Theorem elfir 9322

Description: Sufficient condition for an element of (fi‘𝐵). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfir	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem elfir

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		elpw2g 5271	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
4	3	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5		simpr3 1198	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
6	4, 5	elind 4141	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝐴
8		inteq 4893	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝐴)
9	8	rspceeqv 3588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ∩ 𝐴 = ∩ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥)
10	6, 7, 9	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥)
11		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12		intex 5282	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
13	11, 12	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ V)
14		id 22	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝑉)
15		elfi 9320	. . 3 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥))
16	13, 14, 15	syl2anr 598	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥))
17	10, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ∩ cint 4890  ‘cfv 6493  Fincfn 8887  ficfi 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-fi 9318

This theorem is referenced by:  intrnfi  9323  ssfii  9326  elfiun  9337  ptbasfi  23559  fbssint  23816  filintn0  23839  alexsublem  24022  ispisys2  34316