Theorem iscau2 25607

Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscau2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥

Proof of Theorem iscau2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau 25606	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
2		elfvdm 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3		cnex 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
4		elpmg 8871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
6	5	simprbda 504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → Fun 𝐹)
7		ffvresb 7131	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
8	6, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
9	8	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
11		uzid 12987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13		eleq1w 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
14		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
15	14	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)))
16	13, 15	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
17	16	rspcv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
18	12, 17	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
19		n0i 4285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → ¬ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
20		blf 24735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21	20	fdmd 6725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
22		ndmovg 7608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) ∧ ¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*)) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
23	22	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) → (¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
24	21, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
25	24	con1d 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅ → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*)))
26		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
27	19, 25, 26	syl56 37	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
28	27	adantld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
30	18, 29	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
31	14	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
32	14	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)))
33	32	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
34	13, 31, 33	3anbi123d 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
35	34	rspcv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
36	12, 35	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
37		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
38	36, 37	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
39		rpxr 13137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
40		elbl 24716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
41	39, 40	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
42		xmetsym 24675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
43	42	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
44	43	3adantl3 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
45	44	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
46	45	pm5.32da 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
47	41, 46	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
48	47	3com23 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
49	48	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
50		3anass 1111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
51	49, 50	bitr4di 292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
52	51	ralbidv 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
53	52	3expia 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
54	53	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
55	30, 38, 54	pm5.21ndd 382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
56	55	rexbidva 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
57	56	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
58	10, 57	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
59	58	ralbidva 3183	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
60	59	pm5.32da 590	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
61	1, 60	bitrd 282	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   × cxp 5649  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_pm cpm 8856  ℂcc 11205  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972  ℝ⁺crp 13127  ∞Metcxmet 21672  ballcbl 21674  Cauccau 25583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-neg 11551  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-xadd 13249  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-bl 21682  df-cau 25586

This theorem is used by:  iscau3  25608  iscau4  25609  caun0  25611  caussi  25627