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Theorem iscau2 24664
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 24663 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
2 elfvdm 6883 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 11140 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
4 elpmg 8787 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
65simprbda 500 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ Fun 𝐹)
7 ffvresb 7076 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
98rexbidv 3172 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
109adantr 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
11 uzid 12786 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1211adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
13 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
14 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
1514eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)))
1613, 15anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
1716rspcv 3579 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
19 n0i 4297 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ…)
20 blf 23783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (ballβ€˜π·):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋)
2120fdmd 6683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ dom (ballβ€˜π·) = (𝑋 Γ— ℝ*))
22 ndmovg 7541 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (ballβ€˜π·) = (𝑋 Γ— ℝ*) ∧ Β¬ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ…)
2322ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (ballβ€˜π·) = (𝑋 Γ— ℝ*) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ…))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ…))
2524con1d 145 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*)))
26 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
2719, 25, 26syl56 36 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
2827adantld 492 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
3018, 29syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
3114eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
3214oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) = ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
3332breq1d 5119 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3413, 31, 333anbi123d 1437 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
3534rspcv 3579 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
37 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
3836, 37syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
39 rpxr 12932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
40 elbl 23764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
4139, 40syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
42 xmetsym 23723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
43423expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
44433adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
4544breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4645pm5.32da 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
4741, 46bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
48473com23 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
4948anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
50 3anass 1096 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5149, 50bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5251ralbidv 3171 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
53523expia 1122 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
5453adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
5530, 38, 54pm5.21ndd 381 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5655rexbidva 3170 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5756adantlr 714 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5810, 57bitrd 279 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5958ralbidva 3169 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
6059pm5.32da 580 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
611, 60bitrd 279 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057  β„*cxr 11196   < clt 11197  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  Cauccau 24640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-neg 11396  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-cau 24643
This theorem is referenced by:  iscau3  24665  iscau4  24666  caun0  24668  caussi  24684
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