Theorem elrfi 42689

Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elrfi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝑉

Proof of Theorem elrfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V))
3		inex1g 5277	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V)
4		eleq1 2817	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V))
5	3, 4	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
6	5	rexlimdvw 3140	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
8		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
9		snex 5394	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ∈ V
10		pwexg 5336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
11	10	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
12		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	ssexd 5282	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
14		unexg 7722	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
15	9, 13, 14	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
16		elfi 9371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
17	8, 15, 16	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
18		inss1 4203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶)
19		uncom 4124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝐶) = (𝐶 ∪ {𝐵})
20	19	pweqi 4582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) = 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
21	18, 20	sseqtri 3998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
22	21	sseli 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}))
23	9	elpwun 7748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
24	22, 23	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
25	24	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
26		inss2 4204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	26	sseli 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ Fin)
28		diffi 9145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Fin → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
30	29	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
31	25, 30	elind 4166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
32		incom 4175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
33		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ 𝑤)
34		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ∈ V)
35	33, 34	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ∈ V)
36		intex 5302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑤 ∈ V)
37	35, 36	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
38		intssuni 4937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
40	18	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
41	40	elpwid 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
42	41	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
43		pwidg 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
44	43	snssd 4776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
47	45, 46	unssd 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
49	42, 48	sstrd 3960	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵)
50		sspwuni 5067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
52	39, 51	sstrd 3960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ 𝐵)
53	33, 52	eqsstrd 3984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
54		dfss2 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
55	53, 54	sylib 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
56	32, 55	eqtr2id 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝐴))
57		ineq2 4180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑤 → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
58	57	ad2antll 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
59	56, 58	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
60		intun 4947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤)
61		intsng 4950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ {𝐵} = 𝐵)
62	61	ineq1d 4185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
63	60, 62	eqtr2id 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
64	63	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
65	59, 64	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
66		undif2 4443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ({𝐵} ∪ 𝑤)
67	66	inteqi 4917	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤)
68	65, 67	eqtr4di 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})))
69		intun 4947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
70	61	ineq1d 4185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
71	69, 70	eqtrid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
72	71	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
73	68, 72	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
74		inteq 4916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → ∩ 𝑣 = ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
75	74	ineq2d 4186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
76	75	rspceeqv 3614	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
77	31, 73, 76	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
78	77	rexlimdvaa 3136	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
79		ssun1 4144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
81		inss1 4203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐶
82	81	sseli 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐶)
83		elpwi 4573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑣 ⊆ 𝐶)
84		ssun4 4147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝐶 → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
85	82, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
87	80, 86	unssd 4158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
88		vex 3454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑣 ∈ V
89	9, 88	unex 7723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ V
90	89	elpw 4570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ↔ ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
91	87, 90	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
92		snfi 9017	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
93		inss2 4204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ Fin
94	93	sseli 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ Fin)
96		unfi 9141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
97	92, 95, 96	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
98	91, 97	elind 4166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin))
99	61	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = ∩ {𝐵})
100	99	ineq1d 4185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣))
101		intun 4947	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣)
102	100, 101	eqtr4di 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
103	102	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
104		inteq 4916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ({𝐵} ∪ 𝑣) → ∩ 𝑤 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
105	104	rspceeqv 3614	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
106	98, 103, 105	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
107		eqeq1 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
108	107	rexbidv 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
109	106, 108	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
110	109	rexlimdva 3135	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
111	78, 110	impbid 212	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
112	17, 111	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
113	112	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))))
114	2, 7, 113	pm5.21ndd 379	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  𝒫 cpw 4566  {csn 4592  ∪ cuni 4874  ∩ cint 4913  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  ficfi 9368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-om 7846  df-1o 8437  df-en 8922  df-fin 8925  df-fi 9369

This theorem is referenced by:  elrfirn  42690