Theorem 0lnfn 29860

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10664	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	fconst6 6555	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3		hvmulcl 28888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4		hvaddcl 28887	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
5	3, 4	sylan 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
6		c0ex 10666	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fvconst2 6958	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = 0)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = 0)
9	6	fvconst2 6958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
10	9	oveq2d 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = (𝑥 · 0))
11		mul01 10850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
12	10, 11	sylan9eqr 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
13	6	fvconst2 6958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑧) = 0)
14	12, 13	oveqan12d 7170	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = (0 + 0))
15		00id 10846	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2810	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = 0)
17	8, 16	eqtr4d 2797	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
18	17	3impa 1108	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
19	18	rgen3 3134	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))
20		ellnfn 29758	. 2 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))))
21	2, 19, 20	mpbir2an 711	1 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  {csn 4523   × cxp 5523  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  0cc0 10568   + caddc 10571   · cmul 10573   ℋchba 28794   +_ℎ cva 28795   ·_ℎ csm 28796  LinFnclf 28829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-hilex 28874  ax-hfvadd 28875  ax-hfvmul 28880

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5431  df-po 5444  df-so 5445  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-ltxr 10711  df-lnfn 29723

This theorem is referenced by:  nmfn0  29862  lnfn0  29922  lnfnmul  29923  nmbdfnlb  29925  nmcfnex  29928  nmcfnlb  29929  lnfncon  29931  riesz4  29939  riesz1  29940