MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmbr2 24646
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋) allows to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 22603. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lmmbr.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
lmmbr2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑃,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘₯   π‘₯,𝐽   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem lmmbr2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmmbr.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
2 lmmbr.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
31, 2lmmbr 24645 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯))))
4 df-3an 1090 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)))
5 uzf 12774 . . . . . . . . . 10 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
6 ffn 6672 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€ β†’ β„€β‰₯ Fn β„€)
7 reseq2 5936 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝑦) = (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)))
8 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ 𝑦 = (β„€β‰₯β€˜π‘—))
97, 8feq12d 6660 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)))
109rexrn 7041 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯ Fn β„€ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)))
115, 6, 10mp2b 10 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯))
12 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
13 elfvdm 6883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
14133ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
15 cnex 11140 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ V
16 elpmg 8787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
1714, 15, 16sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ↔ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋))))
1812, 17mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Fun 𝐹 ∧ 𝐹 βŠ† (β„‚ Γ— 𝑋)))
1918simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Fun 𝐹)
20 ffvresb 7076 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯))))
22 rpxr 12932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
23 elbl 23764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
2422, 23syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯)))
25 xmetsym 23723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃))
2625breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))
27263expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯ ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))
2827pm5.32da 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
29283adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(πΉβ€˜π‘˜)) < π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3024, 29bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
31303adant2l 1179 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3231anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
33 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3432, 33bitr4di 289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3534ralbidv 3171 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3621, 35bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3736rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„€ (𝐹 β†Ύ (β„€β‰₯β€˜π‘—)):(β„€β‰₯β€˜π‘—)⟢(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
3811, 37bitrid 283 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
39383expa 1119 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
4039ralbidva 3169 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
4140pm5.32da 580 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
422, 41syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
434, 42bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
44 df-3an 1090 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
4543, 44bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ran β„€β‰₯(𝐹 β†Ύ 𝑦):π‘¦βŸΆ(𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
463, 45bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„€ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057  β„*cxr 11196   < clt 11197  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  MetOpencmopn 20809  β‡π‘‘clm 22600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-lm 22603
This theorem is referenced by:  lmmbr3  24647
  Copyright terms: Public domain W3C validator