MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpmg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpmg 8784
Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpmg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Proof of Theorem elpmg
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmvalg 8779 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴pm 𝐵) = {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔})
21eleq2d 2820 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔}))
3 funeq 6522 . . . . 5 (𝑔 = 𝐶 → (Fun 𝑔 ↔ Fun 𝐶))
43elrab 3646 . . . 4 (𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶))
52, 4bitrdi 287 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶)))
65biancomd 465 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))))
7 elex 3462 . . . . 5 (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
87a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
9 xpexg 7685 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
109ancoms 460 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
11 ssexg 5281 . . . . . 6 ((𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
1211expcom 415 . . . . 5 ((𝐵 × 𝐴) ∈ V → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
1310, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
14 elpwg 4564 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
1514a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
168, 13, 15pm5.21ndd 381 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
1716anbi2d 630 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
186, 17bitrd 279 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444  wss 3911  𝒫 cpw 4561   × cxp 5632  Fun wfun 6491  (class class class)co 7358  pm cpm 8769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm 8771
This theorem is referenced by:  elpm2g  8785  pmss12g  8810  elpm  8814  pmsspw  8818  lmfss  22663  lmmbr2  24639  iscau2  24657  caussi  24677  causs  24678
  Copyright terms: Public domain W3C validator