MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrf 18225
Description: Functionality of a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrf ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)

Proof of Theorem pmtrf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll2 1277 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃𝐷)
2 1onn 7986 . . . . . . . 8 1o ∈ ω
32a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 1o ∈ ω)
4 simpll3 1279 . . . . . . . 8 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ 2o)
5 df-2o 7827 . . . . . . . 8 2o = suc 1o
64, 5syl6breq 4914 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ suc 1o)
7 simpr 479 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑧𝑃)
8 dif1en 8462 . . . . . . 7 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
93, 6, 7, 8syl3anc 1496 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
10 en1uniel 8294 . . . . . 6 ((𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
11 eldifi 3959 . . . . . 6 ( (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
129, 10, 113syl 18 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
131, 12sseldd 3828 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝐷)
14 simplr 787 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ ¬ 𝑧𝑃) → 𝑧𝐷)
1513, 14ifclda 4340 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) → if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧) ∈ 𝐷)
1615fmpttd 6634 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)):𝐷𝐷)
17 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1817pmtrval 18221 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑇𝑃) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
1918feq1d 6263 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → ((𝑇𝑃):𝐷𝐷 ↔ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)):𝐷𝐷))
2016, 19mpbird 249 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  cdif 3795  wss 3798  ifcif 4306  {csn 4397   cuni 4658   class class class wbr 4873  cmpt 4952  suc csuc 5965  wf 6119  cfv 6123  ωcom 7326  1oc1o 7819  2oc2o 7820  cen 8219  pmTrspcpmtr 18211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-om 7327  df-1o 7826  df-2o 7827  df-er 8009  df-en 8223  df-fin 8226  df-pmtr 18212
This theorem is referenced by:  pmtrmvd  18226  pmtrfinv  18231  pmtrff1o  18233  pmtrfcnv  18234  pmtr3ncomlem1  18243  mdetralt  20782  mdetunilem7  20792
  Copyright terms: Public domain W3C validator