Theorem supcvg 15779

Description: Extract a sequence 𝑓 in 𝑋 such that the image of the points in the bounded set 𝐴 converges to the supremum 𝑆 of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 10345. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
supcvg.1	⊢ 𝑋 ∈ V
supcvg.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
supcvg.3	⊢ 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
supcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
supcvg.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝐴)
supcvg.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
supcvg.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
supcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝑛,𝜑   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑥,𝑦,𝐴   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem supcvg

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
2	1	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆 − (1 / 𝑛)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
3		supcvg.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
4		ovex 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 − (1 / 𝑘)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑅‘𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
6	5	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
7		supcvg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
8		supcvg.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		supcvg.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
10		supcvg.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝐴)
11		fof 6746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝐴 → 𝐹:𝑋⟶𝐴)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝐴)
13		feq3 6642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝐴 ↔ 𝐹:𝑋⟶∅))
14	12, 13	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝐹:𝑋⟶∅))
15		f00 6716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝑋 = ∅))
16	15	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ → 𝑋 = ∅)
17	14, 16	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝑋 = ∅))
18	17	necon3d 2953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
19	9, 18	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
20		supcvg.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
21	8, 19, 20	suprcld 12105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	7, 21	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
23		nnrp 12917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
24	23	rpreccld 12959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
25		ltsubrp 12943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
26	22, 24, 25	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
27	6, 26	eqbrtrd 5120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) < 𝑆)
28	27, 7	breqtrdi 5139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ))
29	8, 19, 20	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
30		nnrecre 12187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
31		resubcl 11445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32	22, 30, 31	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32, 3	fmptd 7059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ℕ⟶ℝ)
34	33	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
35		suprlub 12106	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑅‘𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧))
36	29, 34, 35	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅‘𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧))
37	28, 36	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧)
38	8	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
39	38	sselda 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
40		ltle 11221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑅‘𝑘) < 𝑧 → (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
41	34, 39, 40	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑅‘𝑘) < 𝑧 → (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
42	41	reximdva 3149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
43	37, 42	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧)
44		forn 6749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝐴 → ran 𝐹 = 𝐴)
45	10, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
46	45	rexeqdv 3297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
47		ffn 6662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝐴 → 𝐹 Fn 𝑋)
48		breq2 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → ((𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
49	48	rexrn 7032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
50	12, 47, 49	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
51	46, 50	bitr3d 281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
52	51	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
53	43, 52	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥))
54	53	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥))
55		supcvg.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
56		nnenom 13903	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
57		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑓‘𝑘)))
58	57	breq2d 5110	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → ((𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))))
59	55, 56, 58	axcc4 10349	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))))
60	54, 59	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))))
61		nnuz 12790	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
62		1zzd 12522	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 1 ∈ ℤ)
63		1zzd 12522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
64	22	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
65		1z 12521	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
66	61	eqimss2i 3995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
67		nnex 12151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
68	66, 67	climconst2 15471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
69	64, 65, 68	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
70	67	mptex 7169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛))) ∈ V
71	3, 70	eqeltri 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ V
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
73		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
74		divcnv 15776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
75	73, 74	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
76		fvconst2g 7148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
77	22, 76	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
78	64	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
79	77, 78	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) ∈ ℂ)
80		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
81		ovex 7391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
82	1, 80, 81	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
84		nnrecre 12187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
87	83, 86	eqeltrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
88	77, 83	oveq12d 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
89	6, 88	eqtr4d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) = (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)))
90	61, 63, 69, 72, 75, 79, 87, 89	climsub 15557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ (𝑆 − 0))
91	64	subid1d 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 0) = 𝑆)
92	90, 91	breqtrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝑆)
93	92	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝑅 ⇝ 𝑆)
94	12	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝐹:𝑋⟶𝐴)
95		fex 7172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96	94, 55, 95	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝐹 ∈ V)
97		vex 3444	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
98		coexg 7871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ V)
99	96, 97, 98	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ V)
100	33	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝑅:ℕ⟶ℝ)
101	100	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
102	12, 8	fssd 6679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
103		fco 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹 ∘ 𝑓):ℕ⟶ℝ)
104	102, 103	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹 ∘ 𝑓):ℕ⟶ℝ)
105	104	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝐹 ∘ 𝑓):ℕ⟶ℝ)
106	105	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℝ)
107		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑚))
108		2fveq3 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) = (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
109	107, 108	breq12d 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ↔ (𝑅‘𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑚))))
110	109	rspccva 3575	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
111	110	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
112		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
113		fvco3 6933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
114	112, 113	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
115	111, 114	breqtrrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ≤ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚))
116	29	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
117	112	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝑋)
118	94	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ∈ 𝐴)
119	117, 118	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ∈ 𝐴)
120		suprub 12103	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
121	116, 119, 120	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
122	121, 7	breqtrrdi 5140	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ≤ 𝑆)
123	114, 122	eqbrtrd 5120	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) ≤ 𝑆)
124	61, 62, 93, 99, 101, 106, 115, 123	climsqz 15564	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)
125	124	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) → (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))
126	125	imdistanda 571	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)))
127	126	eximdv 1918	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)))
128	60, 127	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ran crn 5625   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  supcsup 9343  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   < clt 11166   ≤ cle 11167   − cmin 11364   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412

This theorem is referenced by: (None)