Theorem en2eleq 9980

Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eleq	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})

Proof of Theorem en2eleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8616	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 9140	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
4		enfi 9159	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≈ 2o → (𝑃 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≈ 2o → 𝑃 ∈ Fin)
6	5	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ∈ Fin)
7		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		1onn 8614	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
9		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
10		df-2o 8442	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o = suc 1o
11	9, 10	breqtrdi 5145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
12		dif1ennn 9135	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
13	8, 11, 7, 12	mp3an2i 1490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14		en1uniel 9014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16		eldifsn 4749	. . . . . 6 ⊢ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 ∧ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
17	15, 16	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 ∧ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
18	17	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃)
19	7, 18	prssd 4783	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃)
20	17	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
21	20	necomd 3015	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}))
22		enpr2 9976	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
23	7, 18, 21, 22	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
24		ensym 8988	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≈ 2o → 2o ≈ 𝑃)
25	24	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 2o ≈ 𝑃)
26		entr 8991	. . . 4 ⊢ (({𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝑃) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
27	23, 25, 26	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
28		fisseneq 9211	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Fin ∧ {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃 ∧ {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
29	6, 19, 27, 28	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
30	29	eqcomd 2771	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5104  suc csuc 6351  ωcom 7850  1_oc1o 8434  2_oc2o 8435   ≈ cen 8928  Fincfn 8931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-om 7851  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935

This theorem is referenced by:  en2other2  9981  psgnunilem1  19551  cyc3genpmlem  33379