MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2other2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2other2 10032
Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2other2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Proof of Theorem en2other2
StepHypRef Expression
1 en2eleq 10031 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
2 prcom 4732 . . . . . . 7 {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋}
31, 2eqtrdi 2781 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋})
43difeq1d 4113 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
5 difprsnss 4798 . . . . 5 ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋}
64, 5eqsstrdi 4027 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋})
7 simpl 481 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋𝑃)
8 1onn 8659 . . . . . . . . 9 1o ∈ ω
9 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
10 df-2o 8486 . . . . . . . . . 10 2o = suc 1o
119, 10breqtrdi 5184 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
12 dif1ennn 9184 . . . . . . . . 9 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
138, 11, 7, 12mp3an2i 1462 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14 en1uniel 9051 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
15 eldifsni 4789 . . . . . . . 8 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1716necomd 2986 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
18 eldifsn 4786 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ↔ (𝑋𝑃𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋})))
197, 17, 18sylanbrc 581 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
2019snssd 4808 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋} ⊆ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
216, 20eqssd 3990 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
2221unieqd 4916 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
23 unisng 4923 . . 3 (𝑋𝑃 {𝑋} = 𝑋)
2423adantr 479 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋} = 𝑋)
2522, 24eqtrd 2765 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  cdif 3936  {csn 4624  {cpr 4626   cuni 4903   class class class wbr 5143  suc csuc 6366  ωcom 7868  1oc1o 8478  2oc2o 8479  cen 8959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7869  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966
This theorem is referenced by:  pmtrfinv  19420
  Copyright terms: Public domain W3C validator