Theorem cantnff 9564

Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴 ↑_o 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
cantnff	⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . . 4 ⊢ (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
2	1	csbex 5247	. . 3 ⊢ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) → ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V)
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
5		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7	4, 5, 6	cantnffval 9553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
8		cantnfs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9	4, 5, 6	cantnfdm 9554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
10	8, 9	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
11	10	mpteq1d 5179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
12	7, 11	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
13	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ On)
14	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ On)
15		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
18	8, 13, 14, 15, 16, 17	cantnfval 9558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
20		ovex 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ∈ V
21	8, 13, 14, 15, 16	cantnfcl 9557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( E We (𝑥 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ∈ ω))
22	21	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → E We (𝑥 supp ∅))
23	15	oien 9424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝑥 supp ∅)) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
24	20, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
26		suppssdm 8107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ⊆ dom 𝑥
27	8, 5, 6	cantnfs 9556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑥 finSupp ∅)))
28	27	simprbda 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥:𝐵⟶𝐴)
29	26, 28	fssdm 6670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
30		feq3 6631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝑥:𝐵⟶∅))
31	28, 30	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐴 = ∅ → 𝑥:𝐵⟶∅))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑥:𝐵⟶∅)
33		f00 6705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥:𝐵⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
34	32, 33	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
35	34	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
36		sseq0 4350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
37	29, 35, 36	syl2an2r 685	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
38	25, 37	breqtrd 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅)
39		en0 8940	. . . . . . . 8 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
40	38, 39	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
41	40	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
42		0ex 5243	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
43	17	seqom0g 8375	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
45	19, 41, 44	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
46		el1o 8410	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o ↔ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
47	45, 46	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o)
48	35	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = (𝐴 ↑o ∅))
49	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
50		oe0 8437	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
52	48, 51	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = 1o)
53	47, 52	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
54	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
55	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
56	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝑆)
57		on0eln0 6363	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
58	13, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
59	58	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
60	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
61	8, 54, 55, 56, 59, 55, 60	cantnflt2 9563	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
62	53, 61	pm2.61dane 3015	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
63	3, 12, 62	fmpt2d 7057	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395  Vcvv 3436  ⦋csb 3845   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   E cep 5513   We wwe 5566  dom cdm 5614  Oncon0 6306  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  ωcom 7796   supp csupp 8090  seq_ωcseqom 8366  1_oc1o 8378   +_o coa 8382   ·_o comu 8383   ↑_o coe 8384   ↑_m cmap 8750   ≈ cen 8866   finSupp cfsupp 9245  OrdIsocoi 9395   CNF ccnf 9551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-seqom 8367  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-oexp 8391  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-cnf 9552

This theorem is referenced by:  cantnfp1  9571  cantnflem1  9579  cantnflem3  9581  cantnflem4  9582  cantnf  9583  cantnfub  43424