MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffi2 8485
Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains 𝐴 and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dffi2 (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑉,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dffi2
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3363 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 vex 3354 . . . . . . . . . 10 𝑡 ∈ V
3 elfi 8475 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥))
42, 3mpan 662 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥))
54biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥))
6 df-rex 3067 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥))
7 fiint 8393 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧))
8 inss1 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
98sseli 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
109elpwid 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
11103ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥𝐴)
12 simp1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝐴𝑧)
1311, 12sstrd 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥𝑧)
14 eqvisset 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = 𝑥 𝑥 ∈ V)
15 intex 4951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑥 ∈ V)
1614, 15sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑥𝑥 ≠ ∅)
17163ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
18 inss2 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
1918sseli 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
20193ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
2113, 17, 203jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin))
22213expib 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin)))
23 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → 𝑥𝑧))
2422, 23syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → 𝑥𝑧)))
25 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡𝑧 𝑥𝑧))
2625biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑥 → ( 𝑥𝑧𝑡𝑧))
2726adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ( 𝑥𝑧𝑡𝑧))
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ( 𝑥𝑧𝑡𝑧)))
2924, 28syldd 72 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → 𝑡𝑧)))
3029com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑧 → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧)))
3130alimdv 1997 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑧 → (∀𝑥((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧)))
327, 31syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑧 → (∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧)))
3332imp 393 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧))
34 19.23v 2023 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧))
3533, 34sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧))
366, 35syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥𝑡𝑧))
375, 36sylan9 491 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → 𝑡𝑧))
3837ssrdv 3758 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧)
3938ex 397 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
4039alrimiv 2007 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ∀𝑧((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
41 ssintab 4628 . . . 4 ((fi‘𝐴) ⊆ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
4240, 41sylibr 224 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
43 ssfii 8481 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
44 fiin 8484 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
4544rgen2a 3126 . . . . . 6 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
4645a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
47 fvex 6342 . . . . . 6 (fi‘𝐴) ∈ V
48 sseq2 3776 . . . . . . 7 (𝑧 = (fi‘𝐴) → (𝐴𝑧𝐴 ⊆ (fi‘𝐴)))
49 eleq2 2839 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ (𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5049raleqbi1dv 3295 . . . . . . . 8 (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5150raleqbi1dv 3295 . . . . . . 7 (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5248, 51anbi12d 608 . . . . . 6 (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))))
5347, 52elab 3501 . . . . 5 ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5443, 46, 53sylanbrc 564 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
55 intss1 4626 . . . 4 ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} → {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
5654, 55syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
5742, 56eqssd 3769 . 2 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
581, 57syl 17 1 (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071  wal 1629   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  {cab 2757  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297   cint 4611  cfv 6031  Fincfn 8109  ficfi 8472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113  df-fi 8473
This theorem is referenced by:  fiss  8486  inficl  8487  dffi3  8493  fbssfi  21861
  Copyright terms: Public domain W3C validator