Theorem pmtrf 19384

Description: Functionality of a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pmtrfval.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
pmtrf	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑇‘𝑃):𝐷⟶𝐷)

Proof of Theorem pmtrf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrfval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2	1	pmtrval 19380	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑇‘𝑃) = (𝑧 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑧 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
3		simpll2 1214	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑃 ⊆ 𝐷)
4		1onn 8568	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ ω
5		simpll3 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑃 ≈ 2o)
6		df-2o 8398	. . . . . . 7 ⊢ 2o = suc 1o
7	5, 6	breqtrdi 5139	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑃 ≈ suc 1o)
8		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑧 ∈ 𝑃)
9		dif1ennn 9087	. . . . . 6 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
10	4, 7, 8, 9	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
11		en1uniel 8966	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o → ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
12		eldifi 4083	. . . . 5 ⊢ (∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
14	3, 13	sseldd 3934	. . 3 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝐷)
15		simplr 768	. . 3 ⊢ ((((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑃) → 𝑧 ∈ 𝐷)
16	14, 15	ifclda 4515	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → if(𝑧 ∈ 𝑃, ∪ (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧) ∈ 𝐷)
17	2, 16	fmpt3d 7061	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ⊆ 𝐷 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑇‘𝑃):𝐷⟶𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {csn 4580  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098  suc csuc 6319  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  ωcom 7808  1_oc1o 8390  2_oc2o 8391   ≈ cen 8880  pmTrspcpmtr 19370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-2o 8398  df-en 8884  df-pmtr 19371

This theorem is referenced by:  pmtrmvd  19385  pmtrfinv  19390  pmtrff1o  19392  pmtrfcnv  19393  pmtr3ncomlem1  19402  mdetralt  22552  mdetunilem7  22562