Theorem elcnfn 31911

Description: Property defining a continuous functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elcnfn	⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑇

Proof of Theorem elcnfn

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑤) = (𝑇‘𝑤))
2		fveq1 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥)))
4	3	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) = (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))))
5	4	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦))
6	5	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
7	6	rexralbidv 3221	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
8	7	2ralbidv 3219	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
9		df-cnfn 31876	. . 3 ⊢ ContFn = {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)}
10	8, 9	elrab2 3698	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
11		cnex 11234	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
12		ax-hilex 31028	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
13	11, 12	elmap 8910	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ↔ 𝑇: ℋ⟶ℂ)
14	13	anbi1i 624	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
15	10, 14	bitri 275	1 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℂcc 11151   < clt 11293   − cmin 11490  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270   ℋchba 30948  norm_ℎcno 30952   −_ℎ cmv 30954  ContFnccnfn 30982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-hilex 31028

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-cnfn 31876

This theorem is referenced by:  cnfnc  31959  0cnfn  32009  lnfnconi  32084