Theorem en2eleq 10080

Description: Express a set of pair cardinality as the unordered pair of a given element and the other element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eleq	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})

Proof of Theorem en2eleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 8644	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ ω
2		nnfi 9176	. . . . . 6 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ Fin
4		enfi 9195	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≈ 2o → (𝑃 ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5	3, 4	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≈ 2o → 𝑃 ∈ Fin)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ∈ Fin)
7		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		1onn 8642	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
9		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
10		df-2o 8470	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o = suc 1o
11	9, 10	breqtrdi 5146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
12		dif1ennn 9171	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
13	8, 11, 7, 12	mp3an2i 1495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14		en1uniel 9050	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 ∧ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
17	15, 16	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 ∧ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋))
18	17	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃)
19	7, 18	prssd 4783	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃)
20	17	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
21	20	necomd 3011	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}))
22		enpr2 10076	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
23	7, 18, 21, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o)
24		ensym 9023	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≈ 2o → 2o ≈ 𝑃)
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 2o ≈ 𝑃)
26		entr 9026	. . . 4 ⊢ (({𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝑃) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃)
28		fisseneq 9247	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Fin ∧ {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ⊆ 𝑃 ∧ {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} ≈ 𝑃) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
29	6, 19, 27, 28	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} = 𝑃)
30	29	eqcomd 2767	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  {cpr 4586  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  suc csuc 6363  ωcom 7875  1_oc1o 8462  2_oc2o 8463   ≈ cen 8963  Fincfn 8966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7876  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970

This theorem is used by:  en2other2  10081  psgnunilem1  19700  cyc3genpmlem  33705