MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf1o 18871
Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdf1o.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdf1o.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdf1o.3 (𝜑𝐹:𝐽1-1-onto𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdf1o (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd 𝑆)))

Proof of Theorem dprdf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2795 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2795 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2795 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dprdf1o.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
5 dprdgrp 18844 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdf1o.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐽1-1-onto𝐼)
8 f1of1 6482 . . . . 5 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹:𝐽1-1𝐼)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐽1-1𝐼)
10 dprdf1o.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
114, 10dprddomcld 18840 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
12 f1dmex 7514 . . . 4 ((𝐹:𝐽1-1𝐼𝐼 ∈ V) → 𝐽 ∈ V)
139, 11, 12syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ V)
144, 10dprdf2 18846 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
15 f1of 6483 . . . . 5 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹:𝐽𝐼)
167, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐽𝐼)
17 fco 6399 . . . 4 ((𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐽𝐼) → (𝑆𝐹):𝐽⟶(SubGrp‘𝐺))
1814, 16, 17syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐹):𝐽⟶(SubGrp‘𝐺))
194adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2010adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → dom 𝑆 = 𝐼)
2116adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝐹:𝐽𝐼)
22 simpr1 1187 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑥𝐽)
2321, 22ffvelrnd 6717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
24 simpr2 1188 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝐽)
2521, 24ffvelrnd 6717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐼)
26 simpr3 1189 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
279adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝐹:𝐽1-1𝐼)
28 f1fveq 6885 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐽1-1𝐼 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2927, 22, 24, 28syl12anc 833 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
3029necon3bid 3028 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ 𝑥𝑦))
3126, 30mpbird 258 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
3219, 20, 23, 25, 31, 1dprdcntz 18847 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑆‘(𝐹𝑥)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐹𝑦))))
33 fvco3 6627 . . . . 5 ((𝐹:𝐽𝐼𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) = (𝑆‘(𝐹𝑥)))
3421, 22, 33syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) = (𝑆‘(𝐹𝑥)))
35 fvco3 6627 . . . . . 6 ((𝐹:𝐽𝐼𝑦𝐽) → ((𝑆𝐹)‘𝑦) = (𝑆‘(𝐹𝑦)))
3621, 24, 35syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝑆𝐹)‘𝑦) = (𝑆‘(𝐹𝑦)))
3736fveq2d 6542 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑆𝐹)‘𝑦)) = ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐹𝑦))))
3832, 34, 373sstr4d 3935 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑆𝐹)‘𝑦)))
3916, 33sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) = (𝑆‘(𝐹𝑥)))
40 imaco 5979 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝑆 “ (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})))
417adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐹:𝐽1-1-onto𝐼)
42 dff1o3 6489 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼 ↔ (𝐹:𝐽onto𝐼 ∧ Fun 𝐹))
4342simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼 → Fun 𝐹)
44 imadif 6308 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = ((𝐹𝐽) ∖ (𝐹 “ {𝑥})))
4541, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = ((𝐹𝐽) ∖ (𝐹 “ {𝑥})))
46 f1ofo 6490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹:𝐽onto𝐼)
47 foima 6463 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐽onto𝐼 → (𝐹𝐽) = 𝐼)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝐽) = 𝐼)
49 f1ofn 6484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹 Fn 𝐽)
507, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐽)
51 fnsnfv 6610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝐽𝑥𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
5250, 51sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
5352eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹 “ {𝑥}) = {(𝐹𝑥)})
5448, 53difeq12d 4021 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝐹𝐽) ∖ (𝐹 “ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)}))
5545, 54eqtrd 2831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)}))
5655imaeq2d 5806 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝑆 “ (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥}))) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))
5740, 56syl5eq 2843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))
5857unieqd 4755 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))
5958fveq2d 6542 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥}))) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)}))))
6039, 59ineq12d 4110 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐽) → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) = ((𝑆‘(𝐹𝑥)) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))))
614adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐺dom DProd 𝑆)
6210adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → dom 𝑆 = 𝐼)
6316ffvelrnda 6716 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
6461, 62, 63, 2, 3dprddisj 18848 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆‘(𝐹𝑥)) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))) = {(0g𝐺)})
6560, 64eqtrd 2831 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐽) → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})
66 eqimss 3944 . . . 4 ((((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)} → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
6765, 66syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐽) → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
681, 2, 3, 6, 13, 18, 38, 67dmdprdd 18838 . 2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐹))
69 rnco2 5981 . . . . . 6 ran (𝑆𝐹) = (𝑆 “ ran 𝐹)
70 forn 6461 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐽onto𝐼 → ran 𝐹 = 𝐼)
717, 46, 703syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐼)
7271imaeq2d 5806 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 “ ran 𝐹) = (𝑆𝐼))
73 ffn 6382 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn 𝐼)
74 fnima 6346 . . . . . . . 8 (𝑆 Fn 𝐼 → (𝑆𝐼) = ran 𝑆)
7514, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐼) = ran 𝑆)
7672, 75eqtrd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 “ ran 𝐹) = ran 𝑆)
7769, 76syl5eq 2843 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑆𝐹) = ran 𝑆)
7877unieqd 4755 . . . 4 (𝜑 ran (𝑆𝐹) = ran 𝑆)
7978fveq2d 6542 . . 3 (𝜑 → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran (𝑆𝐹)) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran 𝑆))
803dprdspan 18866 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran (𝑆𝐹)))
8168, 80syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran (𝑆𝐹)))
823dprdspan 18866 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran 𝑆))
834, 82syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran 𝑆))
8479, 81, 833eqtr4d 2841 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd 𝑆))
8568, 84jca 512 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  Vcvv 3437  cdif 3856  cin 3858  wss 3859  {csn 4472   cuni 4745   class class class wbr 4962  ccnv 5442  dom cdm 5443  ran crn 5444  cima 5446  ccom 5447  Fun wfun 6219   Fn wfn 6220  wf 6221  1-1wf1 6222  ontowfo 6223  1-1-ontowf1o 6224  cfv 6225  (class class class)co 7016  0gc0g 16542  mrClscmrc 16683  Grpcgrp 17861  SubGrpcsubg 18027  Cntzccntz 18186   DProd cdprd 18832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-submnd 17775  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-sbg 17866  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-gim 18140  df-cntz 18188  df-oppg 18215  df-cmn 18635  df-dprd 18834
This theorem is referenced by:  dprdf1  18872  ablfaclem2  18925
  Copyright terms: Public domain W3C validator