Theorem dm0rn0 5909

Description: An empty domain is equivalent to an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1781	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
2		excom 2163	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
3	1, 2	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
4		alnex 1781	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
5	3, 4	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑦 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
6		noel 4318	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
7	6	nbn 372	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
8	7	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑥(∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
9		noel 4318	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
10	9	nbn 372	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
11	10	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑦(∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
12	5, 8, 11	3bitr3i 301	. . 3 ⊢ (∀𝑥(∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅) ↔ ∀𝑦(∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
13		eqabcb 2877	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑥(∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
14		eqabcb 2877	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑦(∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
15	12, 13, 14	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
16		df-dm 5669	. . 3 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
17	16	eqeq1i 2741	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
18		dfrn2 5873	. . 3 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦}
19	18	eqeq1i 2741	. 2 ⊢ (ran 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
20	15, 17, 19	3bitr4i 303	1 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2714  ∅c0 4313   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ran crn 5660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670

This theorem is referenced by:  rn0  5910  relrn0  5957  imadisj  6072  rnsnn0  6202  rnmpt0f  6237  f00  6765  f0rn0  6768  2nd0  8000  iinon  8359  onoviun  8362  onnseq  8363  map0b  8902  fodomfib  9346  fodomfibOLD  9348  intrnfi  9433  wdomtr  9594  noinfep  9679  wemapwe  9716  fin23lem31  10362  fin23lem40  10370  isf34lem7  10398  isf34lem6  10399  ttukeylem6  10533  fodomb  10545  rpnnen1lem4  13001  rpnnen1lem5  13002  fseqsupcl  14000  fseqsupubi  14001  dmtrclfv  15042  ruclem11  16263  prmreclem6  16946  0ram  17045  0ram2  17046  0ramcl  17048  gsumval2  18669  ghmrn  19217  gexex  19839  gsumval3  19893  subdrgint  20768  iinopn  22845  hauscmplem  23349  fbasrn  23827  alexsublem  23987  evth  24914  minveclem1  25381  minveclem3b  25385  ovollb2  25447  ovolunlem1a  25454  ovolunlem1  25455  ovoliunlem1  25460  ovoliun2  25464  ioombl1lem4  25519  uniioombllem1  25539  uniioombllem2  25541  uniioombllem6  25546  mbfsup  25622  mbfinf  25623  mbflimsup  25624  itg1climres  25672  itg2monolem1  25708  itg2mono  25711  itg2i1fseq2  25714  itg2cnlem1  25719  minvecolem1  30860  rge0scvg  33985  esumpcvgval  34114  cvmsss2  35301  fin2so  37636  ptrecube  37649  heicant  37684  isbnd3  37813  totbndbnd  37818  rnnonrel  43590  stoweidlem35  46044  hoicvr  46557