Theorem inelfi 9376

Description: The intersection of two sets is a finite intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
inelfi	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Proof of Theorem inelfi

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prelpwi 5410	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
2	1	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
3		prfi 9281	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
5	2, 4	elind 4166	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
6		intprg 4948	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
7	6	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∩ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∩ 𝐵))
8	7	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵})
9		inteq 4916	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝐴, 𝐵} → ∩ 𝑝 = ∩ {𝐴, 𝐵})
10	9	rspceeqv 3614	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
11	5, 8, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝)
12		inex1g 5277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
13	12	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)
14		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		elfi 9371	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴 ∩ 𝐵) = ∩ 𝑝))
17	11, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∩ cin 3916  𝒫 cpw 4566  {cpr 4594  ∩ cint 4913  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  ficfi 9368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-2o 8438  df-en 8922  df-fin 8925  df-fi 9369

This theorem is referenced by:  neiptoptop  23025  sigapildsyslem  34158