Theorem elrfi 38720

Description: Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elrfi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵   𝑣,𝐶   𝑣,𝑉

Proof of Theorem elrfi

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) → 𝐴 ∈ V))
3		inex1g 5077	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V)
4		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) ∈ V))
5	3, 4	syl5ibrcom 239	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
6	5	rexlimdvw 3230	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
7	6	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → 𝐴 ∈ V))
8		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
9		snex 5185	. . . . . 6 ⊢ {𝐵} ∈ V
10		pwexg 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐵 ∈ V)
11	10	ad2antrr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 𝐵 ∈ V)
12		simplr 757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
13	11, 12	ssexd 5081	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
14		unexg 7288	. . . . . 6 ⊢ (({𝐵} ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
15	9, 13, 14	sylancr 579	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V)
16		elfi 8671	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ({𝐵} ∪ 𝐶) ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
17	8, 15, 16	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
18		inss1 4087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶)
19		uncom 4013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝐶) = (𝐶 ∪ {𝐵})
20	19	pweqi 4421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) = 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
21	18, 20	sseqtri 3888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵})
22	21	sseli 3849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}))
23	9	elpwun 7307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝒫 (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
24	22, 23	sylib 210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
25	24	ad2antrl 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ 𝒫 𝐶)
26		inss2 4088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ⊆ Fin
27	26	sseli 3849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ Fin)
28		diffi 8544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ Fin → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
30	29	ad2antrl 716	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
31	25, 30	elind 4054	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
32		incom 4061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐵)
33		simprr 761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ 𝑤)
34		simplr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ∈ V)
35	33, 34	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ∈ V)
36		intex 5093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑤 ∈ V)
37	35, 36	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ≠ ∅)
38		intssuni 4768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ≠ ∅ → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ ∪ 𝑤)
40	18	sseli 3849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
41	40	elpwid 4429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
42	41	ad2antrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
43		pwidg 4432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐵)
44	43	snssd 4613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
45	44	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → {𝐵} ⊆ 𝒫 𝐵)
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵)
47	45, 46	unssd 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
48	47	ad2antrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ({𝐵} ∪ 𝐶) ⊆ 𝒫 𝐵)
49	42, 48	sstrd 3863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵)
50		sspwuni 4885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ⊆ 𝒫 𝐵 ↔ ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
51	49, 50	sylib 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∪ 𝑤 ⊆ 𝐵)
52	39, 51	sstrd 3863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ 𝑤 ⊆ 𝐵)
53	33, 52	eqsstrd 3890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
54		df-ss 3838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
55	53, 54	sylib 210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴)
56	32, 55	syl5req 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝐴))
57		ineq2 4065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ∩ 𝑤 → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
58	57	ad2antll 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ 𝐴) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
59	56, 58	eqtrd 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
60		intun 4778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤)
61		intsng 4781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ {𝐵} = 𝐵)
62	61	ineq1d 4070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑤) = (𝐵 ∩ ∩ 𝑤))
63	60, 62	syl5req 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
64	63	ad3antrrr 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑤) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
65	59, 64	eqtrd 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤))
66		undif2 4303	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ({𝐵} ∪ 𝑤)
67	66	inteqi 4750	. . . . . . . . 9 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑤)
68	65, 67	syl6eqr 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})))
69		intun 4778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
70	61	ineq1d 4070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∩ {𝐵} ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
71	69, 70	syl5eq 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
72	71	ad3antrrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∩ ({𝐵} ∪ (𝑤 ∖ {𝐵})) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
73	68, 72	eqtrd 2809	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
74		inteq 4749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → ∩ 𝑣 = ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))
75	74	ineq2d 4071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑤 ∖ {𝐵}) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵})))
76	75	rspceeqv 3548	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∖ {𝐵}) ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ (𝑤 ∖ {𝐵}))) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
77	31, 73, 76	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑤)) → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))
78	77	rexlimdvaa 3225	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 → ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
79		ssun1 4032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶)
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → {𝐵} ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
81		inss1 4087	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐶
82	81	sseli 3849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝐶)
83		elpwi 4427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ∈ 𝒫 𝐶 → 𝑣 ⊆ 𝐶)
84		ssun4 4035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝐶 → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
85	82, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
86	85	adantl 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
87	80, 86	unssd 4045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
88		vex 3413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑣 ∈ V
89	9, 88	unex 7285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ V
90	89	elpw 4423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ↔ ({𝐵} ∪ 𝑣) ⊆ ({𝐵} ∪ 𝐶))
91	87, 90	sylibr 226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ 𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶))
92		snfi 8390	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
93		inss2 4088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ⊆ Fin
94	93	sseli 3849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑣 ∈ Fin)
95	94	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑣 ∈ Fin)
96		unfi 8579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ Fin) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
97	92, 95, 96	sylancr 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ Fin)
98	91, 97	elind 4054	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin))
99	61	eqcomd 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 = ∩ {𝐵})
100	99	ineq1d 4070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣))
101		intun 4778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣) = (∩ {𝐵} ∩ ∩ 𝑣)
102	100, 101	syl6eqr 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
103	102	ad3antrrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
104		inteq 4749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = ({𝐵} ∪ 𝑣) → ∩ 𝑤 = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣))
105	104	rspceeqv 3548	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝐵} ∪ 𝑣) ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin) ∧ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ ({𝐵} ∪ 𝑣)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
106	98, 103, 105	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤)
107		eqeq1 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
108	107	rexbidv 3237	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)(𝐵 ∩ ∩ 𝑣) = ∩ 𝑤))
109	106, 108	syl5ibrcom 239	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
110	109	rexlimdva 3224	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤))
111	78, 110	impbid 204	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 ({𝐵} ∪ 𝐶) ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑤 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
112	17, 111	bitrd 271	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))
113	112	ex 405	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣))))
114	2, 7, 113	pm5.21ndd 372	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ⊆ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ∈ (fi‘({𝐵} ∪ 𝐶)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)𝐴 = (𝐵 ∩ ∩ 𝑣)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2962  ∃wrex 3084  Vcvv 3410   ∖ cdif 3821   ∪ cun 3822   ∩ cin 3823   ⊆ wss 3824  ∅c0 4173  𝒫 cpw 4417  {csn 4436  ∪ cuni 4709  ∩ cint 4746  ‘cfv 6186  Fincfn 8305  ficfi 8668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-fin 8309  df-fi 8669

This theorem is referenced by:  elrfirn  38721