Theorem elpmg 8857

Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpmg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Proof of Theorem elpmg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmvalg 8851	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑pm 𝐵) = {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔})
2	1	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔}))
3		funeq 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐶 → (Fun 𝑔 ↔ Fun 𝐶))
4	3	elrab 3671	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶))
5	2, 4	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶)))
6	5	biancomd 463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))))
7		elex 3480	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
9		xpexg 7744	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
10	9	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
11		ssexg 5293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
12	11	expcom 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ∈ V → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
14		elpwg 4578	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
16	8, 13, 15	pm5.21ndd 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
17	16	anbi2d 630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
18	6, 17	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575   × cxp 5652  Fun wfun 6525  (class class class)co 7405   ↑_pm cpm 8841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-pm 8843

This theorem is referenced by:  elpm2g  8858  pmss12g  8883  elpm  8887  pmsspw  8891  lmfss  23234  lmmbr2  25211  iscau2  25229  caussi  25249  causs  25250