MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfadd 19799
Description: Take the sum of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdfadd.4 (𝜑𝐻𝑊)
dprdfadd.b + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdfadd (𝜑 → ((𝐹f + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))
Distinct variable groups:   + ,   ,𝐹   ,𝐻   ,𝑖,𝐺   ,𝐼,𝑖   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   + (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfadd
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 eldprdi.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
31, 2dprddomcld 19780 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
4 eldprdi.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
5 eldprdi.3 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑊)
64, 1, 2, 5dprdfcl 19792 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
7 dprdfadd.4 . . . . 5 (𝜑𝐻𝑊)
84, 1, 2, 7dprdfcl 19792 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
9 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
104, 1, 2, 5, 9dprdff 19791 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
1110feqmptd 6910 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
124, 1, 2, 7, 9dprdff 19791 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
1312feqmptd 6910 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐻𝑥)))
143, 6, 8, 11, 13offval2 7637 . . 3 (𝜑 → (𝐹f + 𝐻) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))))
151, 2dprdf2 19786 . . . . . 6 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
1615ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 dprdfadd.b . . . . . 6 + = (+g𝐺)
1817subgcl 18938 . . . . 5 (((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ (𝐻𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) → ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)) ∈ (𝑆𝑥))
1916, 6, 8, 18syl3anc 1371 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)) ∈ (𝑆𝑥))
204, 1, 2, 5dprdffsupp 19793 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
214, 1, 2, 7dprdffsupp 19793 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 finSupp 0 )
2220, 21fsuppunfi 9325 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )) ∈ Fin)
23 ssun1 4132 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
25 eldprdi.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐺)
2625fvexi 6856 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑0 ∈ V)
2810, 24, 3, 27suppssr 8127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐹𝑥) = 0 )
29 ssun2 4133 . . . . . . . . . . 11 (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 ))
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
3112, 30, 3, 27suppssr 8127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → (𝐻𝑥) = 0 )
3228, 31oveq12d 7375 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)) = ( 0 + 0 ))
33 dprdgrp 19784 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
341, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
359, 25grpidcl 18778 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
369, 17, 25grplid 18780 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 0 ) = 0 )
3734, 35, 36syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 0 + 0 ) = 0 )
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ( 0 + 0 ) = 0 )
3932, 38eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))) → ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)) = 0 )
4039, 3suppss2 8131 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) supp 0 ) ⊆ ((𝐹 supp 0 ) ∪ (𝐻 supp 0 )))
4122, 40ssfid 9211 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
42 funmpt 6539 . . . . . . 7 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥)))
4342a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))))
443mptexd 7174 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) ∈ V)
45 funisfsupp 9310 . . . . . 6 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
4643, 44, 27, 45syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
4741, 46mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) finSupp 0 )
484, 1, 2, 19, 47dprdwd 19790 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥) + (𝐻𝑥))) ∈ 𝑊)
4914, 48eqeltrd 2838 . 2 (𝜑 → (𝐹f + 𝐻) ∈ 𝑊)
50 eqid 2736 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
5134grpmndd 18760 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
52 eqid 2736 . . 3 ((𝐹𝐻) supp 0 ) = ((𝐹𝐻) supp 0 )
534, 1, 2, 5, 50dprdfcntz 19794 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
544, 1, 2, 7, 50dprdfcntz 19794 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻))
554, 1, 2, 49, 50dprdfcntz 19794 . . 3 (𝜑 → ran (𝐹f + 𝐻) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐹f + 𝐻)))
5651adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝐺 ∈ Mnd)
57 vex 3449 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝑥 ∈ V)
59 eldifi 4086 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝐼𝑥) → 𝑘𝐼)
6059adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥)) → 𝑘𝐼)
61 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
6210, 60, 61syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
6362snssd 4769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → {(𝐹𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺))
649, 50cntzsubm 19116 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ {(𝐹𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
6556, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ∈ (SubMnd‘𝐺))
6612adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
6766ffnd 6669 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝐻 Fn 𝐼)
68 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → 𝑥𝐼)
69 fnssres 6624 . . . . . . . . 9 ((𝐻 Fn 𝐼𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) Fn 𝑥)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐻𝑥) Fn 𝑥)
71 fvres 6861 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑥 → ((𝐻𝑥)‘𝑦) = (𝐻𝑦))
7271adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝐻𝑥)‘𝑦) = (𝐻𝑦))
731ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐺dom DProd 𝑆)
742ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → dom 𝑆 = 𝐼)
7573, 74dprdf2 19786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
7660ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑘𝐼)
7775, 76ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
789subgss 18929 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑆𝑘) ⊆ (Base‘𝐺))
805ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐹𝑊)
814, 73, 74, 80dprdfcl 19792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
8276, 81mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
8382snssd 4769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → {(𝐹𝑘)} ⊆ (𝑆𝑘))
849, 50cntz2ss 19113 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑘) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹𝑘)} ⊆ (𝑆𝑘)) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
8579, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑘)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
8668sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐼)
87 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
88 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑘 ∈ (𝐼𝑥))
8988eldifbd 3923 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑘𝑥)
90 nelne2 3042 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑘𝑥) → 𝑦𝑘)
9187, 89, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑘)
9273, 74, 86, 76, 91, 50dprdcntz 19787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑆𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑘)))
937ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐻𝑊)
944, 73, 74, 93dprdfcl 19792 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑦𝐼) → (𝐻𝑦) ∈ (𝑆𝑦))
9586, 94mpdan 685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐻𝑦) ∈ (𝑆𝑦))
9692, 95sseldd 3945 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐻𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆𝑘)))
9785, 96sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐻𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
9872, 97eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝐻𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
9998ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → ∀𝑦𝑥 ((𝐻𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
100 ffnfv 7066 . . . . . . . 8 ((𝐻𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ↔ ((𝐻𝑥) Fn 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 ((𝐻𝑥)‘𝑦) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)})))
10170, 99, 100sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐻𝑥):𝑥⟶((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
102 resss 5962 . . . . . . . . . 10 (𝐻𝑥) ⊆ 𝐻
103102rnssi 5895 . . . . . . . . 9 ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻
10450cntzidss 19118 . . . . . . . . 9 ((ran 𝐻 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐻) ∧ ran (𝐻𝑥) ⊆ ran 𝐻) → ran (𝐻𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻𝑥)))
10554, 103, 104sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝐻𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻𝑥)))
106105adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → ran (𝐻𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran (𝐻𝑥)))
10721, 27fsuppres 9330 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻𝑥) finSupp 0 )
108107adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐻𝑥) finSupp 0 )
10925, 50, 56, 58, 65, 101, 106, 108gsumzsubmcl 19695 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻𝑥)) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
110109snssd 4769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}))
11166, 68fssresd 6709 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐻𝑥):𝑥⟶(Base‘𝐺))
1129, 25, 50, 56, 58, 111, 106, 108gsumzcl 19688 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐺 Σg (𝐻𝑥)) ∈ (Base‘𝐺))
113112snssd 4769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → {(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺))
1149, 50cntzrec 19114 . . . . . 6 (({(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ (Base‘𝐺) ∧ {(𝐹𝑘)} ⊆ (Base‘𝐺)) → ({(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ↔ {(𝐹𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))})))
115113, 63, 114syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → ({(𝐺 Σg (𝐻𝑥))} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐹𝑘)}) ↔ {(𝐹𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))})))
116110, 115mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → {(𝐹𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
117 fvex 6855 . . . . 5 (𝐹𝑘) ∈ V
118117snss 4746 . . . 4 ((𝐹𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}) ↔ {(𝐹𝑘)} ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
119116, 118sylibr 233 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑘 ∈ (𝐼𝑥))) → (𝐹𝑘) ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{(𝐺 Σg (𝐻𝑥))}))
1209, 25, 17, 50, 51, 3, 20, 21, 52, 10, 12, 53, 54, 55, 119gsumzaddlem 19698 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻)))
12149, 120jca 512 1 (𝜑 → ((𝐹f + 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹f + 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) + (𝐺 Σg 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615   supp csupp 8092  Xcixp 8835  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  SubMndcsubmnd 18600  Grpcgrp 18748  SubGrpcsubg 18922  Cntzccntz 19095   DProd cdprd 19772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-dprd 19774
This theorem is referenced by:  dprdfsub  19800
  Copyright terms: Public domain W3C validator