Theorem dm0rn0 5916

Description: An empty domain is equivalent to an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.) Avoid ax-10 2179, ax-11 2195, ax-12 2216. (Revised by TM, 24-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑦))
2		breq2 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧𝐴𝑤))
3	1, 2	excomw 2079	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦∃𝑧 𝑧𝐴𝑦)
4		breq2 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑤))
5	1, 4	sylan9bbr 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑤))
6	5	cbvex2vw 2074	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦∃𝑧 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
7	3, 6	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
8	7	notbii 323	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
9		alnex 1814	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦)
10		alnex 1814	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
11	8, 9, 10	3bitr4i 306	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
12		noel 4291	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑧 ∈ ∅
13	12	nbn 375	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
14	13	albii 1852	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
15		noel 4291	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑤 ∈ ∅
16	15	nbn 375	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
17	16	albii 1852	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
18	11, 14, 17	3bitr3i 304	. . 3 ⊢ (∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅) ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
19		breq1 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑧𝐴𝑦))
20	19	exbidv 1954	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦))
21	20	eqabcbw 2839	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
22	4	exbidv 1954	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤))
23	22	eqabcbw 2839	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
24	18, 21, 23	3bitr4i 306	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
25		df-dm 5673	. . 3 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
26	25	eqeq1i 2770	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
27		dfrn2 5880	. . 3 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦}
28	27	eqeq1i 2770	. 2 ⊢ (ran 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
29	24, 26, 28	3bitr4i 306	1 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209  ∀wal 1568   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ∅c0 4286   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  ran crn 5664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-cnv 5671  df-dm 5673  df-rn 5674

This theorem is used by:  rn0  5918  relrn0  5965  imadisj  6084  rnsnn0  6211  rnmpt0f  6246  f00  6764  f0rn0  6767  2nd0  7995  iinon  8329  onoviun  8332  onnseq  8333  map0b  8883  fodomfib  9291  intrnfi  9379  wdomtr  9540  noinfep  9632  wemapwe  9669  fin23lem31  10338  fin23lem40  10346  isf34lem7  10374  isf34lem6  10375  ttukeylem6  10509  fodomb  10521  rpnnen1lem4  13015  rpnnen1lem5  13016  fseqsupcl  14026  fseqsupubi  14027  dmtrclfv  15074  ruclem11  16313  prmreclem6  16998  0ram  17097  0ram2  17098  0ramcl  17100  gsumval2  18765  ghmrn  19322  gexex  19946  gsumval3  20000  subdrgint  20935  iinopn  23088  hauscmplem  23592  fbasrn  24070  alexsublem  24230  evth  25147  minveclem1  25612  minveclem3b  25616  ovollb2  25677  ovolunlem1a  25684  ovolunlem1  25685  ovoliunlem1  25690  ovoliun2  25694  ioombl1lem4  25749  uniioombllem1  25769  uniioombllem2  25771  uniioombllem6  25776  mbfsup  25852  mbfinf  25853  mbflimsup  25854  itg1climres  25902  itg2monolem1  25938  itg2mono  25941  itg2i1fseq2  25944  itg2cnlem1  25949  minvecolem1  31255  rge0scvg  34362  esumpcvgval  34491  cvmsss2  35779  fin2so  38291  ptrecube  38304  heicant  38339  isbnd3  38468  totbndbnd  38473  rnnonrel  44350  stoweidlem35  46782  hoicvr  47295