Theorem supcvg 15741

Description: Extract a sequence 𝑓 in 𝑋 such that the image of the points in the bounded set 𝐴 converges to the supremum 𝑆 of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 10371. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
supcvg.1	⊢ 𝑋 ∈ V
supcvg.2	⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
supcvg.3	⊢ 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
supcvg.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
supcvg.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝐴)
supcvg.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
supcvg.7	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
supcvg	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝑛,𝜑   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑥,𝑦,𝐴   𝑆,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem supcvg

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
2	1	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑆 − (1 / 𝑛)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
3		supcvg.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
4		ovex 7390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 − (1 / 𝑘)) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑅‘𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
6	5	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
7		supcvg.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
8		supcvg.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		supcvg.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
10		supcvg.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋–onto→𝐴)
11		fof 6756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝐴 → 𝐹:𝑋⟶𝐴)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝐴)
13		feq3 6651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹:𝑋⟶𝐴 ↔ 𝐹:𝑋⟶∅))
14	12, 13	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝐹:𝑋⟶∅))
15		f00 6724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝑋 = ∅))
16	15	simprbi 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹:𝑋⟶∅ → 𝑋 = ∅)
17	14, 16	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝑋 = ∅))
18	17	necon3d 2964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
19	9, 18	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
20		supcvg.7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
21	8, 19, 20	suprcld 12118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
22	7, 21	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
23		nnrp 12926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
24	23	rpreccld 12967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
25		ltsubrp 12951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
26	22, 24, 25	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
27	6, 26	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) < 𝑆)
28	27, 7	breqtrdi 5146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ))
29	8, 19, 20	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
30		nnrecre 12195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
31		resubcl 11465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
32	22, 30, 31	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
33	32, 3	fmptd 7062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅:ℕ⟶ℝ)
34	33	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ)
35		suprlub 12119	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝑅‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑅‘𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧))
36	29, 34, 35	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅‘𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧))
37	28, 36	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧)
38	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
39	38	sselda 3944	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
40		ltle 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑅‘𝑘) < 𝑧 → (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
41	34, 39, 40	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑅‘𝑘) < 𝑧 → (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
42	41	reximdva 3165	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) < 𝑧 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
43	37, 42	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧)
44		forn 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑋–onto→𝐴 → ran 𝐹 = 𝐴)
45	10, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
46	45	rexeqdv 3314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧))
47		ffn 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝑋⟶𝐴 → 𝐹 Fn 𝑋)
48		breq2 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝐹‘𝑥) → ((𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
49	48	rexrn 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
50	12, 47, 49	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
51	46, 50	bitr3d 280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
52	51	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑅‘𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥)))
53	43, 52	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥))
54	53	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥))
55		supcvg.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
56		nnenom 13885	. . . 4 ⊢ ℕ ≈ ω
57		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑓‘𝑘)))
58	57	breq2d 5117	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘𝑘) → ((𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))))
59	55, 56, 58	axcc4 10375	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑥) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))))
60	54, 59	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))))
61		nnuz 12806	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
62		1zzd 12534	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 1 ∈ ℤ)
63		1zzd 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
64	22	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
65		1z 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
66	61	eqimss2i 4003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℕ
67		nnex 12159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ ∈ V
68	66, 67	climconst2 15430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
69	64, 65, 68	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
70	67	mptex 7173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛))) ∈ V
71	3, 70	eqeltri 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ V
72	71	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
73		ax-1cn 11109	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
74		divcnv 15738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
75	73, 74	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
76		fvconst2g 7151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
77	22, 76	sylan 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
78	64	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
79	77, 78	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) ∈ ℂ)
80		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
81		ovex 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 𝑘) ∈ V
82	1, 80, 81	fvmpt 6948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
84		nnrecre 12195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
87	83, 86	eqeltrd 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
88	77, 83	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
89	6, 88	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑘) = (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)))
90	61, 63, 69, 72, 75, 79, 87, 89	climsub 15516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ (𝑆 − 0))
91	64	subid1d 11501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆 − 0) = 𝑆)
92	90, 91	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⇝ 𝑆)
93	92	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝑅 ⇝ 𝑆)
94	12	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝐹:𝑋⟶𝐴)
95		fex 7176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶𝐴 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
96	94, 55, 95	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝐹 ∈ V)
97		vex 3449	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
98		coexg 7866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ V)
99	96, 97, 98	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ V)
100	33	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝑅:ℕ⟶ℝ)
101	100	ffvelcdmda 7035	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
102	12, 8	fssd 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
103		fco 6692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹 ∘ 𝑓):ℕ⟶ℝ)
104	102, 103	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹 ∘ 𝑓):ℕ⟶ℝ)
105	104	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝐹 ∘ 𝑓):ℕ⟶ℝ)
106	105	ffvelcdmda 7035	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℝ)
107		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑅‘𝑘) = (𝑅‘𝑚))
108		2fveq3 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) = (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
109	107, 108	breq12d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ↔ (𝑅‘𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑚))))
110	109	rspccva 3580	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
111	110	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
112		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
113		fvco3 6940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
114	112, 113	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓‘𝑚)))
115	111, 114	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅‘𝑚) ≤ ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚))
116	29	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥))
117	112	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝑋)
118	94	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ∈ 𝐴)
119	117, 118	syldan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ∈ 𝐴)
120		suprub 12116	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
121	116, 119, 120	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
122	121, 7	breqtrrdi 5147	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓‘𝑚)) ≤ 𝑆)
123	114, 122	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹 ∘ 𝑓)‘𝑚) ≤ 𝑆)
124	61, 62, 93, 99, 101, 106, 115, 123	climsqz 15523	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)
125	124	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘)) → (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))
126	125	imdistanda 572	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)))
127	126	eximdv 1920	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅‘𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓‘𝑘))) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)))
128	60, 127	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634   ∘ ccom 5637   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  –onto→wfo 6494  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915   ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371

This theorem is referenced by: (None)