Theorem elrfi 39298

Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elrfi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝑉

Proof of Theorem elrfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3514	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V))
3		inex1g 5225	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V)
4		eleq1 2902	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V))
5	3, 4	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
6	5	rexlimdvw 3292	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
7	6	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
8		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
9		snex 5334	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ∈ V
10		pwexg 5281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
11	10	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
12		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	ssexd 5230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
14		unexg 7474	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
15	9, 13, 14	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
16		elfi 8879	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
17	8, 15, 16	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
18		inss1 4207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶)
19		uncom 4131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝐶) = (𝐶 ∪ {𝐵})
20	19	pweqi 4559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) = 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
21	18, 20	sseqtri 4005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
22	21	sseli 3965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}))
23	9	elpwun 7493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
24	22, 23	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
25	24	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
26		inss2 4208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	26	sseli 3965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ Fin)
28		diffi 8752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Fin → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
30	29	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
31	25, 30	elind 4173	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
32		incom 4180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
33		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ 𝑤)
34		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ∈ V)
35	33, 34	eqeltrrd 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ∈ V)
36		intex 5242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑤 ∈ V)
37	35, 36	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
38		intssuni 4900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
40	18	sseli 3965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
41	40	elpwid 4552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
42	41	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
43		pwidg 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
44	43	snssd 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
45	44	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
46		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
47	45, 46	unssd 4164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
48	47	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
49	42, 48	sstrd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵)
50		sspwuni 5024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
51	49, 50	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
52	39, 51	sstrd 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ 𝐵)
53	33, 52	eqsstrd 4007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
54		df-ss 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
55	53, 54	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
56	32, 55	syl5req 2871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝐴))
57		ineq2 4185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑤 → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
58	57	ad2antll 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
59	56, 58	eqtrd 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
60		intun 4910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤)
61		intsng 4913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ {𝐵} = 𝐵)
62	61	ineq1d 4190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
63	60, 62	syl5req 2871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
64	63	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
65	59, 64	eqtrd 2858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
66		undif2 4427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ({𝐵} ∪ 𝑤)
67	66	inteqi 4882	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤)
68	65, 67	syl6eqr 2876	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})))
69		intun 4910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
70	61	ineq1d 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
71	69, 70	syl5eq 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
72	71	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
73	68, 72	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
74		inteq 4881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → ∩ 𝑣 = ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
75	74	ineq2d 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
76	75	rspceeqv 3640	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
77	31, 73, 76	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
78	77	rexlimdvaa 3287	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
79		ssun1 4150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
81		inss1 4207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐶
82	81	sseli 3965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐶)
83		elpwi 4550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑣 ⊆ 𝐶)
84		ssun4 4153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝐶 → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
85	82, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
86	85	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
87	80, 86	unssd 4164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
88		vex 3499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑣 ∈ V
89	9, 88	unex 7471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ V
90	89	elpw 4545	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ↔ ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
91	87, 90	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
92		snfi 8596	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
93		inss2 4208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ Fin
94	93	sseli 3965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
95	94	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ Fin)
96		unfi 8787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
97	92, 95, 96	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
98	91, 97	elind 4173	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin))
99	61	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = ∩ {𝐵})
100	99	ineq1d 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣))
101		intun 4910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣)
102	100, 101	syl6eqr 2876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
103	102	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
104		inteq 4881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ({𝐵} ∪ 𝑣) → ∩ 𝑤 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
105	104	rspceeqv 3640	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
106	98, 103, 105	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
107		eqeq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
108	107	rexbidv 3299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
109	106, 108	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
110	109	rexlimdva 3286	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
111	78, 110	impbid 214	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
112	17, 111	bitrd 281	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
113	112	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))))
114	2, 7, 113	pm5.21ndd 383	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  𝒫 cpw 4541  {csn 4569  ∪ cuni 4840  ∩ cint 4878  ‘cfv 6357  Fincfn 8511  ficfi 8876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-fin 8515  df-fi 8877

This theorem is referenced by:  elrfirn  39299