Theorem lmmbr2 25379

Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) allows to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 23347. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmbr.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
lmmbr2	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑥,𝐽   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem lmmbr2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmmbr.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		lmmbr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3	1, 2	lmmbr 25378	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
4		df-3an 1103	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
5		uzf 12856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
6		ffn 6695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ≥ Fn ℤ)
7		reseq2 5964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (ℤ≥‘𝑗) → (𝐹 ↾ 𝑦) = (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)))
8		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (ℤ≥‘𝑗) → 𝑦 = (ℤ≥‘𝑗))
9	7, 8	feq12d 6683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (ℤ≥‘𝑗) → ((𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
10	9	rexrn 7072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥ Fn ℤ → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
11	5, 6, 10	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
12		simp2l 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
13		elfvdm 6905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
14	13	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
15		cnex 11169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ∈ V
16		elpmg 8828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
17	14, 15, 16	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
18	12, 17	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
19	18	simpld 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Fun 𝐹)
20		ffvresb 7111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
22		rpxr 13017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
23		elbl 24506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
24	22, 23	syl3an3 1181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥)))
25		xmetsym 24465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃))
26	25	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
27	26	3expa 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
28	27	pm5.32da 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
29	28	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(𝐹‘𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
30	24, 29	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
31	30	3adant2l 1195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
32	31	anbi2d 641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
33		3anass 1109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
34	32, 33	bitr4di 292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
35	34	ralbidv 3188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
36	21, 35	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
37	36	rexbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ≥‘𝑗)):(ℤ≥‘𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
38	11, 37	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
39	38	3expa 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
40	39	ralbidva 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
41	40	pm5.32da 589	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
42	2, 41	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
43	4, 42	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
44		df-3an 1103	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
45	43, 44	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ran ℤ≥(𝐹 ↾ 𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
46	3, 45	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105   × cxp 5650  dom cdm 5652  ran crn 5653   ↾ cres 5654  Fun wfun 6519   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_pm cpm 8813  ℂcc 11086  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  ∞Metcxmet 21467  ballcbl 21469  MetOpencmopn 21472  ⇝_𝑡clm 23344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-topgen 17486  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-lm 23347

This theorem is referenced by:  lmmbr3  25380