Theorem elfi 9364

Description: Specific properties of an element of (fi‘𝐵). (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem elfi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fival 9363	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (fi‘𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥})
2	1	eleq2d 2814	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥}))
3		eqeq1 2733	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 = ∩ 𝑥 ↔ 𝐴 = ∩ 𝑥))
4	3	rexbidv 3157	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))
5	4	elabg 3643	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))
6	2, 5	sylan9bbr 510	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053   ∩ cin 3913  𝒫 cpw 4563  ∩ cint 4910  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  ficfi 9361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-fi 9362

This theorem is referenced by:  elfi2  9365  elfir  9366  inelfi  9369  fiin  9373  dffi2  9374  elfiun  9381  subbascn  23141  cmpfi  23295  fbasfip  23755  alexsubALTlem4  23937  zarcmplem  33871  heibor1lem  37803  elrfi  42682