Theorem dfom6 43434

Description: Let ω be defined to be the union of the set of all finite ordinals. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dfom6	⊢ ω = ∪ (On ∩ Fin)

Proof of Theorem dfom6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7915	. . 3 ⊢ Lim ω
2		limuni 6455	. . 3 ⊢ (Lim ω → ω = ∪ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ω = ∪ ω
4		onfin2 9290	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
5	4	unieqi 4943	. 2 ⊢ ∪ ω = ∪ (On ∩ Fin)
6	3, 5	eqtri 2762	1 ⊢ ω = ∪ (On ∩ Fin)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∩ cin 3969  ∪ cuni 4931  Oncon0 6394  Lim wlim 6395  ωcom 7899  Fincfn 8999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-om 7900  df-1o 8518  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003

This theorem is referenced by: (None)