Theorem en2other2 9844

Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2other2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Proof of Theorem en2other2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2eleq 9843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})
2		prcom 4677	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} = {∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋}
3	1, 2	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋})
4	3	difeq1d 4066	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ({∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
5		difprsnss 4743	. . . . 5 ⊢ ({∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋}
6	4, 5	eqsstrdi 3984	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋})
7		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		1onn 8519	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ ω
9		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
10		df-2o 8346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
11	9, 10	breqtrdi 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
12		dif1ennn 9004	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
13	8, 11, 7, 12	mp3an2i 1465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14		en1uniel 8871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
15		eldifsni 4734	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
17	16	necomd 2996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}))
18		eldifsn 4731	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})))
19	7, 17, 18	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
20	19	snssd 4753	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋} ⊆ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
21	6, 20	eqssd 3947	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
22	21	unieqd 4863	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ∪ {𝑋})
23		unisng 4870	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ∪ {𝑋} = 𝑋)
24	23	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ {𝑋} = 𝑋)
25	22, 24	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3893  {csn 4570  {cpr 4572  ∪ cuni 4849   class class class wbr 5086  suc csuc 6290  ωcom 7758  1_oc1o 8338  2_oc2o 8339   ≈ cen 8779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-om 7759  df-1o 8345  df-2o 8346  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786

This theorem is referenced by:  pmtrfinv  19142