MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpmg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpmg 8833
Description: The predicate "is a partial function". (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpmg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))

Proof of Theorem elpmg
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmvalg 8827 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴pm 𝐵) = {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔})
21eleq2d 2819 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔}))
3 funeq 6565 . . . . 5 (𝑔 = 𝐶 → (Fun 𝑔 ↔ Fun 𝐶))
43elrab 3682 . . . 4 (𝐶 ∈ {𝑔 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∣ Fun 𝑔} ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶))
52, 4bitrdi 286 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ∧ Fun 𝐶)))
65biancomd 464 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴))))
7 elex 3492 . . . . 5 (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V)
87a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
9 xpexg 7733 . . . . . 6 ((𝐵𝑊𝐴𝑉) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
109ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 × 𝐴) ∈ V)
11 ssexg 5322 . . . . . 6 ((𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ∈ V) → 𝐶 ∈ V)
1211expcom 414 . . . . 5 ((𝐵 × 𝐴) ∈ V → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
1310, 12syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝐶 ∈ V))
14 elpwg 4604 . . . . 5 (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
1514a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
168, 13, 15pm5.21ndd 380 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴) ↔ 𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴)))
1716anbi2d 629 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((Fun 𝐶𝐶 ∈ 𝒫 (𝐵 × 𝐴)) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
186, 17bitrd 278 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐶𝐶 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  wss 3947  𝒫 cpw 4601   × cxp 5673  Fun wfun 6534  (class class class)co 7405  pm cpm 8817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-pm 8819
This theorem is referenced by:  elpm2g  8834  pmss12g  8859  elpm  8863  pmsspw  8867  lmfss  22791  lmmbr2  24767  iscau2  24785  caussi  24805  causs  24806
  Copyright terms: Public domain W3C validator