HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0lnfn 31788
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11230 . . 3 0 ∈ β„‚
21fconst6 6781 . 2 ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚
3 hvmulcl 30816 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
4 hvaddcl 30815 . . . . . . 7 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
53, 4sylan 579 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
6 c0ex 11232 . . . . . . 7 0 ∈ V
76fvconst2 7210 . . . . . 6 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = 0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = 0)
96fvconst2 7210 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
109oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = (π‘₯ Β· 0))
11 mul01 11417 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
1210, 11sylan9eqr 2790 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = 0)
136fvconst2 7210 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§) = 0)
1412, 13oveqan12d 7433 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)) = (0 + 0))
15 00id 11413 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1614, 15eqtrdi 2784 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)) = 0)
178, 16eqtr4d 2771 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)))
18173impa 1108 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)))
1918rgen3 3198 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§))
20 ellnfn 31686 . 2 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn ↔ (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§))))
212, 19, 20mpbir2an 710 1 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  {csn 4624   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130  0cc0 11132   + caddc 11135   Β· cmul 11137   β„‹chba 30722   +β„Ž cva 30723   Β·β„Ž csm 30724  LinFnclf 30757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hfvmul 30808
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-ltxr 11277  df-lnfn 31651
This theorem is referenced by:  nmfn0  31790  lnfn0  31850  lnfnmul  31851  nmbdfnlb  31853  nmcfnex  31856  nmcfnlb  31857  lnfncon  31859  riesz4  31867  riesz1  31868
  Copyright terms: Public domain W3C validator