Theorem dfom6 44641

Description: Let ω be defined to be the union of the set of all finite ordinals. (Contributed by RP, 27-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dfom6	⊢ ω = ∪ (On ∩ Fin)

Proof of Theorem dfom6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7897	. . 3 ⊢ Lim ω
2		limuni 6428	. . 3 ⊢ (Lim ω → ω = ∪ ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ω = ∪ ω
4		onfin2 9239	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
5	4	unieqi 4878	. 2 ⊢ ∪ ω = ∪ (On ∩ Fin)
6	3, 5	eqtri 2783	1 ⊢ ω = ∪ (On ∩ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∩ cin 4088  ∪ cuni 4866  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  ωcom 7881  Fincfn 8980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7882  df-1o 8483  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984

This theorem is used by: (None)