MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2eleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2eleq 10046
Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eleq ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})

Proof of Theorem en2eleq
StepHypRef Expression
1 2onn 8679 . . . . . 6 2o ∈ ω
2 nnfi 9206 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 2o ∈ Fin
4 enfi 9225 . . . . 5 (𝑃 ≈ 2o → (𝑃 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
53, 4mpbiri 258 . . . 4 (𝑃 ≈ 2o𝑃 ∈ Fin)
65adantl 481 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ∈ Fin)
7 simpl 482 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋𝑃)
8 1onn 8677 . . . . . . . 8 1o ∈ ω
9 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
10 df-2o 8506 . . . . . . . . 9 2o = suc 1o
119, 10breqtrdi 5189 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
12 dif1ennn 9200 . . . . . . . 8 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
138, 11, 7, 12mp3an2i 1465 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14 en1uniel 9068 . . . . . . 7 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16 eldifsn 4791 . . . . . 6 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
1715, 16sylib 218 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
1817simpld 494 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃)
197, 18prssd 4827 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃)
2017simprd 495 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
2120necomd 2994 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
22 enpr2 10040 . . . . 5 ((𝑋𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋})) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
237, 18, 21, 22syl3anc 1370 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
24 ensym 9042 . . . . 5 (𝑃 ≈ 2o → 2o𝑃)
2524adantl 481 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 2o𝑃)
26 entr 9045 . . . 4 (({𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o ∧ 2o𝑃) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
2723, 25, 26syl2anc 584 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
28 fisseneq 9291 . . 3 ((𝑃 ∈ Fin ∧ {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃 ∧ {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
296, 19, 27, 28syl3anc 1370 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
3029eqcomd 2741 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633   cuni 4912   class class class wbr 5148  suc csuc 6388  ωcom 7887  1oc1o 8498  2oc2o 8499  cen 8981  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988
This theorem is referenced by:  en2other2  10047  psgnunilem1  19526  cyc3genpmlem  33154
  Copyright terms: Public domain W3C validator