MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfadd 18817
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdfadd.4 (𝜑𝐻𝑊)
dprdfadd.b + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdfadd (𝜑 → ((𝐹𝑓 + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))
Distinct variable groups:   + ,   ,𝐹   ,𝐻   ,𝑖,𝐺   ,𝐼,𝑖   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   + (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 eldprdi.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
31, 2dprddomcld 18798 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
4 eldprdi.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
5 eldprdi.3 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑊)
64, 1, 2, 5dprdfcl 18810 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
7 dprdfadd.4 . . . . 5 (𝜑𝐻𝑊)
84, 1, 2, 7dprdfcl 18810 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
9 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
104, 1, 2, 5, 9dprdff 18809 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
1110feqmptd 6511 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
124, 1, 2, 7, 9dprdff 18809 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
1312feqmptd 6511 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐻𝑥)))
143, 6, 8, 11, 13offval2 7193 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐻) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))))
151, 2dprdf2 18804 . . . . . 6 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
1615ffvelrnda 6625 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 dprdfadd.b . . . . . 6 + = (+g𝐺)
1817subgcl 17999 . . . . 5 (((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ (𝐻𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) → ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)) ∈ (𝑆𝑥))
1916, 6, 8, 18syl3anc 1439 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)) ∈ (𝑆𝑥))
204, 1, 2, 5dprdffsupp 18811 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 18811 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
2220, 21fsuppunfi 8585 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )) ∈ Fin)
23 ssun1 3999 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
2625fvexi 6462 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑0 ∈ V)
2810, 24, 3, 27suppssr 7610 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐹𝑥) = 0 )
29 ssun2 4000 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
3112, 30, 3, 27suppssr 7610 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐻𝑥) = 0 )
3228, 31oveq12d 6942 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)) = ( 0 + 0 ))
33 dprdgrp 18802 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
359, 25grpidcl 17848 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑0 ∈ (Base‘𝐺))
379, 17, 25grplid 17850 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 0 ) = 0 )
3834, 36, 37syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 0 + 0 ) = 0 )
3938adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ( 0 + 0 ) = 0 )
4032, 39eqtrd 2814 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)) = 0 )
4140, 3suppss2 7613 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
4222, 41ssfid 8473 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
43 funmpt 6175 . . . . . . 7 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)))
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))))
453mptexd 6761 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) ∈ V)
46 funisfsupp 8570 . . . . . 6 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
4744, 45, 27, 46syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
4842, 47mpbird 249 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) finSupp 0 )
494, 1, 2, 19, 48dprdwd 18808 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) ∈ 𝑊)
5014, 49eqeltrd 2859 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐻) ∈ 𝑊)
51 eqid 2778 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
52 grpmnd 17827 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
5334, 52syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
54 eqid 2778 . . 3 ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) supp 0 )
554, 1, 2, 5, 51dprdfcntz 18812 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
564, 1, 2, 7, 51dprdfcntz 18812 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻))
574, 1, 2, 50, 51dprdfcntz 18812 . . 3 (𝜑 → ran (𝐹𝑓 + 𝐻) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐹𝑓 + 𝐻)))
5853adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
59 vex 3401 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
6059a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
61 eldifi 3955 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐼𝑥) → 𝑘𝐼)
6261adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥)) → 𝑘𝐼)
63 ffvelrn 6623 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
6410, 62, 63syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
6564snssd 4573 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → {(𝐹𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺))
669, 51cntzsubm 18162 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
6758, 65, 66syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
6812adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
6968ffnd 6294 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝐻 Fn 𝐼)
70 simprl 761 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝑥𝐼)
71 fnssres 6252 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn 𝐼𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) Fn 𝑥)
7269, 70, 71syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐻𝑥) Fn 𝑥)
73 fvres 6467 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑥 → ((𝐻𝑥)‘𝑦) = (𝐻𝑦))
7473adantl 475 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝐻𝑥)‘𝑦) = (𝐻𝑦))
751ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐺dom DProd 𝑆)
762ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → dom 𝑆 = 𝐼)
7775, 76dprdf2 18804 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
7862ad2antlr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑘𝐼)
7977, 78ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
809subgss 17990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑆𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
825ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐹𝑊)
834, 75, 76, 82dprdfcl 18810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
8478, 83mpdan 677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
8584snssd 4573 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → {(𝐹𝑘)} ⊆ (𝑆𝑘))
869, 51cntz2ss 18159 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑘) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹𝑘)} ⊆ (𝑆𝑘)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
8781, 85, 86syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
8870sselda 3821 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐼)
89 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
90 simplrr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐼𝑥))
9190eldifbd 3805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑘𝑥)
92 nelne2 3068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑘𝑥) → 𝑦𝑘)
9389, 91, 92syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑘)
9475, 76, 88, 78, 93, 51dprdcntz 18805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑆𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑘)))
957ad2antrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐻𝑊)
964, 75, 76, 95dprdfcl 18810 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐻𝑦) ∈ (𝑆𝑦))
9788, 96mpdan 677 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐻𝑦) ∈ (𝑆𝑦))
9894, 97sseldd 3822 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐻𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑘)))
9987, 98sseldd 3822 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐻𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
10074, 99eqeltrd 2859 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝐻𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
101100ralrimiva 3148 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → ∀𝑦𝑥 ((𝐻𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
102 ffnfv 6654 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ↔ ((𝐻𝑥) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝐻𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)})))
10372, 101, 102sylanbrc 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐻𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
104 resss 5673 . . . . . . . . . 10 (𝐻𝑥) ⊆ 𝐻
105104rnssi 5602 . . . . . . . . 9 ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻
10651cntzidss 18164 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻𝑥)))
10756, 105, 106sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐻𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻𝑥)))
108107adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → ran (𝐻𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻𝑥)))
10921, 27fsuppres 8590 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝑥) finSupp 0 )
110109adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐻𝑥) finSupp 0 )
11125, 51, 58, 60, 67, 103, 108, 110gsumzsubmcl 18715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻𝑥)) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
112111snssd 4573 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
11368, 70fssresd 6323 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐻𝑥):𝑥⟶(Base‘𝐺))
1149, 25, 51, 58, 60, 113, 108, 110gsumzcl 18709 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻𝑥)) ∈ (Base‘𝐺))
115114snssd 4573 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺))
1169, 51cntzrec 18160 . . . . . 6 (({(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ({(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ↔ {(𝐹𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))})))
117115, 65, 116syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → ({(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ↔ {(𝐹𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))})))
118112, 117mpbid 224 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → {(𝐹𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
119 fvex 6461 . . . . 5 (𝐹𝑘) ∈ V
120119snss 4549 . . . 4 ((𝐹𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}) ↔ {(𝐹𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
121118, 120sylibr 226 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
1229, 25, 17, 51, 53, 3, 20, 21, 54, 10, 12, 55, 56, 57, 121gsumzaddlem 18718 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
12350, 122jca 507 1 (𝜑 → ((𝐹𝑓 + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑓 + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3398  cdif 3789  cun 3790  wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4888  cmpt 4967  dom cdm 5357  ran crn 5358  cres 5359  Fun wfun 6131   Fn wfn 6132  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑓 cof 7174   supp csupp 7578  Xcixp 8196  Fincfn 8243   finSupp cfsupp 8565  Basecbs 16266  +gcplusg 16349  0gc0g 16497   Σg cgsu 16498  Mndcmnd 17691  SubMndcsubmnd 17731  Grpcgrp 17820  SubGrpcsubg 17983  Cntzccntz 18142   DProd cdprd 18790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-hash 13442  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-subg 17986  df-cntz 18144  df-dprd 18792
This theorem is referenced by:  dprdfsub  18818
  Copyright terms: Public domain W3C validator