Theorem cantnff 9743

Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴 ↑_o 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
cantnff	⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6933	. . . 4 ⊢ (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
2	1	csbex 5329	. . 3 ⊢ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) → ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V)
4		eqid 2740	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
5		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7	4, 5, 6	cantnffval 9732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
8		cantnfs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9	4, 5, 6	cantnfdm 9733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
10	8, 9	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
11	10	mpteq1d 5261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
12	7, 11	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
13	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ On)
14	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ On)
15		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
18	8, 13, 14, 15, 16, 17	cantnfval 9737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
20		ovex 7481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ∈ V
21	8, 13, 14, 15, 16	cantnfcl 9736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( E We (𝑥 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ∈ ω))
22	21	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → E We (𝑥 supp ∅))
23	15	oien 9607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝑥 supp ∅)) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
24	20, 22, 23	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
26		suppssdm 8218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ⊆ dom 𝑥
27	8, 5, 6	cantnfs 9735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑥 finSupp ∅)))
28	27	simprbda 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥:𝐵⟶𝐴)
29	26, 28	fssdm 6766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
30		feq3 6730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝑥:𝐵⟶∅))
31	28, 30	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐴 = ∅ → 𝑥:𝐵⟶∅))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑥:𝐵⟶∅)
33		f00 6803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥:𝐵⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
34	32, 33	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
35	34	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
36		sseq0 4426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
37	29, 35, 36	syl2an2r 684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
38	25, 37	breqtrd 5192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅)
39		en0 9078	. . . . . . . 8 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
40	38, 39	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
41	40	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
42		0ex 5325	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
43	17	seqom0g 8512	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
45	19, 41, 44	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
46		el1o 8551	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o ↔ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
47	45, 46	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o)
48	35	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = (𝐴 ↑o ∅))
49	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
50		oe0 8578	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
52	48, 51	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = 1o)
53	47, 52	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
54	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
55	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
56	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝑆)
57		on0eln0 6451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
58	13, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
59	58	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
60	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
61	8, 54, 55, 56, 59, 55, 60	cantnflt2 9742	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
62	53, 61	pm2.61dane 3035	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
63	3, 12, 62	fmpt2d 7158	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {crab 3443  Vcvv 3488  ⦋csb 3921   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   E cep 5598   We wwe 5651  dom cdm 5700  Oncon0 6395  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ωcom 7903   supp csupp 8201  seq_ωcseqom 8503  1_oc1o 8515   +_o coa 8519   ·_o comu 8520   ↑_o coe 8521   ↑_m cmap 8884   ≈ cen 9000   finSupp cfsupp 9431  OrdIsocoi 9578   CNF ccnf 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-seqom 8504  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-oexp 8528  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-cnf 9731

This theorem is referenced by:  cantnfp1  9750  cantnflem1  9758  cantnflem3  9760  cantnflem4  9761  cantnf  9762  cantnfub  43283