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Theorem zarcmplem 32850
Description: Lemma for zarcmp 32851. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zartop.1 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
zartop.2 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
zarcmplem.1 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
Assertion
Ref Expression
zarcmplem (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 ∈ Comp)
Distinct variable groups:   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝐽,𝑗   𝑗,𝑉,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem zarcmplem
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑦 π‘Ž 𝑙 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 20062 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 zartop.1 . . . . 5 𝑆 = (Specβ€˜π‘…)
3 zartop.2 . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜π‘†)
4 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
52, 3, 4zar0ring 32847 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1) β†’ 𝐽 = {βˆ…})
61, 5sylan 581 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1) β†’ 𝐽 = {βˆ…})
7 0cmp 22890 . . 3 {βˆ…} ∈ Comp
86, 7eqeltrdi 2842 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
92, 3zartop 32845 . . 3 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 ∈ Top)
10 zarcmplem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑉 = (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗})
11 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (LIdealβ€˜π‘…) ∈ V
1211mptex 7222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↦ {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗}) ∈ V
1310, 12eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 ∈ V
14 imaexg 7903 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ V β†’ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ V)
1513, 14mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ V)
16 suppssdm 8159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom π‘Ž
17 imass2 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom π‘Ž β†’ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† (𝑉 β€œ dom π‘Ž))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† (𝑉 β€œ dom π‘Ž))
1910funmpt2 6585 . . . . . . . . . . . . . . 15 Fun 𝑉
20 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ dom π‘Ž βŠ† dom π‘Ž)
21 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) β†’ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯)))
22 fvexd 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V)
2313cnvex 7913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ◑𝑉 ∈ V
2423imaex 7904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (◑𝑉 β€œ π‘₯) ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) β†’ (◑𝑉 β€œ π‘₯) ∈ V)
2622, 25elmapd 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) β†’ (π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯)) ↔ π‘Ž:(◑𝑉 β€œ π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
2721, 26mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) β†’ π‘Ž:(◑𝑉 β€œ π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘…))
2827fdmd 6726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) β†’ dom π‘Ž = (◑𝑉 β€œ π‘₯))
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ dom π‘Ž = (◑𝑉 β€œ π‘₯))
3020, 29sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ dom π‘Ž βŠ† (◑𝑉 β€œ π‘₯))
31 funimass2 6629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝑉 ∧ dom π‘Ž βŠ† (◑𝑉 β€œ π‘₯)) β†’ (𝑉 β€œ dom π‘Ž) βŠ† π‘₯)
3219, 30, 31sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (𝑉 β€œ dom π‘Ž) βŠ† π‘₯)
3318, 32sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† π‘₯)
3415, 33elpwd 4608 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ 𝒫 π‘₯)
35 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…))
3635fsuppimpd 9366 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
37 imafi 9172 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑉 ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin) β†’ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin)
3819, 36, 37sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin)
3934, 38elind 4194 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin))
40 inteq 4953 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ ∩ 𝑦 = ∩ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))))
4140eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (βˆ… = ∩ 𝑦 ↔ βˆ… = ∩ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))))
4241adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ 𝑦 = (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (βˆ… = ∩ 𝑦 ↔ βˆ… = ∩ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))))
4316, 29sseqtrid 4034 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (◑𝑉 β€œ π‘₯))
44 cnvimass 6078 . . . . . . . . . . . . . 14 (◑𝑉 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝑉
4543, 44sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom 𝑉)
46 intimafv 31920 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑉 ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom 𝑉) β†’ ∩ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) = ∩ 𝑙 ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))(π‘‰β€˜π‘™))
4719, 45, 46sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ ∩ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) = ∩ 𝑙 ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))(π‘‰β€˜π‘™))
48 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
4948crngringd 20063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5049ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
51 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (PrmIdealβ€˜π‘…) ∈ V
5251rabex 5332 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑗 ∈ (PrmIdealβ€˜π‘…) ∣ 𝑖 βŠ† 𝑗} ∈ V
5352, 10dmmpti 6692 . . . . . . . . . . . . . 14 dom 𝑉 = (LIdealβ€˜π‘…)
5445, 53sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
55 simp-7r 789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1)
56 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž))
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
58 ringcmn 20093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
591, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6059ad8antr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
6124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (◑𝑉 β€œ π‘₯) ∈ V)
6227ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ π‘Ž:(◑𝑉 β€œ π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘…))
63 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…)
64 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ βˆ… βŠ† βˆ…)
6563, 64eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† βˆ…)
6635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…))
674, 57, 60, 61, 62, 65, 66gsumres 19776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ βˆ…)) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž))
68 res0 5984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž β†Ύ βˆ…) = βˆ…
6968oveq2i 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ βˆ…)) = (𝑅 Ξ£g βˆ…)
7057gsum0 18600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘…)
7169, 70eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ βˆ…)) = (0gβ€˜π‘…)
7267, 71eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (𝑅 Ξ£g π‘Ž) = (0gβ€˜π‘…))
7356, 72eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…))
74 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
754, 57, 7401eq0ring 20298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (0gβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = {(0gβ€˜π‘…)})
7650, 73, 75syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = {(0gβ€˜π‘…)})
7776fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}))
78 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
79 hashsng 14326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0gβ€˜π‘…) ∈ V β†’ (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β™―β€˜{(0gβ€˜π‘…)}) = 1
8177, 80eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) = βˆ…) β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = 1)
8255, 81mteqand 3034 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) β‰  βˆ…)
83 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
8410, 83zarclsiin 32840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (LIdealβ€˜π‘…) ∧ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑙 ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))(π‘‰β€˜π‘™) = (π‘‰β€˜((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))))
8550, 54, 82, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ ∩ 𝑙 ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))(π‘‰β€˜π‘™) = (π‘‰β€˜((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))))
86 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑙((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž))
87 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘™βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙
8886, 87nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑙(((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙)
8954sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ 𝑙 ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑙 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
90 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
914, 90lidlss 20826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑙 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑙 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ 𝑙 ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑙 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
9392ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (𝑙 ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑙 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)))
9488, 93ralrimi 3255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))𝑙 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
95 unissb 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘™ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))𝑙 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
9694, 95sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
9783, 4, 90rspcl 20840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
9850, 96, 97syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
994, 90lidlss 20826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
10183, 4, 74rsp1 20842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{(1rβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜π‘…))
10250, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{(1rβ€˜π‘…)}) = (Baseβ€˜π‘…))
10327adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ π‘Ž:(◑𝑉 β€œ π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘…))
104103, 43fssresd 6756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))):(π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))⟢(Baseβ€˜π‘…))
105 fvex 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
106 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ V
107105, 106elmap 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ↔ (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))):(π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))⟢(Baseβ€˜π‘…))
108104, 107sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))))
109 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑏 finSupp (0gβ€˜π‘…) ↔ (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
110 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑅 Ξ£g 𝑏) = (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))))
111110eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g 𝑏) ↔ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))))))
112 fveq1 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (π‘β€˜π‘˜) = ((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘˜))
113112eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘˜ ↔ ((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
114113ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))(π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘˜ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
115109, 111, 1143anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝑏 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g 𝑏) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))(π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ↔ ((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜)))
116115adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ 𝑏 = (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((𝑏 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g 𝑏) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))(π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ↔ ((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜)))
117 fvexd 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
11835, 117fsuppres 9385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
119 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž))
12050, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
12124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (◑𝑉 β€œ π‘₯) ∈ V)
122 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))
1234, 57, 120, 121, 103, 122, 35gsumres 19776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž))
124119, 123eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))))
125 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))
126125fvresd 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘˜) = (π‘Žβ€˜π‘˜))
12716, 28sseqtrid 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) β†’ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (◑𝑉 β€œ π‘₯))
128127sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ π‘˜ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯))
129 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑙 = π‘˜ β†’ (π‘Žβ€˜π‘™) = (π‘Žβ€˜π‘˜))
130 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑙 = π‘˜ β†’ 𝑙 = π‘˜)
131129, 130eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙 ↔ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
132131adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑙 = π‘˜) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙 ↔ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
133128, 132rspcdv 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
134133imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜)
135134an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜)
136126, 135eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜)
137136ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜)
138118, 124, 1373jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ ((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g (π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))((π‘Ž β†Ύ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
139108, 116, 138rspcedvd 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))(𝑏 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g 𝑏) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))(π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
140 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
14183, 4, 57, 140, 50, 54elrspunidl 32535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))(𝑏 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g 𝑏) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))(π‘β€˜π‘˜) ∈ π‘˜)))
142139, 141mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))))
143142snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ {(1rβ€˜π‘…)} βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))))
14483, 90rspssp 20844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ∧ {(1rβ€˜π‘…)} βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{(1rβ€˜π‘…)}) βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))))
14550, 98, 143, 144syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜{(1rβ€˜π‘…)}) βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))))
146102, 145eqsstrrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))))
147100, 146eqssd 3999 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))) = (Baseβ€˜π‘…))
148147fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘‰β€˜((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))) = (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)))
14990, 4lidl1 20838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
1501, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
15110, 4zarcls1 32838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ… ↔ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)))
152150, 151mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ CRing β†’ ((π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ… ↔ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)))
1534, 152mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ…)
154153ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘‰β€˜(Baseβ€˜π‘…)) = βˆ…)
155148, 154eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ (π‘‰β€˜((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…)))) = βˆ…)
15647, 85, 1553eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ βˆ… = ∩ (𝑉 β€œ (π‘Ž supp (0gβ€˜π‘…))))
15739, 42, 156rspcedvd 3615 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…)) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆ… = ∩ 𝑦)
158157exp41 436 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) β†’ (π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…) β†’ ((1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆ… = ∩ 𝑦))))
1591583imp2 1350 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ π‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))) ∧ (π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆ… = ∩ 𝑦)
1604, 74ringidcl 20077 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
16149, 160syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
162 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½))
163 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (PrmIdealβ€˜π‘…) = (PrmIdealβ€˜π‘…)
1642, 3, 163, 10zartopn 32844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(PrmIdealβ€˜π‘…)) ∧ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½)))
165164simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ CRing β†’ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½))
16648, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ ran 𝑉 = (Clsdβ€˜π½))
167166pweqd 4619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ 𝒫 ran 𝑉 = 𝒫 (Clsdβ€˜π½))
168162, 167eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 ran 𝑉)
169168elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ π‘₯ βŠ† ran 𝑉)
170 intimafv 31920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝑉 ∧ (◑𝑉 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝑉) β†’ ∩ (𝑉 β€œ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) = ∩ 𝑙 ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘‰β€˜π‘™))
17119, 44, 170mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ∩ (𝑉 β€œ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) = ∩ 𝑙 ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘‰β€˜π‘™)
172 funimacnv 6627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Fun 𝑉 β†’ (𝑉 β€œ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∩ ran 𝑉))
17319, 172ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 β€œ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∩ ran 𝑉)
174 df-ss 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ βŠ† ran 𝑉 ↔ (π‘₯ ∩ ran 𝑉) = π‘₯)
175174biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ βŠ† ran 𝑉 β†’ (π‘₯ ∩ ran 𝑉) = π‘₯)
176173, 175eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ βŠ† ran 𝑉 β†’ (𝑉 β€œ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) = π‘₯)
177176inteqd 4955 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ βŠ† ran 𝑉 β†’ ∩ (𝑉 β€œ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) = ∩ π‘₯)
178171, 177eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ βŠ† ran 𝑉 β†’ ∩ 𝑙 ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘‰β€˜π‘™) = ∩ π‘₯)
179169, 178syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ ∩ 𝑙 ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘‰β€˜π‘™) = ∩ π‘₯)
18044a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ (◑𝑉 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝑉)
181180, 53sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ (◑𝑉 β€œ π‘₯) βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
18219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ Fun 𝑉)
183 inteq 4953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βˆ… β†’ ∩ π‘₯ = ∩ βˆ…)
184 int0 4966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∩ βˆ… = V
185183, 184eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ ∩ π‘₯ = V)
186 vn0 4338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 V β‰  βˆ…
187 neeq1 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∩ π‘₯ = V β†’ (∩ π‘₯ β‰  βˆ… ↔ V β‰  βˆ…))
188186, 187mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∩ π‘₯ = V β†’ ∩ π‘₯ β‰  βˆ…)
189185, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ ∩ π‘₯ β‰  βˆ…)
190189necon2i 2976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∩ π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
191190adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ π‘₯ β‰  βˆ…)
192 preiman0 31919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝑉 ∧ π‘₯ βŠ† ran 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  βˆ…) β†’ (◑𝑉 β€œ π‘₯) β‰  βˆ…)
193182, 169, 191, 192syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ (◑𝑉 β€œ π‘₯) β‰  βˆ…)
19410, 83zarclsiin 32840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (◑𝑉 β€œ π‘₯) βŠ† (LIdealβ€˜π‘…) ∧ (◑𝑉 β€œ π‘₯) β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑙 ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘‰β€˜π‘™) = (π‘‰β€˜((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯))))
19549, 181, 193, 194syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ ∩ 𝑙 ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘‰β€˜π‘™) = (π‘‰β€˜((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯))))
196 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ ∩ π‘₯ = βˆ…)
197179, 195, 1963eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ (π‘‰β€˜((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯))) = βˆ…)
198181sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) β†’ 𝑙 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
199198, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) β†’ 𝑙 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
200199ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)𝑙 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
201 unissb 4943 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)𝑙 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
202200, 201sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
20383, 4, 90rspcl 20840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
20449, 202, 203syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
20510, 4zarcls1 32838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ CRing ∧ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘‰β€˜((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯))) = βˆ… ↔ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘…)))
20648, 204, 205syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((π‘‰β€˜((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯))) = βˆ… ↔ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘…)))
207197, 206mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘…))
208161, 207eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯)))
20983, 4, 57, 140, 49, 181elrspunidl 32535 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ ((1rβ€˜π‘…) ∈ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜βˆͺ (◑𝑉 β€œ π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))(π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙)))
210208, 209mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (◑𝑉 β€œ π‘₯))(π‘Ž finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘™ ∈ (◑𝑉 β€œ π‘₯)(π‘Žβ€˜π‘™) ∈ 𝑙))
211159, 210r19.29a 3163 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆ… = ∩ 𝑦)
212 0ex 5307 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ V
213 vex 3479 . . . . . . . 8 π‘₯ ∈ V
214 elfi 9405 . . . . . . . 8 ((βˆ… ∈ V ∧ π‘₯ ∈ V) β†’ (βˆ… ∈ (fiβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆ… = ∩ 𝑦))
215212, 213, 214mp2an 691 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ (fiβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin)βˆ… = ∩ 𝑦)
216211, 215sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) ∧ ∩ π‘₯ = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ (fiβ€˜π‘₯))
217216ex 414 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) β†’ (∩ π‘₯ = βˆ… β†’ βˆ… ∈ (fiβ€˜π‘₯)))
218217necon3bd 2955 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)) β†’ (Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜π‘₯) β†’ ∩ π‘₯ β‰  βˆ…))
219218ralrimiva 3147 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)(Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜π‘₯) β†’ ∩ π‘₯ β‰  βˆ…))
220 cmpfi 22904 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝐽 ∈ Comp ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)(Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜π‘₯) β†’ ∩ π‘₯ β‰  βˆ…)))
221220biimpar 479 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Clsdβ€˜π½)(Β¬ βˆ… ∈ (fiβ€˜π‘₯) β†’ ∩ π‘₯ β‰  βˆ…)) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2229, 219, 221syl2an2r 684 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘…)) β‰  1) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
2238, 222pm2.61dane 3030 1 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐽 ∈ Comp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4950  βˆ© ciin 4998   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6535  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   supp csupp 8143   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  ficfi 9402  1c1 11108  β™―chash 14287  Basecbs 17141  .rcmulr 17195  TopOpenctopn 17364  0gc0g 17382   Ξ£g cgsu 17383  CMndccmn 19643  1rcur 19999  Ringcrg 20050  CRingccrg 20051  LIdealclidl 20776  RSpancrsp 20777  Topctop 22387  TopOnctopon 22404  Clsdccld 22512  Compccmp 22882  PrmIdealcprmidl 32542  Speccrspec 32831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-reg 9584  ax-inf2 9633  ax-ac2 10455  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-rpss 7710  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-oi 9502  df-r1 9756  df-rank 9757  df-dju 9893  df-card 9931  df-ac 10108  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-cntz 19176  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-cring 20053  df-rnghom 20244  df-nzr 20285  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lmhm 20626  df-lbs 20679  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-lidl 20780  df-rsp 20781  df-lpidl 20874  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-zrh 21045  df-dsmm 21279  df-frlm 21294  df-uvc 21330  df-top 22388  df-topon 22405  df-cld 22515  df-cmp 22883  df-prmidl 32543  df-mxidl 32565  df-idlsrg 32604  df-rspec 32832
This theorem is referenced by:  zarcmp  32851
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