MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2eleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2eleq 9220
Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eleq ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})

Proof of Theorem en2eleq
StepHypRef Expression
1 2onn 8059 . . . . . 6 2o ∈ ω
2 nnfi 8498 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 2o ∈ Fin
4 enfi 8521 . . . . 5 (𝑃 ≈ 2o → (𝑃 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
53, 4mpbiri 250 . . . 4 (𝑃 ≈ 2o𝑃 ∈ Fin)
65adantl 474 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ∈ Fin)
7 simpl 475 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋𝑃)
8 1onn 8058 . . . . . . . 8 1o ∈ ω
9 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
10 df-2o 7898 . . . . . . . . 9 2o = suc 1o
119, 10syl6breq 4964 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
12 dif1en 8538 . . . . . . . 8 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
138, 11, 7, 12mp3an2i 1445 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14 en1uniel 8370 . . . . . . 7 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16 eldifsn 4587 . . . . . 6 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
1715, 16sylib 210 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
1817simpld 487 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃)
197, 18prssd 4623 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃)
2017simprd 488 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
2120necomd 3016 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
22 pr2nelem 9216 . . . . 5 ((𝑋𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋})) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
237, 18, 21, 22syl3anc 1351 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
24 ensym 8347 . . . . 5 (𝑃 ≈ 2o → 2o𝑃)
2524adantl 474 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 2o𝑃)
26 entr 8350 . . . 4 (({𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o ∧ 2o𝑃) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
2723, 25, 26syl2anc 576 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
28 fisseneq 8516 . . 3 ((𝑃 ∈ Fin ∧ {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃 ∧ {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
296, 19, 27, 28syl3anc 1351 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
3029eqcomd 2778 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  cdif 3822  wss 3825  {csn 4435  {cpr 4437   cuni 4706   class class class wbr 4923  suc csuc 6025  ωcom 7390  1oc1o 7890  2oc2o 7891  cen 8295  Fincfn 8298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-om 7391  df-1o 7897  df-2o 7898  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302
This theorem is referenced by:  en2other2  9221  psgnunilem1  18372
  Copyright terms: Public domain W3C validator