Theorem elrfi 43158

Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elrfi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝑉

Proof of Theorem elrfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3454	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V))
3		inex1g 5250	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V)
4		eleq1 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V))
5	3, 4	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
6	5	rexlimdvw 3147	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
7	6	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
8		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
9		snex 5371	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ∈ V
10		pwexg 5310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
11	10	ad2antrr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
12		simplr 775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	ssexd 5255	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
14		unexg 7690	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
15	9, 13, 14	sylancr 594	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
16		elfi 9320	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
17	8, 15, 16	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
18		inss1 4168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶)
19		uncom 4091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝐶) = (𝐶 ∪ {𝐵})
20	19	pweqi 4548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) = 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
21	18, 20	sseqtri 3965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
22	21	sseli 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}))
23	9	elpwun 7716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
24	22, 23	sylib 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
25	24	ad2antrl 735	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
26		inss2 4169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	26	sseli 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ Fin)
28		diffi 9103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Fin → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
30	29	ad2antrl 735	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
31	25, 30	elind 4132	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
32		incom 4141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
33		simprr 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ 𝑤)
34		simplr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ∈ V)
35	33, 34	eqeltrrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ∈ V)
36		intex 5275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑤 ∈ V)
37	35, 36	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
38		intssuni 4903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
40	18	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
41	40	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
42	41	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
43		pwidg 4552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
44	43	snssd 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
45	44	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
46		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
47	45, 46	unssd 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
48	47	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
49	42, 48	sstrd 3927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵)
50		sspwuni 5032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
51	49, 50	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
52	39, 51	sstrd 3927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ 𝐵)
53	33, 52	eqsstrd 3951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
54		dfss2 3903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
55	53, 54	sylib 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
56	32, 55	eqtr2id 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝐴))
57		ineq2 4146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑤 → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
58	57	ad2antll 736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
59	56, 58	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
60		intun 4913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤)
61		intsng 4916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ {𝐵} = 𝐵)
62	61	ineq1d 4151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
63	60, 62	eqtr2id 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
64	63	ad3antrrr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
65	59, 64	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
66		undif2 4408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ({𝐵} ∪ 𝑤)
67	66	inteqi 4884	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤)
68	65, 67	eqtr4di 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})))
69		intun 4913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
70	61	ineq1d 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
71	69, 70	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
72	71	ad3antrrr 737	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
73	68, 72	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
74		inteq 4883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → ∩ 𝑣 = ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
75	74	ineq2d 4152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
76	75	rspceeqv 3585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
77	31, 73, 76	syl2anc 591	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
78	77	rexlimdvaa 3143	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
79		ssun1 4110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
81		inss1 4168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐶
82	81	sseli 3913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐶)
83		elpwi 4539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑣 ⊆ 𝐶)
84		ssun4 4113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝐶 → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
85	82, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
86	85	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
87	80, 86	unssd 4124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
88		vex 3437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑣 ∈ V
89	9, 88	unex 7691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ V
90	89	elpw 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ↔ ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
91	87, 90	sylibr 236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
92		snfi 8984	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
93		inss2 4169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ Fin
94	93	sseli 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
95	94	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ Fin)
96		unfi 9099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
97	92, 95, 96	sylancr 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
98	91, 97	elind 4132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin))
99	61	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = ∩ {𝐵})
100	99	ineq1d 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣))
101		intun 4913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣)
102	100, 101	eqtr4di 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
103	102	ad3antrrr 737	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
104		inteq 4883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ({𝐵} ∪ 𝑣) → ∩ 𝑤 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
105	104	rspceeqv 3585	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
106	98, 103, 105	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
107		eqeq1 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
108	107	rexbidv 3165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
109	106, 108	syl5ibrcom 249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
110	109	rexlimdva 3142	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
111	78, 110	impbid 214	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
112	17, 111	bitrd 281	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
113	112	ex 414	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))))
114	2, 7, 113	pm5.21ndd 381	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882   ∪ cun 3883   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  𝒫 cpw 4532  {csn 4558  ∪ cuni 4841  ∩ cint 4880  ‘cfv 6489  Fincfn 8887  ficfi 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-om 7811  df-1o 8399  df-en 8888  df-fin 8891  df-fi 9318

This theorem is referenced by:  elrfirn  43159