Theorem iscau2 24641

Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscau2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥

Proof of Theorem iscau2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau 24640	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
2		elfvdm 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3		cnex 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
4		elpmg 8781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
6	5	simprbda 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → Fun 𝐹)
7		ffvresb 7072	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
9	8	rexbidv 3175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
10	9	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
11		uzid 12778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
14		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
15	14	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)))
16	13, 15	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
17	16	rspcv 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
19		n0i 4293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → ¬ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
20		blf 23760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21	20	fdmd 6679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
22		ndmovg 7537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) ∧ ¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*)) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
23	22	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) → (¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
25	24	con1d 145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅ → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*)))
26		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
27	19, 25, 26	syl56 36	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
28	27	adantld 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
29	28	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
30	18, 29	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
31	14	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
32	14	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)))
33	32	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
34	13, 31, 33	3anbi123d 1436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
35	34	rspcv 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
36	12, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
37		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
38	36, 37	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
39		rpxr 12924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
40		elbl 23741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
41	39, 40	syl3an3 1165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
42		xmetsym 23700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
43	42	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
44	43	3adantl3 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
45	44	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
46	45	pm5.32da 579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
47	41, 46	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
48	47	3com23 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
49	48	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
50		3anass 1095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
51	49, 50	bitr4di 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
52	51	ralbidv 3174	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
53	52	3expia 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
54	53	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
55	30, 38, 54	pm5.21ndd 380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
56	55	rexbidva 3173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
57	56	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
58	10, 57	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
59	58	ralbidva 3172	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
60	59	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
61	1, 60	bitrd 278	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633   ↾ cres 5635  Fun wfun 6490  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_pm cpm 8766  ℂcc 11049  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  ∞Metcxmet 20781  ballcbl 20783  Cauccau 24617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-neg 11388  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-bl 20791  df-cau 24620

This theorem is referenced by:  iscau3  24642  iscau4  24643  caun0  24645  caussi  24661