HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0lnfn 30976
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn

Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11155 . . 3 0 ∈ β„‚
21fconst6 6736 . 2 ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚
3 hvmulcl 30004 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
4 hvaddcl 30003 . . . . . . 7 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
53, 4sylan 581 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
6 c0ex 11157 . . . . . . 7 0 ∈ V
76fvconst2 7157 . . . . . 6 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = 0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = 0)
96fvconst2 7157 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
109oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = (π‘₯ Β· 0))
11 mul01 11342 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
1210, 11sylan9eqr 2795 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = 0)
136fvconst2 7157 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§) = 0)
1412, 13oveqan12d 7380 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)) = (0 + 0))
15 00id 11338 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1614, 15eqtrdi 2789 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)) = 0)
178, 16eqtr4d 2776 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)))
18173impa 1111 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)))
1918rgen3 3196 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§))
20 ellnfn 30874 . 2 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn ↔ (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§))))
212, 19, 20mpbir2an 710 1 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {csn 4590   Γ— cxp 5635  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062   Β· cmul 11064   β„‹chba 29910   +β„Ž cva 29911   Β·β„Ž csm 29912  LinFnclf 29945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-hilex 29990  ax-hfvadd 29991  ax-hfvmul 29996
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-lnfn 30839
This theorem is referenced by:  nmfn0  30978  lnfn0  31038  lnfnmul  31039  nmbdfnlb  31041  nmcfnex  31044  nmcfnlb  31045  lnfncon  31047  riesz4  31055  riesz1  31056
  Copyright terms: Public domain W3C validator