Theorem 0lnfn 32009

Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
0lnfn	⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Proof of Theorem 0lnfn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11122	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	fconst6 6722	. 2 ⊢ ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3		hvmulcl 31037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ)
4		hvaddcl 31036	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
5	3, 4	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ)
6		c0ex 11124	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fvconst2 7148	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧) ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = 0)
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = 0)
9	6	fvconst2 7148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
10	9	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = (𝑥 · 0))
11		mul01 11310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
12	10, 11	sylan9eqr 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
13	6	fvconst2 7148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑧) = 0)
14	12, 13	oveqan12d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = (0 + 0))
15		00id 11306	. . . . . 6 ⊢ (0 + 0) = 0
16	14, 15	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = 0)
17	8, 16	eqtr4d 2772	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
18	17	3impa 1109	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
19	18	rgen3 3179	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))
20		ellnfn 31907	. 2 ⊢ (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 ·ℎ 𝑦) +ℎ 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))))
21	2, 19, 20	mpbir2an 711	1 ⊢ ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  {csn 4578   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024   + caddc 11027   · cmul 11029   ℋchba 30943   +_ℎ cva 30944   ·_ℎ csm 30945  LinFnclf 30978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hfvmul 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-lnfn 31872

This theorem is referenced by:  nmfn0  32011  lnfn0  32071  lnfnmul  32072  nmbdfnlb  32074  nmcfnex  32077  nmcfnlb  32078  lnfncon  32080  riesz4  32088  riesz1  32089