Theorem elfir 9414

Description: Sufficient condition for an element of (fi‘𝐵). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elfir	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem elfir

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		elpw2g 5295	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
3	1, 2	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
4	3	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
6	4, 5	elind 4096	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∩ 𝐴 = ∩ 𝐴
8		inteq 4909	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝐴)
9	8	rspceeqv 3598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ∩ 𝐴 = ∩ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥)
10	6, 7, 9	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥)
11		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12		intex 5305	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝐴 ∈ V)
13	11, 12	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ V)
14		id 23	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝑉)
15		elfi 9412	. . 3 ⊢ ((∩ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥))
16	13, 14, 15	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → (∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)∩ 𝐴 = ∩ 𝑥))
17	10, 16	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∩ 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  ∩ cint 4906  ‘cfv 6543  Fincfn 8981  ficfi 9409

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-fi 9410

This theorem is used by:  intrnfi  9415  ssfii  9418  elfiun  9429  ptbasfi  23909  fbssint  24166  filintn0  24189  alexsublem  24372  ispisys2  34836