Theorem dm0rn0 5873

Description: An empty domain is equivalent to an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.) Avoid ax-10 2152, ax-11 2168, ax-12 2189. (Revised by TM, 24-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑦))
2		breq2 5083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧𝐴𝑤))
3	1, 2	excomw 2053	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦∃𝑧 𝑧𝐴𝑦)
4		breq2 5083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑤))
5	1, 4	sylan9bbr 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑤 ∧ 𝑧 = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑥𝐴𝑤))
6	5	cbvex2vw 2048	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦∃𝑧 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
7	3, 6	bitri 276	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
8	7	notbii 321	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
9		alnex 1788	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑧∃𝑦 𝑧𝐴𝑦)
10		alnex 1788	. . . . 5 ⊢ (∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ ¬ ∃𝑤∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
11	8, 9, 10	3bitr4i 304	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤)
12		noel 4273	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑧 ∈ ∅
13	12	nbn 373	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
14	13	albii 1826	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ¬ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ ∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
15		noel 4273	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑤 ∈ ∅
16	15	nbn 373	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
17	16	albii 1826	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
18	11, 14, 17	3bitr3i 302	. . 3 ⊢ (∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅) ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
19		breq1 5082	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑧𝐴𝑦))
20	19	exbidv 1928	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦 𝑧𝐴𝑦))
21	20	eqabcbw 2814	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑧(∃𝑦 𝑧𝐴𝑦 ↔ 𝑧 ∈ ∅))
22	4	exbidv 1928	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑤))
23	22	eqabcbw 2814	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑤(∃𝑥 𝑥𝐴𝑤 ↔ 𝑤 ∈ ∅))
24	18, 21, 23	3bitr4i 304	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
25		df-dm 5635	. . 3 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
26	25	eqeq1i 2745	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
27		dfrn2 5837	. . 3 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦}
28	27	eqeq1i 2745	. 2 ⊢ (ran 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
29	24, 26, 28	3bitr4i 304	1 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207  ∀wal 1545   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  {cab 2718  ∅c0 4268   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ran crn 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636

This theorem is referenced by:  rn0  5875  relrn0  5922  imadisj  6039  rnsnn0  6166  rnmpt0f  6201  f00  6716  f0rn0  6719  2nd0  7945  iinon  8277  onoviun  8280  onnseq  8281  map0b  8828  fodomfib  9236  fodomfibOLD  9238  intrnfi  9326  wdomtr  9487  noinfep  9579  wemapwe  9616  fin23lem31  10263  fin23lem40  10271  isf34lem7  10299  isf34lem6  10300  ttukeylem6  10434  fodomb  10446  rpnnen1lem4  12928  rpnnen1lem5  12929  fseqsupcl  13937  fseqsupubi  13938  dmtrclfv  14978  ruclem11  16205  prmreclem6  16890  0ram  16989  0ram2  16990  0ramcl  16992  gsumval2  18652  ghmrn  19202  gexex  19826  gsumval3  19880  subdrgint  20782  iinopn  22892  hauscmplem  23396  fbasrn  23874  alexsublem  24034  evth  24951  minveclem1  25416  minveclem3b  25420  ovollb2  25481  ovolunlem1a  25488  ovolunlem1  25489  ovoliunlem1  25494  ovoliun2  25498  ioombl1lem4  25553  uniioombllem1  25573  uniioombllem2  25575  uniioombllem6  25580  mbfsup  25656  mbfinf  25657  mbflimsup  25658  itg1climres  25706  itg2monolem1  25742  itg2mono  25745  itg2i1fseq2  25748  itg2cnlem1  25753  minvecolem1  30970  rge0scvg  34140  esumpcvgval  34269  cvmsss2  35509  fin2so  37981  ptrecube  37994  heicant  38029  isbnd3  38158  totbndbnd  38163  rnnonrel  44042  stoweidlem35  46485  hoicvr  46998