MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrf 18577
Description: Functionality of a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrf ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)

Proof of Theorem pmtrf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . . 3 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
21pmtrval 18573 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑇𝑃) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
3 simpll2 1209 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃𝐷)
4 1onn 8259 . . . . . 6 1o ∈ ω
5 simpll3 1210 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ 2o)
6 df-2o 8097 . . . . . . 7 2o = suc 1o
75, 6breqtrdi 5100 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ suc 1o)
8 simpr 487 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑧𝑃)
9 dif1en 8745 . . . . . 6 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
104, 7, 8, 9mp3an2i 1462 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
11 en1uniel 8575 . . . . 5 ((𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
12 eldifi 4103 . . . . 5 ( (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
143, 13sseldd 3968 . . 3 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝐷)
15 simplr 767 . . 3 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ ¬ 𝑧𝑃) → 𝑧𝐷)
1614, 15ifclda 4501 . 2 (((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) → if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧) ∈ 𝐷)
172, 16fmpt3d 6875 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  cdif 3933  wss 3936  ifcif 4467  {csn 4561   cuni 4832   class class class wbr 5059  suc csuc 6188  wf 6346  cfv 6350  ωcom 7574  1oc1o 8089  2oc2o 8090  cen 8500  pmTrspcpmtr 18563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-fin 8507  df-pmtr 18564
This theorem is referenced by:  pmtrmvd  18578  pmtrfinv  18583  pmtrff1o  18585  pmtrfcnv  18586  pmtr3ncomlem1  18595  mdetralt  21211  mdetunilem7  21221
  Copyright terms: Public domain W3C validator