MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfir 8952
Description: Sufficient condition for an element of (fi‘𝐵). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elfir ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem elfir
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 elpw2g 5212 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
31, 2syl5ibr 249 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
43imp 410 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5 simpr3 1197 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
64, 5elind 4084 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7 eqid 2738 . . 3 𝐴 = 𝐴
8 inteq 4839 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
98rspceeqv 3541 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
106, 7, 9sylancl 589 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
11 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12 intex 5205 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
1311, 12sylib 221 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
14 id 22 . . 3 (𝐵𝑉𝐵𝑉)
15 elfi 8950 . . 3 (( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
1613, 14, 15syl2anr 600 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
1710, 16mpbird 260 1 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wrex 3054  Vcvv 3398  cin 3842  wss 3843  c0 4211  𝒫 cpw 4488   cint 4836  cfv 6339  Fincfn 8555  ficfi 8947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fv 6347  df-fi 8948
This theorem is referenced by:  intrnfi  8953  ssfii  8956  elfiun  8967  ptbasfi  22332  fbssint  22589  filintn0  22612  alexsublem  22795  ispisys2  31691
  Copyright terms: Public domain W3C validator