Theorem dm0rn0 5873

Description: An empty domain is equivalent to an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.) Avoid ax-10 2146, ax-11 2162, ax-12 2184. (Revised by TM, 24-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑦))
2		breq2 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧𝐴𝑤))
3	1, 2	excomw 2047	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦∃𝑧 𝑧𝐴𝑦)
4		breq2 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑤))
5	1, 4	sylan9bbr 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑤))
6	5	cbvex2vw 2042	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦∃𝑧 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
7	3, 6	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
8	7	notbii 320	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
9		alnex 1782	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦)
10		alnex 1782	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
11	8, 9, 10	3bitr4i 303	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
12		noel 4290	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑧 ∈ ∅
13	12	nbn 372	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
14	13	albii 1820	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
15		noel 4290	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑤 ∈ ∅
16	15	nbn 372	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
17	16	albii 1820	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
18	11, 14, 17	3bitr3i 301	. . 3 ⊢ (∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅) ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
19		breq1 5101	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑧𝐴𝑦))
20	19	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦))
21	20	eqabcbw 2810	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
22	4	exbidv 1922	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤))
23	22	eqabcbw 2810	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
24	18, 21, 23	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
25		df-dm 5634	. . 3 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
26	25	eqeq1i 2741	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
27		dfrn2 5837	. . 3 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦}
28	27	eqeq1i 2741	. 2 ⊢ (ran 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
29	24, 26, 28	3bitr4i 303	1 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {cab 2714  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ran crn 5625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-cnv 5632  df-dm 5634  df-rn 5635

This theorem is referenced by:  rn0  5875  relrn0  5922  imadisj  6039  rnsnn0  6166  rnmpt0f  6201  f00  6716  f0rn0  6719  2nd0  7940  iinon  8272  onoviun  8275  onnseq  8276  map0b  8821  fodomfib  9229  fodomfibOLD  9231  intrnfi  9319  wdomtr  9480  noinfep  9569  wemapwe  9606  fin23lem31  10253  fin23lem40  10261  isf34lem7  10289  isf34lem6  10290  ttukeylem6  10424  fodomb  10436  rpnnen1lem4  12893  rpnnen1lem5  12894  fseqsupcl  13900  fseqsupubi  13901  dmtrclfv  14941  ruclem11  16165  prmreclem6  16849  0ram  16948  0ram2  16949  0ramcl  16951  gsumval2  18611  ghmrn  19158  gexex  19782  gsumval3  19836  subdrgint  20736  iinopn  22846  hauscmplem  23350  fbasrn  23828  alexsublem  23988  evth  24914  minveclem1  25380  minveclem3b  25384  ovollb2  25446  ovolunlem1a  25453  ovolunlem1  25454  ovoliunlem1  25459  ovoliun2  25463  ioombl1lem4  25518  uniioombllem1  25538  uniioombllem2  25540  uniioombllem6  25545  mbfsup  25621  mbfinf  25622  mbflimsup  25623  itg1climres  25671  itg2monolem1  25707  itg2mono  25710  itg2i1fseq2  25713  itg2cnlem1  25718  minvecolem1  30949  rge0scvg  34106  esumpcvgval  34235  cvmsss2  35468  fin2so  37808  ptrecube  37821  heicant  37856  isbnd3  37985  totbndbnd  37990  rnnonrel  43832  stoweidlem35  46279  hoicvr  46792