Theorem inelfi 9321

Description: The intersection of two sets is a finite intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
inelfi	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Proof of Theorem inelfi

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prelpwi 5386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
2	1	3adant1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
3		prfi 9224	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
5	2, 4	elind 4129	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
6		intprg 4911	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
7	6	3adant1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
8	7	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵})
9		inteq 4880	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑝 = ∩ {𝐴, 𝐵})
10	9	rspceeqv 3583	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
11	5, 8, 10	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
12		inex1g 5247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
13	12	3ad2ant2 1140	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
14		simp1 1142	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		elfi 9316	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
16	13, 14, 15	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
17	11, 16	mpbird 258	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ∩ cin 3882  𝒫 cpw 4529  {cpr 4557  ∩ cint 4877  ‘cfv 6485  Fincfn 8883  ficfi 9313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9314

This theorem is referenced by:  neiptoptop  23114  sigapildsyslem  34345