MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf1o 18698
Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdf1o.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdf1o.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdf1o.3 (𝜑𝐹:𝐽1-1-onto𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdf1o (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd 𝑆)))

Proof of Theorem dprdf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 eqid 2765 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2765 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 dprdf1o.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
5 dprdgrp 18671 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
7 dprdf1o.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐽1-1-onto𝐼)
8 f1of1 6319 . . . . 5 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹:𝐽1-1𝐼)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐽1-1𝐼)
10 dprdf1o.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
114, 10dprddomcld 18667 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
12 f1dmex 7334 . . . 4 ((𝐹:𝐽1-1𝐼𝐼 ∈ V) → 𝐽 ∈ V)
139, 11, 12syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ V)
144, 10dprdf2 18673 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
15 f1of 6320 . . . . 5 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹:𝐽𝐼)
167, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐽𝐼)
17 fco 6240 . . . 4 ((𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐽𝐼) → (𝑆𝐹):𝐽⟶(SubGrp‘𝐺))
1814, 16, 17syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝐹):𝐽⟶(SubGrp‘𝐺))
194adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2010adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → dom 𝑆 = 𝐼)
2116adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝐹:𝐽𝐼)
22 simpr1 1248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑥𝐽)
2321, 22ffvelrnd 6550 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
24 simpr2 1250 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑦𝐽)
2521, 24ffvelrnd 6550 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐼)
26 simpr3 1252 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
279adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → 𝐹:𝐽1-1𝐼)
28 f1fveq 6711 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐽1-1𝐼 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2927, 22, 24, 28syl12anc 865 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
3029necon3bid 2981 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ 𝑥𝑦))
3126, 30mpbird 248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
3219, 20, 23, 25, 31, 1dprdcntz 18674 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → (𝑆‘(𝐹𝑥)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐹𝑦))))
33 fvco3 6464 . . . . 5 ((𝐹:𝐽𝐼𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) = (𝑆‘(𝐹𝑥)))
3421, 22, 33syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) = (𝑆‘(𝐹𝑥)))
35 fvco3 6464 . . . . . 6 ((𝐹:𝐽𝐼𝑦𝐽) → ((𝑆𝐹)‘𝑦) = (𝑆‘(𝐹𝑦)))
3621, 24, 35syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝑆𝐹)‘𝑦) = (𝑆‘(𝐹𝑦)))
3736fveq2d 6379 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑆𝐹)‘𝑦)) = ((Cntz‘𝐺)‘(𝑆‘(𝐹𝑦))))
3832, 34, 373sstr4d 3808 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽𝑥𝑦)) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑆𝐹)‘𝑦)))
3916, 33sylan 575 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹)‘𝑥) = (𝑆‘(𝐹𝑥)))
40 imaco 5826 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝑆 “ (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})))
417adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐹:𝐽1-1-onto𝐼)
42 dff1o3 6326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼 ↔ (𝐹:𝐽onto𝐼 ∧ Fun 𝐹))
4342simprbi 490 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼 → Fun 𝐹)
44 imadif 6151 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = ((𝐹𝐽) ∖ (𝐹 “ {𝑥})))
4541, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = ((𝐹𝐽) ∖ (𝐹 “ {𝑥})))
46 f1ofo 6327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹:𝐽onto𝐼)
47 foima 6303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐽onto𝐼 → (𝐹𝐽) = 𝐼)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝐽) = 𝐼)
49 f1ofn 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝐽1-1-onto𝐼𝐹 Fn 𝐽)
507, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn 𝐽)
51 fnsnfv 6447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝐽𝑥𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
5250, 51sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
5352eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹 “ {𝑥}) = {(𝐹𝑥)})
5448, 53difeq12d 3891 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝐹𝐽) ∖ (𝐹 “ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)}))
5545, 54eqtrd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)}))
5655imaeq2d 5648 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝑆 “ (𝐹 “ (𝐽 ∖ {𝑥}))) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))
5740, 56syl5eq 2811 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))
5857unieqd 4604 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})) = (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))
5958fveq2d 6379 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥}))) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)}))))
6039, 59ineq12d 3977 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐽) → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) = ((𝑆‘(𝐹𝑥)) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))))
614adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → 𝐺dom DProd 𝑆)
6210adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → dom 𝑆 = 𝐼)
6316ffvelrnda 6549 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐼)
6461, 62, 63, 2, 3dprddisj 18675 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐽) → ((𝑆‘(𝐹𝑥)) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ (𝑆 “ (𝐼 ∖ {(𝐹𝑥)})))) = {(0g𝐺)})
6560, 64eqtrd 2799 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐽) → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)})
66 eqimss 3817 . . . 4 ((((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) = {(0g𝐺)} → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
6765, 66syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥𝐽) → (((𝑆𝐹)‘𝑥) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑆𝐹) “ (𝐽 ∖ {𝑥})))) ⊆ {(0g𝐺)})
681, 2, 3, 6, 13, 18, 38, 67dmdprdd 18665 . 2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐹))
69 rnco2 5828 . . . . . 6 ran (𝑆𝐹) = (𝑆 “ ran 𝐹)
70 forn 6301 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐽onto𝐼 → ran 𝐹 = 𝐼)
717, 46, 703syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐼)
7271imaeq2d 5648 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 “ ran 𝐹) = (𝑆𝐼))
73 ffn 6223 . . . . . . . 8 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn 𝐼)
74 fnima 6188 . . . . . . . 8 (𝑆 Fn 𝐼 → (𝑆𝐼) = ran 𝑆)
7514, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐼) = ran 𝑆)
7672, 75eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 “ ran 𝐹) = ran 𝑆)
7769, 76syl5eq 2811 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑆𝐹) = ran 𝑆)
7877unieqd 4604 . . . 4 (𝜑 ran (𝑆𝐹) = ran 𝑆)
7978fveq2d 6379 . . 3 (𝜑 → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran (𝑆𝐹)) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran 𝑆))
803dprdspan 18693 . . . 4 (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran (𝑆𝐹)))
8168, 80syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran (𝑆𝐹)))
823dprdspan 18693 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran 𝑆))
834, 82syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ran 𝑆))
8479, 81, 833eqtr4d 2809 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd 𝑆))
8568, 84jca 507 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐹) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐹)) = (𝐺 DProd 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  {csn 4334   cuni 4594   class class class wbr 4809  ccnv 5276  dom cdm 5277  ran crn 5278  cima 5280  ccom 5281  Fun wfun 6062   Fn wfn 6063  wf 6064  1-1wf1 6065  ontowfo 6066  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  0gc0g 16366  mrClscmrc 16509  Grpcgrp 17689  SubGrpcsubg 17852  Cntzccntz 18011   DProd cdprd 18659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-ghm 17922  df-gim 17965  df-cntz 18013  df-oppg 18039  df-cmn 18461  df-dprd 18661
This theorem is referenced by:  dprdf1  18699  ablfaclem2  18752
  Copyright terms: Public domain W3C validator