Theorem dm0rn0 5888

Description: An empty domain is equivalent to an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1781	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑥∃𝑦 𝑥𝐴𝑦)
2		excom 2163	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∃𝑦∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
3	1, 2	xchbinx 334	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
4		alnex 1781	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
5	3, 4	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑦 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦)
6		noel 4301	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
7	6	nbn 372	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ (∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
8	7	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ¬ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑥(∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
9		noel 4301	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑦 ∈ ∅
10	9	nbn 372	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ (∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
11	10	albii 1819	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ¬ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ ∀𝑦(∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
12	5, 8, 11	3bitr3i 301	. . 3 ⊢ (∀𝑥(∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅) ↔ ∀𝑦(∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
13		eqabcb 2869	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑥(∃𝑦 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
14		eqabcb 2869	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ ∀𝑦(∃𝑥 𝑥𝐴𝑦 ↔ 𝑦 ∈ ∅))
15	12, 13, 14	3bitr4i 303	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
16		df-dm 5648	. . 3 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦}
17	16	eqeq1i 2734	. 2 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ {𝑥 ∣ ∃𝑦 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
18		dfrn2 5852	. . 3 ⊢ ran 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦}
19	18	eqeq1i 2734	. 2 ⊢ (ran 𝐴 = ∅ ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 𝑥𝐴𝑦} = ∅)
20	15, 17, 19	3bitr4i 303	1 ⊢ (dom 𝐴 = ∅ ↔ ran 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ran crn 5639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649

This theorem is referenced by:  rn0  5889  relrn0  5936  imadisj  6051  rnsnn0  6181  rnmpt0f  6216  f00  6742  f0rn0  6745  2nd0  7975  iinon  8309  onoviun  8312  onnseq  8313  map0b  8856  fodomfib  9280  fodomfibOLD  9282  intrnfi  9367  wdomtr  9528  noinfep  9613  wemapwe  9650  fin23lem31  10296  fin23lem40  10304  isf34lem7  10332  isf34lem6  10333  ttukeylem6  10467  fodomb  10479  rpnnen1lem4  12939  rpnnen1lem5  12940  fseqsupcl  13942  fseqsupubi  13943  dmtrclfv  14984  ruclem11  16208  prmreclem6  16892  0ram  16991  0ram2  16992  0ramcl  16994  gsumval2  18613  ghmrn  19161  gexex  19783  gsumval3  19837  subdrgint  20712  iinopn  22789  hauscmplem  23293  fbasrn  23771  alexsublem  23931  evth  24858  minveclem1  25324  minveclem3b  25328  ovollb2  25390  ovolunlem1a  25397  ovolunlem1  25398  ovoliunlem1  25403  ovoliun2  25407  ioombl1lem4  25462  uniioombllem1  25482  uniioombllem2  25484  uniioombllem6  25489  mbfsup  25565  mbfinf  25566  mbflimsup  25567  itg1climres  25615  itg2monolem1  25651  itg2mono  25654  itg2i1fseq2  25657  itg2cnlem1  25662  minvecolem1  30803  rge0scvg  33939  esumpcvgval  34068  cvmsss2  35261  fin2so  37601  ptrecube  37614  heicant  37649  isbnd3  37778  totbndbnd  37783  rnnonrel  43580  stoweidlem35  46033  hoicvr  46546