HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0lnfn 30772
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn ( ℋ × {0}) ∈ LinFn

Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11105 . . 3 0 ∈ ℂ
21fconst6 6729 . 2 ( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ
3 hvmulcl 29800 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ)
4 hvaddcl 29799 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
53, 4sylan 580 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ)
6 c0ex 11107 . . . . . . 7 0 ∈ V
76fvconst2 7149 . . . . . 6 (((𝑥 · 𝑦) + 𝑧) ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = 0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = 0)
96fvconst2 7149 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑦) = 0)
109oveq2d 7367 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = (𝑥 · 0))
11 mul01 11292 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
1210, 11sylan9eqr 2798 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) = 0)
136fvconst2 7149 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (( ℋ × {0})‘𝑧) = 0)
1412, 13oveqan12d 7370 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = (0 + 0))
15 00id 11288 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1614, 15eqtrdi 2792 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)) = 0)
178, 16eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
18173impa 1110 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧)))
1918rgen3 3197 . 2 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))
20 ellnfn 30670 . 2 (( ℋ × {0}) ∈ LinFn ↔ (( ℋ × {0}): ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (( ℋ × {0})‘((𝑥 · 𝑦) + 𝑧)) = ((𝑥 · (( ℋ × {0})‘𝑦)) + (( ℋ × {0})‘𝑧))))
212, 19, 20mpbir2an 709 1 ( ℋ × {0}) ∈ LinFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  {csn 4584   × cxp 5629  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  0cc0 11009   + caddc 11012   · cmul 11014  chba 29706   + cva 29707   · csm 29708  LinFnclf 29741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-hilex 29786  ax-hfvadd 29787  ax-hfvmul 29792
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-ltxr 11152  df-lnfn 30635
This theorem is referenced by:  nmfn0  30774  lnfn0  30834  lnfnmul  30835  nmbdfnlb  30837  nmcfnex  30840  nmcfnlb  30841  lnfncon  30843  riesz4  30851  riesz1  30852
  Copyright terms: Public domain W3C validator