Theorem sate0fv0 35775

Description: A simplified satisfaction predicate as function over wff codes over an empty model is an empty set. (Contributed by AV, 31-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
sate0fv0	⊢ (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈) → 𝑆 = ∅))

Proof of Theorem sate0fv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5261	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		satef 35774	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶∅)
3	1, 2	mp3an1 1472	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ (Fmla‘ω) ∧ 𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈)) → 𝑆:ω⟶∅)
4	3	ex 417	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈) → 𝑆:ω⟶∅))
5		f00 6750	. . 3 ⊢ (𝑆:ω⟶∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ ω = ∅))
6	5	simplbi 501	. 2 ⊢ (𝑆:ω⟶∅ → 𝑆 = ∅)
7	4, 6	syl6 36	1 ⊢ (𝑈 ∈ (Fmla‘ω) → (𝑆 ∈ (∅ Sat∈ 𝑈) → 𝑆 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ωcom 7850  Fmlacfmla 35695   Sat_∈ csate 35696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-ac2 10435

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-ac 10088  df-goel 35698  df-gona 35699  df-goal 35700  df-sat 35701  df-sate 35702  df-fmla 35703

This theorem is referenced by: (None)