Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrf 18577
 Description: Functionality of a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrf ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)

Proof of Theorem pmtrf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pmtrfval.t . . 3 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
21pmtrval 18573 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑇𝑃) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
3 simpll2 1209 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃𝐷)
4 1onn 8259 . . . . . 6 1o ∈ ω
5 simpll3 1210 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ 2o)
6 df-2o 8097 . . . . . . 7 2o = suc 1o
75, 6breqtrdi 5100 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ suc 1o)
8 simpr 487 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑧𝑃)
9 dif1en 8745 . . . . . 6 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
104, 7, 8, 9mp3an2i 1462 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o)
11 en1uniel 8575 . . . . 5 ((𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
12 eldifi 4103 . . . . 5 ( (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
143, 13sseldd 3968 . . 3 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝐷)
15 simplr 767 . . 3 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) ∧ ¬ 𝑧𝑃) → 𝑧𝐷)
1614, 15ifclda 4501 . 2 (((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) ∧ 𝑧𝐷) → if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧) ∈ 𝐷)
172, 16fmpt3d 6875 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2o) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3933   ⊆ wss 3936  ifcif 4467  {csn 4561  ∪ cuni 4832   class class class wbr 5059  suc csuc 6188  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  ωcom 7574  1oc1o 8089  2oc2o 8090   ≈ cen 8500  pmTrspcpmtr 18563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-fin 8507  df-pmtr 18564 This theorem is referenced by:  pmtrmvd  18578  pmtrfinv  18583  pmtrff1o  18585  pmtrfcnv  18586  pmtr3ncomlem1  18595  mdetralt  21211  mdetunilem7  21221
 Copyright terms: Public domain W3C validator