘𝑦))
73	1	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐺dom DProd 𝑆)
74	2	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → dom 𝑆 = 𝐼)
75	73, 74	dprdf2 19975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
76	60	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐼)
77	75, 76	ffvelcdmd 7026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
78	9	subgss 19094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆‘𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑆‘𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
80	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝑊)
81	4, 73, 74, 80	dprdfcl 19981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
82	76, 81	mpdan 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑆‘𝑘))
83	82	snssd 4718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (𝑆‘𝑘))
84	9, 50	cntz2ss 19301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆‘𝑘) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (𝑆‘𝑘)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
85	79, 83, 84	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
86	68	sselda 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐼)
87		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
88		simplrr 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))
89	88	eldifbd 3896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ¬ 𝑘 ∈ 𝑥)
90		nelne2 3032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑘)
91	87, 89, 90	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑘)
92	73, 74, 86, 76, 91, 50	dprdcntz 19976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑆‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)))
93	7	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐻 ∈ 𝑊)
94	4, 73, 74, 93	dprdfcl 19981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑦) ∈ (𝑆‘𝑦))
95	86, 94	mpdan 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐻‘𝑦) ∈ (𝑆‘𝑦))
96	92, 95	sseldd 3916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐻‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘𝑘)))
97	85, 96	sseldd 3916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐻‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
98	72, 97	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
99	98	ralrimiva 3131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
100		ffnfv 7060	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ↔ ((𝐻 ↾ 𝑥) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝐻 ↾ 𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)})))
101	70, 99, 100	sylanbrc 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
102		resss 5953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ 𝐻
103	102	rnssi 5882	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻
104	50	cntzidss 19306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
105	54, 103, 104	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
106	105	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ran (𝐻 ↾ 𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻 ↾ 𝑥)))
107	21, 27	fsuppres 9296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
108	107	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥) finSupp 0 )
109	25, 50, 56, 58, 65, 101, 106, 108	gsumzsubmcl 19884	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
110	109	snssd 4718	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}))
111	66, 68	fssresd 6694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐻 ↾ 𝑥):𝑥⟶(Base‘𝐺))
112	9, 25, 50, 56, 58, 111, 106, 108	gsumzcl 19877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥)) ∈ (Base‘𝐺))
113	112	snssd 4718	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺))
114	9, 50	cntzrec 19302	. . . . . 6 ⊢ (({(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ({(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ↔ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))})))
115	113, 63, 114	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → ({(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹‘𝑘)}) ↔ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))})))
116	110, 115	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
117		fvex 6840	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑘) ∈ V
118	117	snss 4716	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}) ↔ {(𝐹‘𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
119	116, 118	sylibr 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ 𝑥))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻 ↾ 𝑥))}))
120	9, 25, 17, 50, 51, 3, 20, 21, 52, 10, 12, 53, 54, 55, 119	gsumzaddlem 19887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
121	49, 120	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹 ∘f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618  ran crn 5619   ↾ cres 5620  Fun wfun 6479   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   supp csupp 8100  Xcixp 8835  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18741  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  Cntzccntz 19281   DProd cdprd 19961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-subg 19090  df-cntz 19283  df-dprd 19963

This theorem is referenced by:  dprdfsub  19989