Theorem en2other2 10047

Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2other2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Proof of Theorem en2other2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2eleq 10046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})
2		prcom 4737	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} = {∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋}
3	1, 2	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋})
4	3	difeq1d 4135	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ({∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
5		difprsnss 4804	. . . . 5 ⊢ ({∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋}
6	4, 5	eqsstrdi 4050	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋})
7		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		1onn 8677	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ ω
9		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
10		df-2o 8506	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
11	9, 10	breqtrdi 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
12		dif1ennn 9200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
13	8, 11, 7, 12	mp3an2i 1465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14		en1uniel 9068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
15		eldifsni 4795	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
17	16	necomd 2994	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}))
18		eldifsn 4791	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})))
19	7, 17, 18	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
20	19	snssd 4814	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋} ⊆ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
21	6, 20	eqssd 4013	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
22	21	unieqd 4925	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ∪ {𝑋})
23		unisng 4930	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ∪ {𝑋} = 𝑋)
24	23	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ {𝑋} = 𝑋)
25	22, 24	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631  {cpr 4633  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148  suc csuc 6388  ωcom 7887  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499   ≈ cen 8981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  pmtrfinv  19494