MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscau2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscau2 25311
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 25310 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
2 elfvdm 6943 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 11236 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
4 elpmg 8883 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
65simprbda 498 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → Fun 𝐹)
7 ffvresb 7145 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
98rexbidv 3179 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
109adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
11 uzid 12893 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
13 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
14 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)))
1613, 15anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
1716rspcv 3618 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
19 n0i 4340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → ¬ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
20 blf 24417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
2120fdmd 6746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
22 ndmovg 7616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) ∧ ¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*)) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
2322ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) → (¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
2524con1d 145 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*)))
26 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
2719, 25, 26syl56 36 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
2827adantld 490 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
2928ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3018, 29syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3114eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3214oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)))
3332breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
3413, 31, 333anbi123d 1438 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
3534rspcv 3618 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
37 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
3836, 37syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
39 rpxr 13044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
40 elbl 24398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
4139, 40syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
42 xmetsym 24357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
43423expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
44433adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4544breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
4645pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
4741, 46bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
48473com23 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
4948anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
50 3anass 1095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5149, 50bitr4di 289 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5251ralbidv 3178 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
53523expia 1122 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
5453adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
5530, 38, 54pm5.21ndd 379 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5655rexbidva 3177 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5756adantlr 715 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5810, 57bitrd 279 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5958ralbidva 3176 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
6059pm5.32da 579 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
611, 60bitrd 279 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  pm cpm 8867  cc 11153  *cxr 11294   < clt 11295  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351  Cauccau 25287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-cau 25290
This theorem is referenced by:  iscau3  25312  iscau4  25313  caun0  25315  caussi  25331
  Copyright terms: Public domain W3C validator