MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf1o 19151
Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdf1o.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdf1o.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdf1o.3 (𝜑𝐹:𝐽1-1-onto𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdf1o (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd 𝑆)))

Proof of Theorem dprdf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2801 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2801 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dprdf1o.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
5 dprdgrp 19124 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdf1o.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐽1-1-onto𝐼)
8 f1of1 6593 . . . . 5 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹:𝐽1-1𝐼)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐽1-1𝐼)
10 dprdf1o.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
114, 10dprddomcld 19120 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
12 f1dmex 7644 . . . 4 ((𝐹:𝐽1-1𝐼𝐼 ∈ V) → 𝐽 ∈ V)
139, 11, 12syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ V)
144, 10dprdf2 19126 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
15 f1of 6594 . . . . 5 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹:𝐽𝐼)
167, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐽𝐼)
17 fco 6509 . . . 4 ((𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐽𝐼) → (𝑆𝐹):𝐽⟶(SubGrp‘𝐺))
1814, 16, 17syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐹):𝐽⟶(SubGrp‘𝐺))
194adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2010adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → dom 𝑆 = 𝐼)
2116adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝐹:𝐽𝐼)
22 simpr1 1191 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑥𝐽)
2321, 22ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
24 simpr2 1192 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝐽)
2521, 24ffvelrnd 6833 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐼)
26 simpr3 1193 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
279adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝐹:𝐽1-1𝐼)
28 f1fveq 7002 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐽1-1𝐼 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2927, 22, 24, 28syl12anc 835 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
3029necon3bid 3034 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ 𝑥𝑦))
3126, 30mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
3219, 20, 23, 25, 31, 1dprdcntz 19127 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑆‘(𝐹𝑥)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐹𝑦))))
33 fvco3 6741 . . . . 5 ((𝐹:𝐽𝐼𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) = (𝑆‘(𝐹𝑥)))
3421, 22, 33syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) = (𝑆‘(𝐹𝑥)))
35 fvco3 6741 . . . . . 6 ((𝐹:𝐽𝐼𝑦𝐽) → ((𝑆𝐹)‘𝑦) = (𝑆‘(𝐹𝑦)))
3621, 24, 35syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝑆𝐹)‘𝑦) = (𝑆‘(𝐹𝑦)))
3736fveq2d 6653 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑆𝐹)‘𝑦)) = ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐹𝑦))))
3832, 34, 373sstr4d 3965 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑆𝐹)‘𝑦)))
3916, 33sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) = (𝑆‘(𝐹𝑥)))
40 imaco 6075 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝑆 “ (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})))
417adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐹:𝐽1-1-onto𝐼)
42 dff1o3 6600 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼 ↔ (𝐹:𝐽onto𝐼 ∧ Fun 𝐹))
4342simprbi 500 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼 → Fun 𝐹)
44 imadif 6412 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = ((𝐹𝐽) ∖ (𝐹 “ {𝑥})))
4541, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = ((𝐹𝐽) ∖ (𝐹 “ {𝑥})))
46 f1ofo 6601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹:𝐽onto𝐼)
47 foima 6574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐽onto𝐼 → (𝐹𝐽) = 𝐼)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝐽) = 𝐼)
49 f1ofn 6595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹 Fn 𝐽)
507, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐽)
51 fnsnfv 6722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝐽𝑥𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
5250, 51sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
5352eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹 “ {𝑥}) = {(𝐹𝑥)})
5448, 53difeq12d 4054 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝐹𝐽) ∖ (𝐹 “ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)}))
5545, 54eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)}))
5655imaeq2d 5900 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝑆 “ (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥}))) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))
5740, 56syl5eq 2848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))
5857unieqd 4817 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))
5958fveq2d 6653 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥}))) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)}))))
6039, 59ineq12d 4143 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐽) → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) = ((𝑆‘(𝐹𝑥)) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))))
614adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐺dom DProd 𝑆)
6210adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → dom 𝑆 = 𝐼)
6316ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
6461, 62, 63, 2, 3dprddisj 19128 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆‘(𝐹𝑥)) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))) = {(0g𝐺)})
6560, 64eqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐽) → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})
66 eqimss 3974 . . . 4 ((((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)} → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
6765, 66syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐽) → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
681, 2, 3, 6, 13, 18, 38, 67dmdprdd 19118 . 2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐹))
69 rnco2 6077 . . . . . 6 ran (𝑆𝐹) = (𝑆 “ ran 𝐹)
70 forn 6572 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐽onto𝐼 → ran 𝐹 = 𝐼)
717, 46, 703syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐼)
7271imaeq2d 5900 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 “ ran 𝐹) = (𝑆𝐼))
73 ffn 6491 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn 𝐼)
74 fnima 6454 . . . . . . . 8 (𝑆 Fn 𝐼 → (𝑆𝐼) = ran 𝑆)
7514, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐼) = ran 𝑆)
7672, 75eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 “ ran 𝐹) = ran 𝑆)
7769, 76syl5eq 2848 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑆𝐹) = ran 𝑆)
7877unieqd 4817 . . . 4 (𝜑 ran (𝑆𝐹) = ran 𝑆)
7978fveq2d 6653 . . 3 (𝜑 → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran (𝑆𝐹)) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran 𝑆))
803dprdspan 19146 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran (𝑆𝐹)))
8168, 80syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran (𝑆𝐹)))
823dprdspan 19146 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran 𝑆))
834, 82syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran 𝑆))
8479, 81, 833eqtr4d 2846 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd 𝑆))
8568, 84jca 515 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  cdif 3881  cin 3883  wss 3884  {csn 4528   cuni 4803   class class class wbr 5033  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  cima 5526  ccom 5527  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  wf 6324  1-1wf1 6325  ontowfo 6326  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  (class class class)co 7139  0gc0g 16709  mrClscmrc 16850  Grpcgrp 18099  SubGrpcsubg 18269  Cntzccntz 18441   DProd cdprd 19112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-gim 18395  df-cntz 18443  df-oppg 18470  df-cmn 18904  df-dprd 19114
This theorem is referenced by:  dprdf1  19152  ablfaclem2  19205
  Copyright terms: Public domain W3C validator