Theorem inelfi 9403

Description: The intersection of two sets is a finite intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
inelfi	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Proof of Theorem inelfi

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prelpwi 5415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
2	1	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
3		prfi 9308	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
5	2, 4	elind 4146	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
6		intprg 4941	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
7	6	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
8	7	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵})
9		inteq 4910	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑝 = ∩ {𝐴, 𝐵})
10	9	rspceeqv 3599	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
11	5, 8, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
12		inex1g 5279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
13	12	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
14		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		elfi 9398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
16	13, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
17	11, 16	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4557  {cpr 4586  ∩ cint 4907  ‘cfv 6537  Fincfn 8966  ficfi 9395

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7876  df-1o 8469  df-2o 8470  df-en 8967  df-fin 8970  df-fi 9396

This theorem is used by:  neiptoptop  23442  sigapildsyslem  34787