MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf1o 19996
Description: Rearrange the index set of a direct product family. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdf1o.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
dprdf1o.2 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
dprdf1o.3 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ฝโ€“1-1-ontoโ†’๐ผ)
Assertion
Ref Expression
dprdf1o (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โˆ˜ ๐น) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โˆ˜ ๐น)) = (๐บ DProd ๐‘†)))

Proof of Theorem dprdf1o
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Cntzโ€˜๐บ) = (Cntzโ€˜๐บ)
2 eqid 2728 . . 3 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
3 eqid 2728 . . 3 (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ)) = (mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))
4 dprdf1o.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
5 dprdgrp 19969 . . . 4 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
64, 5syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
7 dprdf1o.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ฝโ€“1-1-ontoโ†’๐ผ)
8 f1of1 6843 . . . . 5 (๐น:๐ฝโ€“1-1-ontoโ†’๐ผ โ†’ ๐น:๐ฝโ€“1-1โ†’๐ผ)
97, 8syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ฝโ€“1-1โ†’๐ผ)
10 dprdf1o.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
114, 10dprddomcld 19965 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
12 f1dmex 7966 . . . 4 ((๐น:๐ฝโ€“1-1โ†’๐ผ โˆง ๐ผ โˆˆ V) โ†’ ๐ฝ โˆˆ V)
139, 11, 12syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ V)
144, 10dprdf2 19971 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
15 f1of 6844 . . . . 5 (๐น:๐ฝโ€“1-1-ontoโ†’๐ผ โ†’ ๐น:๐ฝโŸถ๐ผ)
167, 15syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐ฝโŸถ๐ผ)
17 fco 6752 . . . 4 ((๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐น:๐ฝโŸถ๐ผ) โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐น):๐ฝโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
1814, 16, 17syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐น):๐ฝโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
194adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
2010adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
2116adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ๐น:๐ฝโŸถ๐ผ)
22 simpr1 1191 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ)
2321, 22ffvelcdmd 7100 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ผ)
24 simpr2 1192 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ)
2521, 24ffvelcdmd 7100 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ ๐ผ)
26 simpr3 1193 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)
279adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ๐น:๐ฝโ€“1-1โ†’๐ผ)
28 f1fveq 7278 . . . . . . . 8 ((๐น:๐ฝโ€“1-1โ†’๐ผ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
2927, 22, 24, 28syl12anc 835 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ = ๐‘ฆ))
3029necon3bid 2982 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โ‰  (๐นโ€˜๐‘ฆ) โ†” ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ))
3126, 30mpbird 256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โ‰  (๐นโ€˜๐‘ฆ))
3219, 20, 23, 25, 31, 1dprdcntz 19972 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฆ))))
33 fvco3 7002 . . . . 5 ((๐น:๐ฝโŸถ๐ผ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
3421, 22, 33syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
35 fvco3 7002 . . . . . 6 ((๐น:๐ฝโŸถ๐ผ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
3621, 24, 35syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฆ)))
3736fveq2d 6906 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฆ)) = ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜(๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฆ))))
3832, 34, 373sstr4d 4029 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โ‰  ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฅ) โІ ((Cntzโ€˜๐บ)โ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฆ)))
3916, 33sylan 578 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)))
40 imaco 6260 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โˆ˜ ๐น) โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})) = (๐‘† โ€œ (๐น โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})))
417adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐น:๐ฝโ€“1-1-ontoโ†’๐ผ)
42 dff1o3 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น:๐ฝโ€“1-1-ontoโ†’๐ผ โ†” (๐น:๐ฝโ€“ontoโ†’๐ผ โˆง Fun โ—ก๐น))
4342simprbi 495 . . . . . . . . . . . 12 (๐น:๐ฝโ€“1-1-ontoโ†’๐ผ โ†’ Fun โ—ก๐น)
44 imadif 6642 . . . . . . . . . . . 12 (Fun โ—ก๐น โ†’ (๐น โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})) = ((๐น โ€œ ๐ฝ) โˆ– (๐น โ€œ {๐‘ฅ})))
4541, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (๐น โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})) = ((๐น โ€œ ๐ฝ) โˆ– (๐น โ€œ {๐‘ฅ})))
46 f1ofo 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น:๐ฝโ€“1-1-ontoโ†’๐ผ โ†’ ๐น:๐ฝโ€“ontoโ†’๐ผ)
47 foima 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น:๐ฝโ€“ontoโ†’๐ผ โ†’ (๐น โ€œ ๐ฝ) = ๐ผ)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (๐น โ€œ ๐ฝ) = ๐ผ)
49 f1ofn 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐น:๐ฝโ€“1-1-ontoโ†’๐ผ โ†’ ๐น Fn ๐ฝ)
507, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐ฝ)
51 fnsnfv 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐น Fn ๐ฝ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ {(๐นโ€˜๐‘ฅ)} = (๐น โ€œ {๐‘ฅ}))
5250, 51sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ {(๐นโ€˜๐‘ฅ)} = (๐น โ€œ {๐‘ฅ}))
5352eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (๐น โ€œ {๐‘ฅ}) = {(๐นโ€˜๐‘ฅ)})
5448, 53difeq12d 4123 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((๐น โ€œ ๐ฝ) โˆ– (๐น โ€œ {๐‘ฅ})) = (๐ผ โˆ– {(๐นโ€˜๐‘ฅ)}))
5545, 54eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (๐น โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})) = (๐ผ โˆ– {(๐นโ€˜๐‘ฅ)}))
5655imaeq2d 6068 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (๐‘† โ€œ (๐น โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ}))) = (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {(๐นโ€˜๐‘ฅ)})))
5740, 56eqtrid 2780 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐น) โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})) = (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {(๐นโ€˜๐‘ฅ)})))
5857unieqd 4925 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ โˆช ((๐‘† โˆ˜ ๐น) โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})) = โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {(๐นโ€˜๐‘ฅ)})))
5958fveq2d 6906 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ((๐‘† โˆ˜ ๐น) โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ}))) = ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {(๐นโ€˜๐‘ฅ)}))))
6039, 59ineq12d 4215 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ((๐‘† โˆ˜ ๐น) โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})))) = ((๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {(๐นโ€˜๐‘ฅ)})))))
614adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
6210adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
6316ffvelcdmda 7099 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐ผ)
6461, 62, 63, 2, 3dprddisj 19973 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช (๐‘† โ€œ (๐ผ โˆ– {(๐นโ€˜๐‘ฅ)})))) = {(0gโ€˜๐บ)})
6560, 64eqtrd 2768 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ((๐‘† โˆ˜ ๐น) โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)})
66 eqimss 4040 . . . 4 ((((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ((๐‘† โˆ˜ ๐น) โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})))) = {(0gโ€˜๐บ)} โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ((๐‘† โˆ˜ ๐น) โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})))) โІ {(0gโ€˜๐บ)})
6765, 66syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐น)โ€˜๐‘ฅ) โˆฉ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ((๐‘† โˆ˜ ๐น) โ€œ (๐ฝ โˆ– {๐‘ฅ})))) โІ {(0gโ€˜๐บ)})
681, 2, 3, 6, 13, 18, 38, 67dmdprdd 19963 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โˆ˜ ๐น))
69 rnco2 6262 . . . . . 6 ran (๐‘† โˆ˜ ๐น) = (๐‘† โ€œ ran ๐น)
70 forn 6819 . . . . . . . . 9 (๐น:๐ฝโ€“ontoโ†’๐ผ โ†’ ran ๐น = ๐ผ)
717, 46, 703syl 18 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ran ๐น = ๐ผ)
7271imaeq2d 6068 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โ€œ ran ๐น) = (๐‘† โ€œ ๐ผ))
73 ffn 6727 . . . . . . . 8 (๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† Fn ๐ผ)
74 fnima 6690 . . . . . . . 8 (๐‘† Fn ๐ผ โ†’ (๐‘† โ€œ ๐ผ) = ran ๐‘†)
7514, 73, 743syl 18 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โ€œ ๐ผ) = ran ๐‘†)
7672, 75eqtrd 2768 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โ€œ ran ๐น) = ran ๐‘†)
7769, 76eqtrid 2780 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ran (๐‘† โˆ˜ ๐น) = ran ๐‘†)
7877unieqd 4925 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆช ran (๐‘† โˆ˜ ๐น) = โˆช ran ๐‘†)
7978fveq2d 6906 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ran (๐‘† โˆ˜ ๐น)) = ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ran ๐‘†))
803dprdspan 19991 . . . 4 (๐บdom DProd (๐‘† โˆ˜ ๐น) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โˆ˜ ๐น)) = ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ran (๐‘† โˆ˜ ๐น)))
8168, 80syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โˆ˜ ๐น)) = ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ran (๐‘† โˆ˜ ๐น)))
823dprdspan 19991 . . . 4 (๐บdom DProd ๐‘† โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ran ๐‘†))
834, 82syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd ๐‘†) = ((mrClsโ€˜(SubGrpโ€˜๐บ))โ€˜โˆช ran ๐‘†))
8479, 81, 833eqtr4d 2778 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โˆ˜ ๐น)) = (๐บ DProd ๐‘†))
8568, 84jca 510 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โˆ˜ ๐น) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โˆ˜ ๐น)) = (๐บ DProd ๐‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  Vcvv 3473   โˆ– cdif 3946   โˆฉ cin 3948   โІ wss 3949  {csn 4632  โˆช cuni 4912   class class class wbr 5152  โ—กccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   โ€œ cima 5685   โˆ˜ ccom 5686  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  โŸถwf 6549  โ€“1-1โ†’wf1 6550  โ€“ontoโ†’wfo 6551  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6552  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0gc0g 17428  mrClscmrc 17570  Grpcgrp 18897  SubGrpcsubg 19082  Cntzccntz 19273   DProd cdprd 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-cmn 19744  df-dprd 19959
This theorem is referenced by:  dprdf1  19997  ablfaclem2  20050
  Copyright terms: Public domain W3C validator