Theorem elfir 9342

Description: Sufficient condition for an element of (fi‘𝐵). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfir	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem elfir

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		elpw2g 5283	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
4	3	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
6	4, 5	elind 4159	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝐴
8		inteq 4909	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝐴)
9	8	rspceeqv 3608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ∩ 𝐴 = ∩ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥)
10	6, 7, 9	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥)
11		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12		intex 5294	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ V)
14		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝑉)
15		elfi 9340	. . 3 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥))
16	13, 14, 15	syl2anr 597	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥))
17	10, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  ∩ cint 4906  ‘cfv 6499  Fincfn 8895  ficfi 9337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-fi 9338

This theorem is referenced by:  intrnfi  9343  ssfii  9346  elfiun  9357  ptbasfi  23444  fbssint  23701  filintn0  23724  alexsublem  23907  ispisys2  34116