MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inelfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inelfi 9442
Description: The intersection of two sets is a finite intersection. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
inelfi ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑋))

Proof of Theorem inelfi
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prelpwi 5449 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
213adant1 1128 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 𝑋)
3 prfi 9347 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
43a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
52, 4elind 4194 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
6 intprg 4984 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
763adant1 1128 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
87eqcomd 2734 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵})
9 inteq 4952 . . . 4 (𝑝 = {𝐴, 𝐵} → 𝑝 = {𝐴, 𝐵})
109rspceeqv 3631 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵}) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴𝐵) = 𝑝)
115, 8, 10syl2anc 583 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴𝐵) = 𝑝)
12 inex1g 5319 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐴𝐵) ∈ V)
13123ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐵) ∈ V)
14 simp1 1134 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑋𝑉)
15 elfi 9437 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ V ∧ 𝑋𝑉) → ((𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴𝐵) = 𝑝))
1613, 14, 15syl2anc 583 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑋) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)(𝐴𝐵) = 𝑝))
1711, 16mpbird 257 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐵) ∈ (fi‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3067  Vcvv 3471  cin 3946  𝒫 cpw 4603  {cpr 4631   cint 4949  cfv 6548  Fincfn 8964  ficfi 9434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1o 8487  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9435
This theorem is referenced by:  neiptoptop  23048  sigapildsyslem  33780
  Copyright terms: Public domain W3C validator