MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfir 8867
Description: Sufficient condition for an element of (fi‘𝐵). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elfir ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem elfir
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 elpw2g 5238 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
31, 2syl5ibr 247 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
43imp 407 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5 simpr3 1188 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
64, 5elind 4168 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7 eqid 2818 . . 3 𝐴 = 𝐴
8 inteq 4870 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
98rspceeqv 3635 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
106, 7, 9sylancl 586 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
11 simp2 1129 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12 intex 5231 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
1311, 12sylib 219 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
14 id 22 . . 3 (𝐵𝑉𝐵𝑉)
15 elfi 8865 . . 3 (( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
1613, 14, 15syl2anr 596 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
1710, 16mpbird 258 1 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  c0 4288  𝒫 cpw 4535   cint 4867  cfv 6348  Fincfn 8497  ficfi 8862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-fi 8863
This theorem is referenced by:  intrnfi  8868  ssfii  8871  elfiun  8882  ptbasfi  22117  fbssint  22374  filintn0  22397  alexsublem  22580  ispisys2  31311
  Copyright terms: Public domain W3C validator