Theorem 0lnfn 31966

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11227	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	fconst6 6768	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3		hvmulcl 30994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4		hvaddcl 30993	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
5	3, 4	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
6		c0ex 11229	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fvconst2 7196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = 0)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = 0)
9	6	fvconst2 7196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
10	9	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = (𝑥 · 0))
11		mul01 11414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
12	10, 11	sylan9eqr 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
13	6	fvconst2 7196	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑧) = 0)
14	12, 13	oveqan12d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = (0 + 0))
15		00id 11410	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2786	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = 0)
17	8, 16	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
18	17	3impa 1109	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
19	18	rgen3 3189	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))
20		ellnfn 31864	. 2 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))))
21	2, 19, 20	mpbir2an 711	1 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {csn 4601   × cxp 5652  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   + caddc 11132   · cmul 11134   ℋchba 30900   +_ℎ cva 30901   ·_ℎ csm 30902  LinFnclf 30935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hfvmul 30986

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-lnfn 31829

This theorem is referenced by:  nmfn0  31968  lnfn0  32028  lnfnmul  32029  nmbdfnlb  32031  nmcfnex  32034  nmcfnlb  32035  lnfncon  32037  riesz4  32045  riesz1  32046