Theorem dm0rn0 5868

Description: An empty domain is equivalent to an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.) Avoid ax-10 2146, ax-11 2162, ax-12 2182. (Revised by TM, 24-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑦))
2		breq2 5097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧𝐴𝑤))
3	1, 2	excomw 2047	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦∃𝑧 𝑧𝐴𝑦)
4		breq2 5097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑤))
5	1, 4	sylan9bbr 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑤))
6	5	cbvex2vw 2042	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦∃𝑧 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
7	3, 6	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
8	7	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
9		alnex 1782	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦)
10		alnex 1782	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
11	8, 9, 10	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
12		noel 4287	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑧 ∈ ∅
13	12	nbn 372	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
14	13	albii 1820	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
15		noel 4287	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑤 ∈ ∅
16	15	nbn 372	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
17	16	albii 1820	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
18	11, 14, 17	3bitr3i 301	. . 3 ⊢ (∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅) ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
19		breq1 5096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑧𝐴𝑦))
20	19	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦))
21	20	eqabcbw 2807	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
22	4	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤))
23	22	eqabcbw 2807	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
24	18, 21, 23	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
25		df-dm 5629	. . 3 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
26	25	eqeq1i 2738	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
27		dfrn2 5832	. . 3 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦}
28	27	eqeq1i 2738	. 2 ⊢ (ran 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
29	24, 26, 28	3bitr4i 303	1 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {cab 2711  ∅c0 4282   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  ran crn 5620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630

This theorem is referenced by:  rn0  5870  relrn0  5916  imadisj  6033  rnsnn0  6160  rnmpt0f  6195  f00  6710  f0rn0  6713  2nd0  7934  iinon  8266  onoviun  8269  onnseq  8270  map0b  8813  fodomfib  9220  fodomfibOLD  9222  intrnfi  9307  wdomtr  9468  noinfep  9557  wemapwe  9594  fin23lem31  10241  fin23lem40  10249  isf34lem7  10277  isf34lem6  10278  ttukeylem6  10412  fodomb  10424  rpnnen1lem4  12880  rpnnen1lem5  12881  fseqsupcl  13886  fseqsupubi  13887  dmtrclfv  14927  ruclem11  16151  prmreclem6  16835  0ram  16934  0ram2  16935  0ramcl  16937  gsumval2  18596  ghmrn  19143  gexex  19767  gsumval3  19821  subdrgint  20720  iinopn  22818  hauscmplem  23322  fbasrn  23800  alexsublem  23960  evth  24886  minveclem1  25352  minveclem3b  25356  ovollb2  25418  ovolunlem1a  25425  ovolunlem1  25426  ovoliunlem1  25431  ovoliun2  25435  ioombl1lem4  25490  uniioombllem1  25510  uniioombllem2  25512  uniioombllem6  25517  mbfsup  25593  mbfinf  25594  mbflimsup  25595  itg1climres  25643  itg2monolem1  25679  itg2mono  25682  itg2i1fseq2  25685  itg2cnlem1  25690  minvecolem1  30856  rge0scvg  33983  esumpcvgval  34112  cvmsss2  35339  fin2so  37667  ptrecube  37680  heicant  37715  isbnd3  37844  totbndbnd  37849  rnnonrel  43708  stoweidlem35  46157  hoicvr  46670