Theorem 0lnfn 32017

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11282	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	fconst6 6811	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3		hvmulcl 31045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4		hvaddcl 31044	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
5	3, 4	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
6		c0ex 11284	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fvconst2 7241	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = 0)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = 0)
9	6	fvconst2 7241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
10	9	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = (𝑥 · 0))
11		mul01 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
12	10, 11	sylan9eqr 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
13	6	fvconst2 7241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑧) = 0)
14	12, 13	oveqan12d 7467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = (0 + 0))
15		00id 11465	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = 0)
17	8, 16	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
18	17	3impa 1110	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
19	18	rgen3 3210	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))
20		ellnfn 31915	. 2 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))))
21	2, 19, 20	mpbir2an 710	1 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {csn 4648   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   + caddc 11187   · cmul 11189   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953  LinFnclf 30986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hfvmul 31037

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-lnfn 31880

This theorem is referenced by:  nmfn0  32019  lnfn0  32079  lnfnmul  32080  nmbdfnlb  32082  nmcfnex  32085  nmcfnlb  32086  lnfncon  32088  riesz4  32096  riesz1  32097