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Theorem iscau2 24793
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘₯

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 24792 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
2 elfvdm 6928 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 11190 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
4 elpmg 8836 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
65simprbda 499 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ Fun 𝐹)
7 ffvresb 7123 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
98rexbidv 3178 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
109adantr 481 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
11 uzid 12836 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„€ β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
1211adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
13 eleq1w 2816 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
14 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘—))
1514eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)))
1613, 15anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
1716rspcv 3608 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯))))
19 n0i 4333 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ…)
20 blf 23912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (ballβ€˜π·):(𝑋 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝑋)
2120fdmd 6728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ dom (ballβ€˜π·) = (𝑋 Γ— ℝ*))
22 ndmovg 7589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (ballβ€˜π·) = (𝑋 Γ— ℝ*) ∧ Β¬ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*)) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ…)
2322ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (ballβ€˜π·) = (𝑋 Γ— ℝ*) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ…))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ…))
2524con1d 145 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (Β¬ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) = βˆ… β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*)))
26 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
2719, 25, 26syl56 36 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
2827adantld 491 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
3018, 29syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
3114eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
3214oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) = ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
3332breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
3413, 31, 333anbi123d 1436 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
3534rspcv 3608 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
3612, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
37 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
3836, 37syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋))
39 rpxr 12982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
40 elbl 23893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
4139, 40syl3an3 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
42 xmetsym 23852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
43423expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
44433adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)))
4544breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))
4645pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘—)𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
4741, 46bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
48473com23 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
4948anbi2d 629 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
50 3anass 1095 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5149, 50bitr4di 288 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5251ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
53523expia 1121 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
5453adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
5530, 38, 54pm5.21ndd 380 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„€) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5655rexbidva 3176 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5756adantlr 713 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5810, 57bitrd 278 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
5958ralbidva 3175 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯)))
6059pm5.32da 579 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢((πΉβ€˜π‘—)(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
611, 60bitrd 278 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜π‘—)) < π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β†Ύ cres 5678  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑pm cpm 8820  β„‚cc 11107  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930  Cauccau 24769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-neg 11446  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938  df-cau 24772
This theorem is referenced by:  iscau3  24794  iscau4  24795  caun0  24797  caussi  24813
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