MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfir 9453
Description: Sufficient condition for an element of (fi‘𝐵). (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elfir ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))

Proof of Theorem elfir
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 elpw2g 5339 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
31, 2imbitrrid 246 . . . . 5 (𝐵𝑉 → ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵))
43imp 406 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
5 simpr3 1195 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ Fin)
64, 5elind 4210 . . 3 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7 eqid 2735 . . 3 𝐴 = 𝐴
8 inteq 4954 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
98rspceeqv 3645 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
106, 7, 9sylancl 586 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥)
11 simp2 1136 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≠ ∅)
12 intex 5350 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
1311, 12sylib 218 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
14 id 22 . . 3 (𝐵𝑉𝐵𝑉)
15 elfi 9451 . . 3 (( 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
1613, 14, 15syl2anr 597 . 2 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → ( 𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) 𝐴 = 𝑥))
1710, 16mpbird 257 1 ((𝐵𝑉 ∧ (𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)) → 𝐴 ∈ (fi‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605   cint 4951  cfv 6563  Fincfn 8984  ficfi 9448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-fi 9449
This theorem is referenced by:  intrnfi  9454  ssfii  9457  elfiun  9468  ptbasfi  23605  fbssint  23862  filintn0  23885  alexsublem  24068  ispisys2  34134
  Copyright terms: Public domain W3C validator