MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2eleq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2eleq 9949
Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eleq ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})

Proof of Theorem en2eleq
StepHypRef Expression
1 2onn 8589 . . . . . 6 2o ∈ ω
2 nnfi 9114 . . . . . 6 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 2o ∈ Fin
4 enfi 9137 . . . . 5 (𝑃 ≈ 2o → (𝑃 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
53, 4mpbiri 258 . . . 4 (𝑃 ≈ 2o𝑃 ∈ Fin)
65adantl 483 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ∈ Fin)
7 simpl 484 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋𝑃)
8 1onn 8587 . . . . . . . 8 1o ∈ ω
9 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
10 df-2o 8414 . . . . . . . . 9 2o = suc 1o
119, 10breqtrdi 5147 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
12 dif1ennn 9108 . . . . . . . 8 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
138, 11, 7, 12mp3an2i 1467 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14 en1uniel 8975 . . . . . . 7 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16 eldifsn 4748 . . . . . 6 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
1715, 16sylib 217 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
1817simpld 496 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃)
197, 18prssd 4783 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃)
2017simprd 497 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
2120necomd 2996 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
22 enpr2 9943 . . . . 5 ((𝑋𝑃 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋})) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
237, 18, 21, 22syl3anc 1372 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
24 ensym 8946 . . . . 5 (𝑃 ≈ 2o → 2o𝑃)
2524adantl 483 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 2o𝑃)
26 entr 8949 . . . 4 (({𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o ∧ 2o𝑃) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
2723, 25, 26syl2anc 585 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
28 fisseneq 9204 . . 3 ((𝑃 ∈ Fin ∧ {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃 ∧ {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
296, 19, 27, 28syl3anc 1372 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
3029eqcomd 2739 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cdif 3908  wss 3911  {csn 4587  {cpr 4589   cuni 4866   class class class wbr 5106  suc csuc 6320  ωcom 7803  1oc1o 8406  2oc2o 8407  cen 8883  Fincfn 8886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890
This theorem is referenced by:  en2other2  9950  psgnunilem1  19280  cyc3genpmlem  32049
  Copyright terms: Public domain W3C validator