MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffi2 8562
Description: The set of finite intersections is the smallest set that contains 𝐴 and is closed under pairwise intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
dffi2 (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝑉,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dffi2
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3402 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 vex 3390 . . . . . . . . . 10 𝑡 ∈ V
3 elfi 8552 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥))
42, 3mpan 673 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥))
54biimpd 220 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥))
6 df-rex 3098 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥))
7 fiint 8470 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧))
8 inss1 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
98sseli 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
109elpwid 4357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
11103ad2ant2 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥𝐴)
12 simp1 1159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝐴𝑧)
1311, 12sstrd 3802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥𝑧)
14 eqvisset 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 = 𝑥 𝑥 ∈ V)
15 intex 5006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝑥 ∈ V)
1614, 15sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝑥𝑥 ≠ ∅)
17163ad2ant3 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
18 inss2 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
1918sseli 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
20193ad2ant2 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
2113, 17, 203jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑧𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin))
22213expib 1145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin)))
23 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → 𝑥𝑧))
2422, 23syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → 𝑥𝑧)))
25 eleq1 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡𝑧 𝑥𝑧))
2625biimprd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 = 𝑥 → ( 𝑥𝑧𝑡𝑧))
2726adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ( 𝑥𝑧𝑡𝑧))
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ( 𝑥𝑧𝑡𝑧)))
2924, 28syldd 72 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑧 → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → 𝑡𝑧)))
3029com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑧 → (((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧)))
3130alimdv 2007 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑧 → (∀𝑥((𝑥𝑧𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧)))
327, 31syl5bi 233 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑧 → (∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧)))
3332imp 395 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧))
34 19.23v 2033 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧))
3533, 34sylib 209 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑡 = 𝑥) → 𝑡𝑧))
366, 35syl5bi 233 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑡 = 𝑥𝑡𝑧))
375, 36sylan9 499 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)) → (𝑡 ∈ (fi‘𝐴) → 𝑡𝑧))
3837ssrdv 3798 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧)
3938ex 399 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
4039alrimiv 2017 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ∀𝑧((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
41 ssintab 4679 . . . 4 ((fi‘𝐴) ⊆ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ ∀𝑧((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) → (fi‘𝐴) ⊆ 𝑧))
4240, 41sylibr 225 . . 3 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ⊆ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
43 ssfii 8558 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ⊆ (fi‘𝐴))
44 fiin 8561 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (fi‘𝐴)) → (𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
4544rgen2a 3161 . . . . . 6 𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)
4645a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))
47 fvex 6415 . . . . . 6 (fi‘𝐴) ∈ V
48 sseq2 3818 . . . . . . 7 (𝑧 = (fi‘𝐴) → (𝐴𝑧𝐴 ⊆ (fi‘𝐴)))
49 eleq2 2870 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ (𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5049raleqbi1dv 3331 . . . . . . . 8 (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5150raleqbi1dv 3331 . . . . . . 7 (𝑧 = (fi‘𝐴) → (∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5248, 51anbi12d 618 . . . . . 6 (𝑧 = (fi‘𝐴) → ((𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧) ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴))))
5347, 52elab 3541 . . . . 5 ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ↔ (𝐴 ⊆ (fi‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ (fi‘𝐴)∀𝑦 ∈ (fi‘𝐴)(𝑥𝑦) ∈ (fi‘𝐴)))
5443, 46, 53sylanbrc 574 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
55 intss1 4677 . . . 4 ((fi‘𝐴) ∈ {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} → {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
5654, 55syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)} ⊆ (fi‘𝐴))
5742, 56eqssd 3809 . 2 (𝐴 ∈ V → (fi‘𝐴) = {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
581, 57syl 17 1 (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑧 ∣ (𝐴𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧𝑦𝑧 (𝑥𝑦) ∈ 𝑧)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100  wal 1635   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2155  {cab 2788  wne 2974  wral 3092  wrex 3093  Vcvv 3387  cin 3762  wss 3763  c0 4110  𝒫 cpw 4345   cint 4662  cfv 6095  Fincfn 8186  ficfi 8549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-en 8187  df-fin 8190  df-fi 8550
This theorem is referenced by:  fiss  8563  inficl  8564  dffi3  8570  fbssfi  21848
  Copyright terms: Public domain W3C validator