MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfi2 8963
Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfi2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem elfi2
StepHypRef Expression
1 elex 3418 . . 3 (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
21a1i 11 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V))
3 simpr 488 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
4 eldifsni 4688 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
6 intex 5215 . . . . . 6 (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑥 ∈ V)
75, 6sylib 221 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
83, 7eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
98rexlimiva 3192 . . 3 (∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥𝐴 ∈ V)
109a1i 11 . 2 (𝐵𝑉 → (∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥𝐴 ∈ V))
11 elfi 8962 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = 𝑥))
12 vprc 5193 . . . . . . . . . . 11 ¬ V ∈ V
13 elsni 4543 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
1413inteqd 4851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
15 int0 4860 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = V
1614, 15eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = V)
1716eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {∅} → ( 𝑥 ∈ V ↔ V ∈ V))
1812, 17mtbiri 330 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {∅} → ¬ 𝑥 ∈ V)
19 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 = 𝑥)
20 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
2119, 20eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
2218, 21nsyl3 140 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {∅})
2322biantrud 535 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅})))
24 eldif 3863 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅}))
2523, 24bitr4di 292 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) ∧ 𝐴 = 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})))
2625pm5.32da 582 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ((𝐴 = 𝑥𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ↔ (𝐴 = 𝑥𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
27 ancom 464 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = 𝑥) ↔ (𝐴 = 𝑥𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)))
28 ancom 464 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥) ↔ (𝐴 = 𝑥𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})))
2926, 27, 283bitr4g 317 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = 𝑥)))
3029rexbidv2 3206 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥))
3111, 30bitrd 282 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥))
3231expcom 417 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥)))
332, 10, 32pm5.21ndd 384 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wrex 3055  Vcvv 3400  cdif 3850  cin 3852  c0 4221  𝒫 cpw 4498  {csn 4526   cint 4846  cfv 6349  Fincfn 8567  ficfi 8959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fv 6357  df-fi 8960
This theorem is referenced by:  fifo  8981  firest  16821  alexsublem  22807  ispisys2  31703
  Copyright terms: Public domain W3C validator