HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0lnfn 31710
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11204 . . 3 0 ∈ β„‚
21fconst6 6772 . 2 ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚
3 hvmulcl 30738 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
4 hvaddcl 30737 . . . . . . 7 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
53, 4sylan 579 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
6 c0ex 11206 . . . . . . 7 0 ∈ V
76fvconst2 7198 . . . . . 6 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = 0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = 0)
96fvconst2 7198 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
109oveq2d 7418 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = (π‘₯ Β· 0))
11 mul01 11391 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
1210, 11sylan9eqr 2786 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = 0)
136fvconst2 7198 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§) = 0)
1412, 13oveqan12d 7421 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)) = (0 + 0))
15 00id 11387 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1614, 15eqtrdi 2780 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)) = 0)
178, 16eqtr4d 2767 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)))
18173impa 1107 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)))
1918rgen3 3194 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§))
20 ellnfn 31608 . 2 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn ↔ (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§))))
212, 19, 20mpbir2an 708 1 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  {csn 4621   Γ— cxp 5665  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  0cc0 11107   + caddc 11110   Β· cmul 11112   β„‹chba 30644   +β„Ž cva 30645   Β·β„Ž csm 30646  LinFnclf 30679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-hilex 30724  ax-hfvadd 30725  ax-hfvmul 30730
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-ltxr 11251  df-lnfn 31573
This theorem is referenced by:  nmfn0  31712  lnfn0  31772  lnfnmul  31773  nmbdfnlb  31775  nmcfnex  31778  nmcfnlb  31779  lnfncon  31781  riesz4  31789  riesz1  31790
  Copyright terms: Public domain W3C validator