Theorem elfiun 9119

Description: A finite intersection of elements taken from a union of collections. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Nov-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfiun	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦

Proof of Theorem elfiun

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3440	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → 𝐴 ∈ V)
3		simpll 763	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝐷)
4		simplr 765	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝐾)
5	2, 3, 4	3jca 1126	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
6		elex 3440	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7	6	3anim1i 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
8	7	3expib 1120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
9		elex 3440	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → 𝐴 ∈ V)
10	9	3anim1i 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
11	10	3expib 1120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
12		vex 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ V
13	12	inex1 5236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V
14		eleq1 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ V))
15	13, 14	mpbiri 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ V)
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ V))
17	16	rexlimivv 3220	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ V)
18	17	3anim1i 1150	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
19	18	3expib 1120	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
20	8, 11, 19	3jaoi 1425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)) → ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)))
21	20	impcom 407	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾))
22		simp1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ V)
23		unexg 7577	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V)
24	23	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V)
25		elfi 9102	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑧))
26	22, 24, 25	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑧))
27		simpl1 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → 𝐴 ∈ V)
28		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ V ↔ ∩ 𝑧 ∈ V))
29		intex 5256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑧 ∈ V)
30	28, 29	bitr4di 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝑧 ≠ ∅))
31	27, 30	syl5ibcom 244	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → 𝑧 ≠ ∅))
32		simp22 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
33		inss2 4160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵)
35		simp1l 1195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
36		simp3l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin))
37	36	elin2d 4129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
38		inss1 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑧
39		ssfi 8918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
40	37, 38, 39	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ Fin)
41		elfir 9104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 ∩ 𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ Fin)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝐵))
42	32, 34, 35, 40, 41	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝐵))
43		simp23 1206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
44		inss2 4160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
46		simp1r 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
47		inss1 4159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝑧
48		ssfi 8918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝑧) → (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ Fin)
49	37, 47, 48	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ Fin)
50		elfir 9104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑧 ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ Fin)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ (fi‘𝐶))
51	43, 45, 46, 49, 50	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ (fi‘𝐶))
52		elinel1 4125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑧 ∈ 𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶))
53	52	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶))
54		df-ss 3900	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) ↔ (𝑧 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) = 𝑧)
55	54	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → (𝑧 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) = 𝑧)
56		indi 4204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)) = ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶))
57	55, 56	eqtr3di 2794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → 𝑧 = ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶)))
58	57	inteqd 4881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ∩ 𝑧 = ∩ ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶)))
59		intun 4908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∩ ((𝑧 ∩ 𝐵) ∪ (𝑧 ∩ 𝐶)) = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶))
60	58, 59	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶)))
61	36, 53, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶)))
62		ineq1 4136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) → (𝑥 ∩ 𝑦) = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦))
63	62	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐵) → (∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦)))
64		ineq2 4137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) → (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦) = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶)))
65	64	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) → (∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ 𝑦) ↔ ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶))))
66	63, 65	rspc2ev 3564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝐵) ∧ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶) ∈ (fi‘𝐶) ∧ ∩ 𝑧 = (∩ (𝑧 ∩ 𝐵) ∩ ∩ (𝑧 ∩ 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))
67	42, 51, 61, 66	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))
68	67	3mix3d 1336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
69	68	3expib 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) ≠ ∅ ∧ (𝑧 ∩ 𝐶) ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
70		simp23 1206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
71		simp1 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐵) = ∅)
72		simp3l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin))
73		reldisj 4382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵)))
74	72, 53, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵)))
75	71, 74	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵))
76		uncom 4083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐶 ∪ 𝐵)
77	76	difeq1i 4049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵) = ((𝐶 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵)
78		difun2 4411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∪ 𝐵) ∖ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐵)
79	77, 78	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵) = (𝐶 ∖ 𝐵)
80		difss 4062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐶
81	79, 80	eqsstri 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐵) ⊆ 𝐶
82	75, 81	sstrdi 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ 𝐶)
83		simp3r 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ≠ ∅)
84	72	elin2d 4129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
85		elfir 9104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶))
86	70, 82, 83, 84, 85	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶))
87	86	3mix2d 1335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
88	87	3expib 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝐵) = ∅ → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
89		simp22 1205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
90		simp1 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝑧 ∩ 𝐶) = ∅)
91		simp3l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin))
92		reldisj 4382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶) → ((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶)))
93	91, 53, 92	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ↔ 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶)))
94	90, 93	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶))
95		difun2 4411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶) = (𝐵 ∖ 𝐶)
96		difss 4062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
97	95, 96	eqsstri 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∪ 𝐶) ∖ 𝐶) ⊆ 𝐵
98	94, 97	sstrdi 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ⊆ 𝐵)
99		simp3r 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ≠ ∅)
100	91	elin2d 4129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → 𝑧 ∈ Fin)
101		elfir 9104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ (𝑧 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ 𝑧 ∈ Fin)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵))
102	89, 98, 99, 100, 101	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵))
103	102	3mix1d 1334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
104	103	3expib 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∩ 𝐶) = ∅ → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
105	69, 88, 104	pm2.61iine 3034	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
106		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵)))
107		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ↔ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶)))
108		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
109	108	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦)))
110	106, 107, 109	3orbi123d 1433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑧 → ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)) ↔ (∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐵) ∨ ∩ 𝑧 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)∩ 𝑧 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
111	105, 110	syl5ibrcom 246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝑧 ≠ ∅)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
112	111	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)))))
113	112	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝑧 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)))))
114	31, 113	mpdd 43	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)) → (𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
115	114	rexlimdva 3212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑧 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
116	26, 115	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
117		ssun1 4102	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
118		fiss 9113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
119	23, 117, 118	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
120	119	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐵) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
121	120	sseld 3916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
122		ssun2 4103	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)
123		fiss 9113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∪ 𝐶) ∈ V ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 ∪ 𝐶)) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
124	23, 122, 123	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
125	124	3adant1 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (fi‘𝐶) ⊆ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
126	125	sseld 3916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐶) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
127	120	sseld 3916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑥 ∈ (fi‘𝐵) → 𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
128	125	sseld 3916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝑦 ∈ (fi‘𝐶) → 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
129	127, 128	anim12d 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
130		fiin 9111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))
131		eleq1a 2834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
132	130, 131	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
133	129, 132	syl6 35	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑥 ∈ (fi‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐶)) → (𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)))))
134	133	rexlimdvv 3221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
135	121, 126, 134	3jaod 1426	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦)) → 𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶))))
136	116, 135	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))
137	5, 21, 136	pm5.21nd 798	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → (𝐴 ∈ (fi‘(𝐵 ∪ 𝐶)) ↔ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ∨ 𝐴 ∈ (fi‘𝐶) ∨ ∃𝑥 ∈ (fi‘𝐵)∃𝑦 ∈ (fi‘𝐶)𝐴 = (𝑥 ∩ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  ∩ cint 4876  ‘cfv 6418  Fincfn 8691  ficfi 9099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-fin 8695  df-fi 9100

This theorem is referenced by:  ordtbas2  22250  ordtbas  22251  fbunfip  22928  fmfnfmlem4  23016