Theorem elfi 9316

Description: Specific properties of an element of (fi‘𝐵). (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfi	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem elfi

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fival 9315	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (fi‘𝐵) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥})
2	1	eleq2d 2825	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥}))
3		eqeq1 2743	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 = ∩ 𝑥 ↔ 𝐴 = ∩ 𝑥))
4	3	rexbidv 3163	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))
5	4	elabg 3614	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥} ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))
6	2, 5	sylan9bbr 515	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717  ∃wrex 3063   ∩ cin 3882  𝒫 cpw 4529  ∩ cint 4877  ‘cfv 6485  Fincfn 8883  ficfi 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-fi 9314

This theorem is referenced by:  elfi2  9317  elfir  9318  inelfi  9321  fiin  9325  dffi2  9326  elfiun  9333  subbascn  23237  cmpfi  23391  fbasfip  23851  alexsubALTlem4  24033  zarcmplem  34065  heibor1lem  38176  elrfi  43143