Theorem cantnff 9362

Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴 ↑_o 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
cantnff	⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
2	1	csbex 5230	. . 3 ⊢ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) → ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
5		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7	4, 5, 6	cantnffval 9351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
8		cantnfs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9	4, 5, 6	cantnfdm 9352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
10	8, 9	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
11	10	mpteq1d 5165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
12	7, 11	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
13	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ On)
14	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ On)
15		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
18	8, 13, 14, 15, 16, 17	cantnfval 9356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
20		ovex 7288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ∈ V
21	8, 13, 14, 15, 16	cantnfcl 9355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( E We (𝑥 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ∈ ω))
22	21	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → E We (𝑥 supp ∅))
23	15	oien 9227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝑥 supp ∅)) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
24	20, 22, 23	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
26		suppssdm 7964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ⊆ dom 𝑥
27	8, 5, 6	cantnfs 9354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑥 finSupp ∅)))
28	27	simprbda 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥:𝐵⟶𝐴)
29	26, 28	fssdm 6604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
30		feq3 6567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝑥:𝐵⟶∅))
31	28, 30	syl5ibcom 244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐴 = ∅ → 𝑥:𝐵⟶∅))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑥:𝐵⟶∅)
33		f00 6640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥:𝐵⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
34	32, 33	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
35	34	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
36		sseq0 4330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
37	29, 35, 36	syl2an2r 681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
38	25, 37	breqtrd 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅)
39		en0 8758	. . . . . . . 8 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
40	38, 39	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
41	40	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
42		0ex 5226	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
43	17	seqom0g 8257	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
45	19, 41, 44	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
46		el1o 8291	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o ↔ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
47	45, 46	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o)
48	35	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = (𝐴 ↑o ∅))
49	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
50		oe0 8314	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
52	48, 51	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = 1o)
53	47, 52	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
54	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
55	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
56	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝑆)
57		on0eln0 6306	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
58	13, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
59	58	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
60	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
61	8, 54, 55, 56, 59, 55, 60	cantnflt2 9361	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
62	53, 61	pm2.61dane 3031	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
63	3, 12, 62	fmpt2d 6979	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  Vcvv 3422  ⦋csb 3828   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   E cep 5485   We wwe 5534  dom cdm 5580  Oncon0 6251  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ωcom 7687   supp csupp 7948  seq_ωcseqom 8248  1_oc1o 8260   +_o coa 8264   ·_o comu 8265   ↑_o coe 8266   ↑_m cmap 8573   ≈ cen 8688   finSupp cfsupp 9058  OrdIsocoi 9198   CNF ccnf 9349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-seqom 8249  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-oexp 8273  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-cnf 9350

This theorem is referenced by:  cantnfp1  9369  cantnflem1  9377  cantnflem3  9379  cantnflem4  9380  cantnf  9381