MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmmbr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmmbr2 24607
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space. Definition 1.4-1 of [Kreyszig] p. 25. The condition 𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋) allows to use objects more general than sequences when convenient; see the comment in df-lm 22564. (Contributed by NM, 7-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmmbr.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmmbr.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
lmmbr2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑃,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑥,𝐽   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem lmmbr2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmmbr.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2 lmmbr.3 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
31, 2lmmbr 24606 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
4 df-3an 1089 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
5 uzf 12762 . . . . . . . . . 10 :ℤ⟶𝒫 ℤ
6 ffn 6665 . . . . . . . . . 10 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
7 reseq2 5930 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (ℤ𝑗) → (𝐹𝑦) = (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)))
8 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (ℤ𝑗) → 𝑦 = (ℤ𝑗))
97, 8feq12d 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (ℤ𝑗) → ((𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
109rexrn 7033 . . . . . . . . . 10 (ℤ Fn ℤ → (∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
115, 6, 10mp2b 10 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
12 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
13 elfvdm 6876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
14133ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
15 cnex 11128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ∈ V
16 elpmg 8777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
1714, 15, 16sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
1812, 17mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋)))
1918simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Fun 𝐹)
20 ffvresb 7068 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
22 rpxr 12916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
23 elbl 23725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
2422, 23syl3an3 1165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
25 xmetsym 23684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑃))
2625breq1d 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
27263expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
2827pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
29283adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3024, 29bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
31303adant2l 1178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3231anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
33 3anass 1095 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3432, 33bitr4di 288 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3534ralbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3621, 35bitrd 278 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3736rexbidv 3173 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
3811, 37bitrid 282 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
39383expa 1118 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
4039ralbidva 3170 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
4140pm5.32da 579 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
422, 41syl 17 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
434, 42bitrid 282 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
44 df-3an 1089 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
4543, 44bitr4di 288 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ran ℤ(𝐹𝑦):𝑦⟶(𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
463, 45bitrd 278 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  wss 3908  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5103   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632  cres 5633  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  pm cpm 8762  cc 11045  *cxr 11184   < clt 11185  cz 12495  cuz 12759  +crp 12907  ∞Metcxmet 20766  ballcbl 20768  MetOpencmopn 20771  𝑡clm 22561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-topgen 17317  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-top 22227  df-topon 22244  df-bases 22280  df-lm 22564
This theorem is referenced by:  lmmbr3  24608
  Copyright terms: Public domain W3C validator