Theorem elfiun 8967

Description: A finite intersection of elements taken from a union of collections. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Nov-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfiun	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Proof of Theorem elfiun

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → 𝐴 ∈ V)
3		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝐷)
4		simplr 769	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝐾)
5	2, 3, 4	3jca 1129	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
6		elex 3416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7	6	3anim1i 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
8	7	3expib 1123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
9		elex 3416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → 𝐴 ∈ V)
10	9	3anim1i 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
11	10	3expib 1123	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
12		vex 3402	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	12	inex1 5185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
14		eleq1 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V))
15	13, 14	mpbiri 261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ V)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ V))
17	16	rexlimivv 3202	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ V)
18	17	3anim1i 1153	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
19	18	3expib 1123	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
20	8, 11, 19	3jaoi 1428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
21	20	impcom 411	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
22		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ V)
23		unexg 7490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V)
24	23	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V)
25		elfi 8950	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑧))
26	22, 24, 25	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑧))
27		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ V)
28		eleq1 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ V ↔ ∩ 𝑧 ∈ V))
29		intex 5205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
30	28, 29	bitr4di 292	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝑧 ≠ ∅))
31	27, 30	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → 𝑧 ≠ ∅))
32		simp22 1208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
33		inss2 4120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
35		simp1l 1198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
36		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin))
37	36	elin2d 4089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
38		inss1 4119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑧
39		ssfi 8772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
40	37, 38, 39	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
41		elfir 8952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ Fin)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝐵))
42	32, 34, 35, 40, 41	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝐵))
43		simp23 1209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
44		inss2 4120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
46		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
47		inss1 4119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝑧
48		ssfi 8772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ Fin)
49	37, 47, 48	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ Fin)
50		elfir 8952	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ Fin)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ (fi‘𝐶))
51	43, 45, 46, 49, 50	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ (fi‘𝐶))
52		elinel1 4085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶))
53	52	elpwid 4499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶))
54		indi 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) = ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶))
55		df-ss 3860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝑧 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) = 𝑧)
56	55	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑧 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) = 𝑧)
57	54, 56	syl5reqr 2788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → 𝑧 = ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶)))
58	57	inteqd 4841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ∩ 𝑧 = ∩ ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶)))
59		intun 4868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∩ ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶)) = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶))
60	58, 59	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶)))
61	36, 53, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶)))
62		ineq1 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦))
63	62	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) → (∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦)))
64		ineq2 4097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) → (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦) = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶)))
65	64	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) → (∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦) ↔ ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶))))
66	63, 65	rspc2ev 3538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝐵) ∧ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ (fi‘𝐶) ∧ ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))
67	42, 51, 61, 66	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))
68	67	3mix3d 1339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
69	68	3expib 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
70		simp23 1209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
71		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) = ∅)
72		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin))
73		reldisj 4341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵)))
74	72, 53, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵)))
75	71, 74	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵))
76		uncom 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐶 ∪ 𝐵)
77	76	difeq1i 4009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵) = ((𝐶 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵)
78		difun2 4370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐵)
79	77, 78	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐵)
80		difss 4022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐶
81	79, 80	eqsstri 3911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵) ⊆ 𝐶
82	75, 81	sstrdi 3889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ 𝐶)
83		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ≠ ∅)
84	72	elin2d 4089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
85		elfir 8952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶))
86	70, 82, 83, 84, 85	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶))
87	86	3mix2d 1338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
88	87	3expib 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
89		simp22 1208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
90		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) = ∅)
91		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin))
92		reldisj 4341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶)))
93	91, 53, 92	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶)))
94	90, 93	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶))
95		difun2 4370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶) = (𝐵 ∖ 𝐶)
96		difss 4022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
97	95, 96	eqsstri 3911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
98	94, 97	sstrdi 3889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
99		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ≠ ∅)
100	91	elin2d 4089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
101		elfir 8952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵))
102	89, 98, 99, 100, 101	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵))
103	102	3mix1d 1337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
104	103	3expib 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
105	69, 88, 104	pm2.61iine 3024	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
106		eleq1 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵)))
107		eleq1 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ↔ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶)))
108		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
109	108	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
110	106, 107, 109	3orbi123d 1436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
111	105, 110	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
112	111	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)))))
113	112	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝑧 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)))))
114	31, 113	mpdd 43	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
115	114	rexlimdva 3194	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
116	26, 115	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
117		ssun1 4062	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
118		fiss 8961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
119	23, 117, 118	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
120	119	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
121	120	sseld 3876	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
122		ssun2 4063	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
123		fiss 8961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
124	23, 122, 123	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
125	124	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
126	125	sseld 3876	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
127	120	sseld 3876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
128	125	sseld 3876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (fi‘𝐶) → 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
129	127, 128	anim12d 612	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
130		fiin 8959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
131		eleq1a 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
132	130, 131	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
133	129, 132	syl6 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
134	133	rexlimdvv 3203	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
135	121, 126, 134	3jaod 1429	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
136	116, 135	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
137	5, 21, 136	pm5.21nd 802	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∃wrex 3054  Vcvv 3398   ∖ cdif 3840   ∪ cun 3841   ∩ cin 3842   ⊆ wss 3843  ∅c0 4211  𝒫 cpw 4488  ∩ cint 4836  ‘cfv 6339  Fincfn 8555  ficfi 8947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-om 7600  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-fin 8559  df-fi 8948

This theorem is referenced by:  ordtbas2  21942  ordtbas  21943  fbunfip  22620  fmfnfmlem4  22708