HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  0lnfn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 0lnfn 31233
Description: The identically zero function is a linear Hilbert space functional. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
0lnfn ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
Proof of Theorem 0lnfn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11205 . . 3 0 ∈ β„‚
21fconst6 6781 . 2 ( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚
3 hvmulcl 30261 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹)
4 hvaddcl 30260 . . . . . . 7 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
53, 4sylan 580 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹)
6 c0ex 11207 . . . . . . 7 0 ∈ V
76fvconst2 7204 . . . . . 6 (((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧) ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = 0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = 0)
96fvconst2 7204 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
109oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ β„‹ β†’ (π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = (π‘₯ Β· 0))
11 mul01 11392 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
1210, 11sylan9eqr 2794 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) β†’ (π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) = 0)
136fvconst2 7204 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ β„‹ β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§) = 0)
1412, 13oveqan12d 7427 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)) = (0 + 0))
15 00id 11388 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
1614, 15eqtrdi 2788 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)) = 0)
178, 16eqtr4d 2775 . . . 4 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹) ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)))
18173impa 1110 . . 3 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‹ ∧ 𝑧 ∈ β„‹) β†’ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§)))
1918rgen3 3202 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§))
20 ellnfn 31131 . 2 (( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn ↔ (( β„‹ Γ— {0}): β„‹βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„‚ βˆ€π‘¦ ∈ β„‹ βˆ€π‘§ ∈ β„‹ (( β„‹ Γ— {0})β€˜((π‘₯ Β·β„Ž 𝑦) +β„Ž 𝑧)) = ((π‘₯ Β· (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘¦)) + (( β„‹ Γ— {0})β€˜π‘§))))
212, 19, 20mpbir2an 709 1 ( β„‹ Γ— {0}) ∈ LinFn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {csn 4628   Γ— cxp 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   Β· cmul 11114   β„‹chba 30167   +β„Ž cva 30168   Β·β„Ž csm 30169  LinFnclf 30202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hfvmul 30253
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-lnfn 31096
This theorem is referenced by:  nmfn0  31235  lnfn0  31295  lnfnmul  31296  nmbdfnlb  31298  nmcfnex  31301  nmcfnlb  31302  lnfncon  31304  riesz4  31312  riesz1  31313
  Copyright terms: Public domain W3C validator