Theorem iscau2 23445

Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscau2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥

Proof of Theorem iscau2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau 23444	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
2		elfvdm 6465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3		cnex 10333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
4		elpmg 8138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
5	2, 3, 4	sylancl 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
6	5	simprbda 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → Fun 𝐹)
7		ffvresb 6643	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
9	8	rexbidv 3262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
10	9	adantr 474	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
11		uzid 11983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12	11	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13		eleq1w 2889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
14		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
15	14	eleq1d 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)))
16	13, 15	anbi12d 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
17	16	rspcv 3522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
19		n0i 4149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → ¬ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
20		blf 22582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21	20	fdmd 6287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
22		ndmovg 7077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) ∧ ¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*)) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
23	22	ex 403	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) → (¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
25	24	con1d 142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅ → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*)))
26		simpl 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
27	19, 25, 26	syl56 36	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
28	27	adantld 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
29	28	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
30	18, 29	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
31	14	eleq1d 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
32	14	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)))
33	32	breq1d 4883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
34	13, 31, 33	3anbi123d 1564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
35	34	rspcv 3522	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
36	12, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
37		simp2 1171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
38	36, 37	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
39		rpxr 12123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
40		elbl 22563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
41	39, 40	syl3an3 1209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
42		xmetsym 22522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
43	42	3expa 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
44	43	3adantl3 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
45	44	breq1d 4883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
46	45	pm5.32da 574	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
47	41, 46	bitrd 271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
48	47	3com23 1160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
49	48	anbi2d 622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
50		3anass 1120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
51	49, 50	syl6bbr 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
52	51	ralbidv 3195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
53	52	3expia 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
54	53	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
55	30, 38, 54	pm5.21ndd 371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
56	55	rexbidva 3259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
57	56	adantlr 706	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
58	10, 57	bitrd 271	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
59	58	ralbidva 3194	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
60	59	pm5.32da 574	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
61	1, 60	bitrd 271	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  𝒫 cpw 4378   class class class wbr 4873   × cxp 5340  dom cdm 5342   ↾ cres 5344  Fun wfun 6117  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↑_pm cpm 8123  ℂcc 10250  ℝ^*cxr 10390   < clt 10391  ℤcz 11704  ℤ_≥cuz 11968  ℝ⁺crp 12112  ∞Metcxmet 20091  ballcbl 20093  Cauccau 23421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-neg 10588  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-xadd 12233  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-bl 20101  df-cau 23424

This theorem is referenced by:  iscau3  23446  iscau4  23447  caun0  23449  caussi  23465