Theorem inelfi 9302

Description: The intersection of two sets is a finite intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
inelfi	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Proof of Theorem inelfi

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prelpwi 5388	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
3		prfi 9208	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
5	2, 4	elind 4150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
6		intprg 4931	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
7	6	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
8	7	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵})
9		inteq 4900	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑝 = ∩ {𝐴, 𝐵})
10	9	rspceeqv 3600	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
11	5, 8, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
12		inex1g 5257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
13	12	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
14		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		elfi 9297	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
17	11, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∩ cin 3901  𝒫 cpw 4550  {cpr 4578  ∩ cint 4897  ‘cfv 6481  Fincfn 8869  ficfi 9294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295

This theorem is referenced by:  neiptoptop  23047  sigapildsyslem  34172