Theorem iscau2 24346

Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscau2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥

Proof of Theorem iscau2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau 24345	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
2		elfvdm 6788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3		cnex 10883	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
4		elpmg 8589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
6	5	simprbda 498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → Fun 𝐹)
7		ffvresb 6980	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
9	8	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
11		uzid 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑗 ∈ dom 𝐹))
14		fveq2 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
15	14	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)))
16	13, 15	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
17	16	rspcv 3547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
19		n0i 4264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → ¬ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
20		blf 23468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21	20	fdmd 6595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
22		ndmovg 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) ∧ ¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*)) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) → (¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
25	24	con1d 145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅ → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*)))
26		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
27	19, 25, 26	syl56 36	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
28	27	adantld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
29	28	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
30	18, 29	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
31	14	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
32	14	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)))
33	32	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
34	13, 31, 33	3anbi123d 1434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
35	34	rspcv 3547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
36	12, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
37		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
38	36, 37	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋))
39		rpxr 12668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
40		elbl 23449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
41	39, 40	syl3an3 1163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
42		xmetsym 23408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
43	42	3expa 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
44	43	3adantl3 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)))
45	44	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))
46	45	pm5.32da 578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑗)𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
47	41, 46	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
48	47	3com23 1124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
49	48	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
50		3anass 1093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
51	49, 50	bitr4di 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
52	51	ralbidv 3120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
53	52	3expia 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
54	53	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
55	30, 38, 54	pm5.21ndd 380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
56	55	rexbidva 3224	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
57	56	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
58	10, 57	bitrd 278	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
59	58	ralbidva 3119	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥)))
60	59	pm5.32da 578	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶((𝐹‘𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))
61	1, 60	bitrd 278	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷(𝐹‘𝑗)) < 𝑥))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070   × cxp 5578  dom cdm 5580   ↾ cres 5582  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ∞Metcxmet 20495  ballcbl 20497  Cauccau 24322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-neg 11138  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-bl 20505  df-cau 24325

This theorem is referenced by:  iscau3  24347  iscau4  24348  caun0  24350  caussi  24366