Theorem pmtrf 19497

Description: Functionality of a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrf	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑇‘𝑃):𝐷⟶𝐷)

Proof of Theorem pmtrf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrfval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2	1	pmtrval 19493	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑇‘𝑃) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
3		simpll2 1213	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑃 ⊆ 𝐷)
4		1onn 8696	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
5		simpll3 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑃 ≈ 2o)
6		df-2o 8523	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
7	5, 6	breqtrdi 5207	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑃 ≈ suc 1o)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑧 ∈ 𝑃)
9		dif1ennn 9227	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
10	4, 7, 8, 9	mp3an2i 1466	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
11		en1uniel 9093	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o → ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
12		eldifi 4154	. . . . 5 ⊢ (∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
14	3, 13	sseldd 4009	. . 3 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝐷)
15		simplr 768	. . 3 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑧 ∈ 𝐷)
16	14, 15	ifclda 4583	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → if(𝑧 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧) ∈ 𝐷)
17	2, 16	fmpt3d 7150	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑇‘𝑃):𝐷⟶𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166  suc csuc 6397  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  ωcom 7903  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516   ≈ cen 9000  pmTrspcpmtr 19483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-2o 8523  df-en 9004  df-pmtr 19484

This theorem is referenced by:  pmtrmvd  19498  pmtrfinv  19503  pmtrff1o  19505  pmtrfcnv  19506  pmtr3ncomlem1  19515  mdetralt  22635  mdetunilem7  22645