Theorem dffi2 9317

Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains 𝐴 and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
dffi2	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (fi‘𝐴) = ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑉,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dffi2

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3459	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		vex 3442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑡 ∈ V
3		elfi 9307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥))
4	2, 3	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥))
5	4	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥))
6		df-rex 3059	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥))
7		fiint 9221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧))
8		elinel1 4152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
9	8	elpwid 4560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10	9	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
11		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝐴 ⊆ 𝑧)
12	10, 11	sstrd 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑧)
13		eqvisset 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 = ∩ 𝑥 → ∩ 𝑥 ∈ V)
14		intex 5286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∩ 𝑥 ∈ V)
15	13, 14	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 = ∩ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
17		elinel2 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
18	17	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
19	12, 16, 18	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin))
20	19	3expib 1122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin)))
21		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧))
22	20, 21	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧)))
23		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 = ∩ 𝑥 → (𝑡 ∈ 𝑧 ↔ ∩ 𝑥 ∈ 𝑧))
24	23	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = ∩ 𝑥 → (∩ 𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑡 ∈ 𝑧))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (∩ 𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑡 ∈ 𝑧))
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (∩ 𝑥 ∈ 𝑧 → 𝑡 ∈ 𝑧)))
27	22, 26	syldd 72	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → (((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → 𝑡 ∈ 𝑧)))
28	27	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → (((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧)))
29	28	alimdv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝑧 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧)))
30	7, 29	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑧 → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧)))
31	30	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧))
32		19.23v 1943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧))
33	31, 32	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = ∩ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝑧))
34	6, 33	biimtrid 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = ∩ 𝑥 → 𝑡 ∈ 𝑧))
35	5, 34	sylan9 507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → 𝑡 ∈ 𝑧))
36	35	ssrdv 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧)
37	36	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
38	37	alrimiv 1928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∀𝑧((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
39		ssintab 4917	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐴) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
40	38, 39	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})
41		ssfii 9313	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
42		fiin 9316	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
43	42	rgen2 3174	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
44		fvex 6844	. . . . . 6 ⊢ (fi‘𝐴) ∈ V
45		sseq2 3958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝑧 ↔ 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴)))
46		eleq2 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 ↔ (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
47	46	raleqbi1dv 3306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
48	47	raleqbi1dv 3306	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
49	45, 48	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴))))
50	44, 49	elab 3632	. . . . 5 ⊢ ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
51	41, 43, 50	sylanblrc 590	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})
52		intss1 4915	. . . 4 ⊢ ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} → ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
54	40, 53	eqssd 3949	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})
55	1, 54	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (fi‘𝐴) = ∩ {𝑧 ∣ (𝐴 ⊆ 𝑧 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑧 ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝑧)})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {cab 2711   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  ∩ cint 4899  ‘cfv 6489  Fincfn 8878  ficfi 9304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-om 7806  df-1o 8394  df-2o 8395  df-en 8879  df-fin 8882  df-fi 9305

This theorem is referenced by:  fiss  9318  inficl  9319  dffi3  9325  fbssfi  23762