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Theorem elfiun 9427
Description: A finite intersection of elements taken from a union of collections. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Nov-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elfiun ((𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Proof of Theorem elfiun
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . . . 4 (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
21adantl 482 . . 3 (((𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))) → 𝐴 ∈ V)
3 simpll 765 . . 3 (((𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))) → 𝐵𝐷)
4 simplr 767 . . 3 (((𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))) → 𝐶𝐾)
52, 3, 43jca 1128 . 2 (((𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾))
6 elex 3492 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
763anim1i 1152 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾))
873expib 1122 . . . 4 (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾)))
9 elex 3492 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → 𝐴 ∈ V)
1093anim1i 1152 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾))
11103expib 1122 . . . 4 (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → ((𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾)))
12 vex 3478 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
1312inex1 5317 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦) ∈ V
14 eleq1 2821 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑥𝑦) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝑥𝑦) ∈ V))
1513, 14mpbiri 257 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ V)
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝐴 = (𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ V))
1716rexlimivv 3199 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ V)
18173anim1i 1152 . . . . 5 ((∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦) ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾))
19183expib 1122 . . . 4 (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦) → ((𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾)))
208, 11, 193jaoi 1427 . . 3 ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦)) → ((𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾)))
2120impcom 408 . 2 (((𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦))) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾))
22 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → 𝐴 ∈ V)
23 unexg 7738 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐵𝐶) ∈ V)
24233adant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐵𝐶) ∈ V)
25 elfi 9410 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐵𝐶) ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin)𝐴 = 𝑧))
2622, 24, 25syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin)𝐴 = 𝑧))
27 simpl1 1191 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ V)
28 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑧 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝑧 ∈ V))
29 intex 5337 . . . . . . . 8 (𝑧 ≠ ∅ ↔ 𝑧 ∈ V)
3028, 29bitr4di 288 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝑧 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝑧 ≠ ∅))
3127, 30syl5ibcom 244 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = 𝑧𝑧 ≠ ∅))
32 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐵𝐷)
33 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐵) ⊆ 𝐵
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐵) ⊆ 𝐵)
35 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐵) ≠ ∅)
36 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin))
3736elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
38 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐵) ⊆ 𝑧
39 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧𝐵) ⊆ 𝑧) → (𝑧𝐵) ∈ Fin)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐵) ∈ Fin)
41 elfir 9412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝐷 ∧ ((𝑧𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐵) ∈ Fin)) → (𝑧𝐵) ∈ (fi‘𝐵))
4232, 34, 35, 40, 41syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐵) ∈ (fi‘𝐵))
43 simp23 1208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐶𝐾)
44 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐶) ⊆ 𝐶
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐶) ⊆ 𝐶)
46 simp1r 1198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐶) ≠ ∅)
47 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐶) ⊆ 𝑧
48 ssfi 9175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧𝐶) ⊆ 𝑧) → (𝑧𝐶) ∈ Fin)
4937, 47, 48sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐶) ∈ Fin)
50 elfir 9412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶𝐾 ∧ ((𝑧𝐶) ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ∈ Fin)) → (𝑧𝐶) ∈ (fi‘𝐶))
5143, 45, 46, 49, 50syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐶) ∈ (fi‘𝐶))
52 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 (𝐵𝐶))
5352elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ (𝐵𝐶))
54 df-ss 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ⊆ (𝐵𝐶) ↔ (𝑧 ∩ (𝐵𝐶)) = 𝑧)
5554biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ⊆ (𝐵𝐶) → (𝑧 ∩ (𝐵𝐶)) = 𝑧)
56 indi 4273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∩ (𝐵𝐶)) = ((𝑧𝐵) ∪ (𝑧𝐶))
5755, 56eqtr3di 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ (𝐵𝐶) → 𝑧 = ((𝑧𝐵) ∪ (𝑧𝐶)))
5857inteqd 4955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ⊆ (𝐵𝐶) → 𝑧 = ((𝑧𝐵) ∪ (𝑧𝐶)))
59 intun 4984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐵) ∪ (𝑧𝐶)) = ( (𝑧𝐵) ∩ (𝑧𝐶))
6058, 59eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ⊆ (𝐵𝐶) → 𝑧 = ( (𝑧𝐵) ∩ (𝑧𝐶)))
6136, 53, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 = ( (𝑧𝐵) ∩ (𝑧𝐶)))
62 ineq1 4205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑧𝐵) → (𝑥𝑦) = ( (𝑧𝐵) ∩ 𝑦))
6362eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑧𝐵) → ( 𝑧 = (𝑥𝑦) ↔ 𝑧 = ( (𝑧𝐵) ∩ 𝑦)))
64 ineq2 4206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑧𝐶) → ( (𝑧𝐵) ∩ 𝑦) = ( (𝑧𝐵) ∩ (𝑧𝐶)))
6564eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑧𝐶) → ( 𝑧 = ( (𝑧𝐵) ∩ 𝑦) ↔ 𝑧 = ( (𝑧𝐵) ∩ (𝑧𝐶))))
6663, 65rspc2ev 3624 . . . . . . . . . . . . 13 (( (𝑧𝐵) ∈ (fi‘𝐵) ∧ (𝑧𝐶) ∈ (fi‘𝐶) ∧ 𝑧 = ( (𝑧𝐵) ∩ (𝑧𝐶))) → ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦))
6742, 51, 61, 66syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦))
68673mix3d 1338 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ( 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦)))
69683expib 1122 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧𝐶) ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ( 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦))))
70 simp23 1208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐶𝐾)
71 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐵) = ∅)
72 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin))
73 reldisj 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ (𝐵𝐶) → ((𝑧𝐵) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵𝐶) ∖ 𝐵)))
7472, 53, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ((𝑧𝐵) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵𝐶) ∖ 𝐵)))
7571, 74mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ ((𝐵𝐶) ∖ 𝐵))
76 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝐶) = (𝐶𝐵)
7776difeq1i 4118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝐶) ∖ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∖ 𝐵)
78 difun2 4480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐶𝐵)
7977, 78eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐶) ∖ 𝐵) = (𝐶𝐵)
80 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝐵) ⊆ 𝐶
8179, 80eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝐶) ∖ 𝐵) ⊆ 𝐶
8275, 81sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧𝐶)
83 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ≠ ∅)
8472elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
85 elfir 9412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶𝐾 ∧ (𝑧𝐶𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ (fi‘𝐶))
8670, 82, 83, 84, 85syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (fi‘𝐶))
87863mix2d 1337 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ( 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦)))
88873expib 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐵) = ∅ → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ( 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦))))
89 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐵𝐷)
90 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧𝐶) = ∅)
91 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin))
92 reldisj 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ (𝐵𝐶) → ((𝑧𝐶) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵𝐶) ∖ 𝐶)))
9391, 53, 923syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ((𝑧𝐶) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵𝐶) ∖ 𝐶)))
9490, 93mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ ((𝐵𝐶) ∖ 𝐶))
95 difun2 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝐶) ∖ 𝐶) = (𝐵𝐶)
96 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝐶) ⊆ 𝐵
9795, 96eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝐶) ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
9894, 97sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧𝐵)
99 simp3r 1202 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ≠ ∅)
10091elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
101 elfir 9412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝐷 ∧ (𝑧𝐵𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ (fi‘𝐵))
10289, 98, 99, 100, 101syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (fi‘𝐵))
1031023mix1d 1336 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ( 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦)))
1041033expib 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶) = ∅ → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ( 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦))))
10569, 88, 104pm2.61iine 3032 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ( 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦)))
106 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵)))
107 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ↔ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶)))
108 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝑧 → (𝐴 = (𝑥𝑦) ↔ 𝑧 = (𝑥𝑦)))
1091082rexbidv 3219 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦)))
110106, 107, 1093orbi123d 1435 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝑧 → ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦)) ↔ ( 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶) 𝑧 = (𝑥𝑦))))
111105, 110syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝐴 = 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦))))
112111expr 457 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin)) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝐴 = 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦)))))
113112com23 86 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = 𝑧 → (𝑧 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦)))))
11431, 113mpdd 43 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦))))
115114rexlimdva 3155 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵𝐶) ∩ Fin)𝐴 = 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦))))
11626, 115sylbid 239 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦))))
117 ssun1 4172 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ (𝐵𝐶)
118 fiss 9421 . . . . . . 7 (((𝐵𝐶) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (𝐵𝐶)) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵𝐶)))
11923, 117, 118sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝐶𝐾) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵𝐶)))
1201193adant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵𝐶)))
121120sseld 3981 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))))
122 ssun2 4173 . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (𝐵𝐶)
123 fiss 9421 . . . . . . 7 (((𝐵𝐶) ∈ V ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵𝐶)) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵𝐶)))
12423, 122, 123sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐵𝐷𝐶𝐾) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵𝐶)))
1251243adant1 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵𝐶)))
126125sseld 3981 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))))
127120sseld 3981 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))))
128125sseld 3981 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝑦 ∈ (fi‘𝐶) → 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))))
129127, 128anim12d 609 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)))))
130 fiin 9419 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))) → (𝑥𝑦) ∈ (fi‘(𝐵𝐶)))
131 eleq1a 2828 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦) ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) → (𝐴 = (𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))))
132130, 131syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))) → (𝐴 = (𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))))
133129, 132syl6 35 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝐴 = (𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)))))
134133rexlimdvv 3210 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))))
135121, 126, 1343jaod 1428 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦)) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶))))
136116, 135impbid 211 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦))))
1375, 21, 136pm5.21nd 800 1 ((𝐵𝐷𝐶𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602   cint 4950  cfv 6543  Fincfn 8941  ficfi 9407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408
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