Theorem supcvg 16031

Description: Extract a sequence 𝑓 in 𝑋 such that the image of the points in the bounded set 𝐴 converges to the supremum 𝑆 of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 10517. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
supcvg.1	⊢ 𝑋 ∈ V
supcvg.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
supcvg.3	⊢ 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
supcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
supcvg.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝐴)
supcvg.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
supcvg.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
supcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝑛,𝜑   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑥,𝑦,𝐴   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐴(𝑓, 𝑛)   𝑅(𝑦, 𝑛)   𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝐹(𝑦, 𝑛)   𝑋(𝑦, 𝑛)

Proof of Theorem supcvg

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
2	1	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆 − (1 / 𝑛)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
3		supcvg.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
4		ovex 7454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 − (1 / 𝑘)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑅‘𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
6	5	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
7		supcvg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
8		supcvg.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		supcvg.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
10		supcvg.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝐴)
11		fof 6797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝐴 → 𝐹:𝑋⟶𝐴)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝐴)
13		feq3 6690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝐴 ↔ 𝐹:𝑋⟶∅))
14	12, 13	syl5ibcom 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝐹:𝑋⟶∅))
15		f00 6765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝑋 = ∅))
16	15	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ → 𝑋 = ∅)
17	14, 16	syl6 36	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝑋 = ∅))
18	17	necon3d 2976	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
19	9, 18	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
20		supcvg.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
21	8, 19, 20	suprcld 12284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	7, 21	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
23		nnrp 13136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
24	23	rpreccld 13178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
25		ltsubrp 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
26	22, 24, 25	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
27	6, 26	eqbrtrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) < 𝑆)
28	27, 7	breqtrdi 5145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ))
29	8, 19, 20	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
30		nnrecre 12384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
31		resubcl 11626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32	22, 30, 31	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32, 3	fmptd 7115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ℕ⟶ℝ)
34	33	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
35		suprlub 12285	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑅‘𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧))
36	29, 34, 35	syl2an2r 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅‘𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧))
37	28, 36	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧)
38	8	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
39	38	sselda 3908	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
40		ltle 11402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑅‘𝑘) < 𝑧 → (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
41	34, 39, 40	syl2an2r 698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑅‘𝑘) < 𝑧 → (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
42	41	reximdva 3175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
43	37, 42	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧)
44		forn 6800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝐴 → ran 𝐹 = 𝐴)
45	10, 44	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
46	45	rexeqdv 3320	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
47		ffn 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝐴 → 𝐹 Fn 𝑋)
48		breq2 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → ((𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
49	48	rexrn 7088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
50	12, 47, 49	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
51	46, 50	bitr3d 284	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
52	51	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
53	43, 52	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥))
54	53	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥))
55		supcvg.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
56		nnenom 14127	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
57		fveq2 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑓‘𝑘)))
58	57	breq2d 5114	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → ((𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))))
59	55, 56, 58	axcc4 10521	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))))
60	54, 59	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))))
61		nnuz 13008	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
62		1zzd 12731	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 1 ∈ ℤ)
63		1zzd 12731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
64	22	recnd 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
65		1z 12730	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
66	61	eqimss2i 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
67		nnex 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
68	66, 67	climconst2 15721	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
69	64, 65, 68	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
70	67	mptex 7230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛))) ∈ V
71	3, 70	eqeltri 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ V
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
73		ax-1cn 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
74		divcnv 16028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
75	73, 74	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
76		fvconst2g 7209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
77	22, 76	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
78	64	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
79	77, 78	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) ∈ ℂ)
80		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
81		ovex 7454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
82	1, 80, 81	fvmpt 6994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
83	82	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
84		nnrecre 12384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
86	85	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
87	83, 86	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
88	77, 83	oveq12d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
89	6, 88	eqtr4d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) = (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)))
90	61, 63, 69, 72, 75, 79, 87, 89	climsub 15807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ (𝑆 − 0))
91	64	subid1d 11662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 0) = 𝑆)
92	90, 91	breqtrd 5130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝑆)
93	92	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝑅 ⇝ 𝑆)
94	12	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝐹:𝑋⟶𝐴)
95		fex 7233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96	94, 55, 95	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝐹 ∈ V)
97		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
98		coexg 7942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ V)
99	96, 97, 98	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ V)
100	33	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝑅:ℕ⟶ℝ)
101	100	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
102	12, 8	fssd 6728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
103		fco 6735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹 ∘ 𝑓):ℕ⟶ℝ)
104	102, 103	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹 ∘ 𝑓):ℕ⟶ℝ)
105	104	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝐹 ∘ 𝑓):ℕ⟶ℝ)
106	105	ffvelcdmda 7085	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℝ)
107		fveq2 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑚))
108		2fveq3 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) = (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
109	107, 108	breq12d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ↔ (𝑅‘𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑚))))
110	109	rspccva 3575	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
111	110	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
112		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
113		fvco3 6986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
114	112, 113	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
115	111, 114	breqtrrd 5132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ≤ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚))
116	29	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
117	112	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝑋)
118	94	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ∈ 𝐴)
119	117, 118	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ∈ 𝐴)
120		suprub 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
121	116, 119, 120	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
122	121, 7	breqtrrdi 5146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ≤ 𝑆)
123	114, 122	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) ≤ 𝑆)
124	61, 62, 93, 99, 101, 106, 115, 123	climsqz 15814	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)
125	124	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) → (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))
126	125	imdistanda 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)))
127	126	eximdv 1949	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)))
128	60, 127	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  {csn 4584   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ran crn 5651   ∘ ccom 5654   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  –onto→wfo 6537  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  supcsup 9436  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ℝ⁺crp 13124   ⇝ cli 15657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cc 10517  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-rlim 15662

This theorem is used by: (None)