Theorem elcnfn 31971

Description: Property defining a continuous functional. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elcnfn	⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑇

Proof of Theorem elcnfn

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑤) = (𝑇‘𝑤))
2		fveq1 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	oveq12d 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥)) = ((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥)))
4	3	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) = (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))))
5	4	breq1d 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦))
6	5	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
7	6	rexralbidv 3204	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
8	7	2ralbidv 3202	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
9		df-cnfn 31936	. . 3 ⊢ ContFn = {𝑡 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∣ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑡‘𝑤) − (𝑡‘𝑥))) < 𝑦)}
10	8, 9	elrab2 3638	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
11		cnex 11113	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
12		ax-hilex 31088	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ V
13	11, 12	elmap 8813	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ↔ 𝑇: ℋ⟶ℂ)
14	13	anbi1i 625	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ (ℂ ↑m ℋ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)) ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))
15	10, 14	bitri 275	1 ⊢ (𝑇 ∈ ContFn ↔ (𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑤 −ℎ 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝑇‘𝑤) − (𝑇‘𝑥))) < 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ↑_m cmap 8767  ℂcc 11030   < clt 11173   − cmin 11371  ℝ⁺crp 12936  abscabs 15190   ℋchba 31008  norm_ℎcno 31012   −_ℎ cmv 31014  ContFnccnfn 31042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-hilex 31088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8769  df-cnfn 31936

This theorem is referenced by:  cnfnc  32019  0cnfn  32069  lnfnconi  32144