MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supcvg 15748
Description: Extract a sequence 𝑓 in 𝑋 such that the image of the points in the bounded set 𝐴 converges to the supremum 𝑆 of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 10378. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1 𝑋 ∈ V
supcvg.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
supcvg.3 𝑅 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑆 βˆ’ (1 / 𝑛)))
supcvg.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
supcvg.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–onto→𝐴)
supcvg.6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
supcvg.7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ≀ π‘₯)
Assertion
Ref Expression
supcvg (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓,𝐹   𝑓,𝑛,πœ‘   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑓,𝑋,π‘₯   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦)   𝐴(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘˜))
21oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑆 βˆ’ (1 / 𝑛)) = (𝑆 βˆ’ (1 / π‘˜)))
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑆 βˆ’ (1 / 𝑛)))
4 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βˆ’ (1 / π‘˜)) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6953 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘…β€˜π‘˜) = (𝑆 βˆ’ (1 / π‘˜)))
65adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) = (𝑆 βˆ’ (1 / π‘˜)))
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–onto→𝐴)
11 fof 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋–onto→𝐴 β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΄)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΄)
13 feq3 6656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐹:π‘‹βŸΆπ΄ ↔ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆ…))
1412, 13syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆ…))
15 f00 6729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:π‘‹βŸΆβˆ… ↔ (𝐹 = βˆ… ∧ 𝑋 = βˆ…))
1615simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:π‘‹βŸΆβˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)
1714, 16syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))
1817necon3d 2965 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 β‰  βˆ… β†’ 𝐴 β‰  βˆ…))
199, 18mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ≀ π‘₯)
218, 19, 20suprcld 12125 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
227, 21eqeltrid 2842 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
23 nnrp 12933 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
2423rpreccld 12974 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+)
25 ltsubrp 12958 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ+) β†’ (𝑆 βˆ’ (1 / π‘˜)) < 𝑆)
2622, 24, 25syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑆 βˆ’ (1 / π‘˜)) < 𝑆)
276, 26eqbrtrd 5132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) < 𝑆)
2827, 7breqtrdi 5151 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) < sup(𝐴, ℝ, < ))
298, 19, 203jca 1129 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ≀ π‘₯))
30 nnrecre 12202 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
31 resubcl 11472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ) β†’ (𝑆 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3222, 30, 31syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑆 βˆ’ (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3332, 3fmptd 7067 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅:β„•βŸΆβ„)
3433ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
35 suprlub 12126 . . . . . . . 8 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (π‘…β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((π‘…β€˜π‘˜) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘…β€˜π‘˜) < 𝑧))
3629, 34, 35syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘…β€˜π‘˜) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘…β€˜π‘˜) < 𝑧))
3728, 36mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘…β€˜π‘˜) < 𝑧)
388adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3938sselda 3949 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
40 ltle 11250 . . . . . . . 8 (((π‘…β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((π‘…β€˜π‘˜) < 𝑧 β†’ (π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
4134, 39, 40syl2an2r 684 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘…β€˜π‘˜) < 𝑧 β†’ (π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
4241reximdva 3166 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘…β€˜π‘˜) < 𝑧 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
4337, 42mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧)
44 forn 6764 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋–onto→𝐴 β†’ ran 𝐹 = 𝐴)
4510, 44syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐴)
4645rexeqdv 3317 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran 𝐹(π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧))
47 ffn 6673 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘‹βŸΆπ΄ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
48 breq2 5114 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ ((π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧 ↔ (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4948rexrn 7042 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran 𝐹(π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5012, 47, 493syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran 𝐹(π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5146, 50bitr3d 281 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5251adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ 𝑧 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
5343, 52mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
5453ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
55 supcvg.1 . . . 4 𝑋 ∈ V
56 nnenom 13892 . . . 4 β„• β‰ˆ Ο‰
57 fveq2 6847 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
5857breq2d 5122 . . . 4 (π‘₯ = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))))
5955, 56, 58axcc4 10382 . . 3 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))))
6054, 59syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))))
61 nnuz 12813 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
62 1zzd 12541 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ 1 ∈ β„€)
63 1zzd 12541 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
6422recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
65 1z 12540 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„€
6661eqimss2i 4008 . . . . . . . . . . 11 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„•
67 nnex 12166 . . . . . . . . . . 11 β„• ∈ V
6866, 67climconst2 15437 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {𝑆}) ⇝ 𝑆)
6964, 65, 68sylancl 587 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„• Γ— {𝑆}) ⇝ 𝑆)
7067mptex 7178 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑆 βˆ’ (1 / 𝑛))) ∈ V
713, 70eqeltri 2834 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ V
7271a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
73 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
74 divcnv 15745 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
7573, 74mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
76 fvconst2g 7156 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑆})β€˜π‘˜) = 𝑆)
7722, 76sylan 581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑆})β€˜π‘˜) = 𝑆)
7864adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7977, 78eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {𝑆})β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
80 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))
81 ovex 7395 . . . . . . . . . . . 12 (1 / π‘˜) ∈ V
821, 80, 81fvmpt 6953 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) = (1 / π‘˜))
8382adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) = (1 / π‘˜))
84 nnrecre 12202 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
8584recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ β„‚)
8685adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ β„‚)
8783, 86eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
8877, 83oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((β„• Γ— {𝑆})β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜)) = (𝑆 βˆ’ (1 / π‘˜)))
896, 88eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘…β€˜π‘˜) = (((β„• Γ— {𝑆})β€˜π‘˜) βˆ’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (1 / 𝑛))β€˜π‘˜)))
9061, 63, 69, 72, 75, 79, 87, 89climsub 15523 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ⇝ (𝑆 βˆ’ 0))
9164subid1d 11508 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ’ 0) = 𝑆)
9290, 91breqtrd 5136 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ⇝ 𝑆)
9392ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ 𝑅 ⇝ 𝑆)
9412ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ΄)
95 fex 7181 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆπ΄ ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ 𝐹 ∈ V)
9694, 55, 95sylancl 587 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ 𝐹 ∈ V)
97 vex 3452 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
98 coexg 7871 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ V)
9996, 97, 98sylancl 587 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) ∈ V)
10033ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ 𝑅:β„•βŸΆβ„)
101100ffvelcdmda 7040 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ∈ ℝ)
10212, 8fssd 6691 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
103 fco 6697 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘‹βŸΆβ„ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):β„•βŸΆβ„)
104102, 103sylan 581 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):β„•βŸΆβ„)
105104adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓):β„•βŸΆβ„)
106105ffvelcdmda 7040 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘š) ∈ ℝ)
107 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ (π‘…β€˜π‘˜) = (π‘…β€˜π‘š))
108 2fveq3 6852 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = π‘š β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)))
109107, 108breq12d 5123 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘š β†’ ((π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ↔ (π‘…β€˜π‘š) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š))))
110109rspccva 3583 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)))
111110adantll 713 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)))
112 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹)
113 fvco3 6945 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘š) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)))
114112, 113sylan 581 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘š) = (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)))
115111, 114breqtrrd 5138 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ≀ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘š))
11629ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ≀ π‘₯))
117112ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝑋)
11894ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)) ∈ 𝐴)
119117, 118syldan 592 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)) ∈ 𝐴)
120 suprub 12123 . . . . . . . . 9 (((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)) ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)) ≀ sup(𝐴, ℝ, < ))
121116, 119, 120syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)) ≀ sup(𝐴, ℝ, < ))
122121, 7breqtrrdi 5152 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘š)) ≀ 𝑆)
123114, 122eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐹 ∘ 𝑓)β€˜π‘š) ≀ 𝑆)
12461, 62, 93, 99, 101, 106, 115, 123climsqz 15530 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)
125124ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓:β„•βŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜)) β†’ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))
126125imdistanda 573 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ (𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)))
127126eximdv 1921 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘…β€˜π‘˜) ≀ (πΉβ€˜(π‘“β€˜π‘˜))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆)))
12860, 127mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:β„•βŸΆπ‘‹ ∧ (𝐹 ∘ 𝑓) ⇝ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922   ⇝ cli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator