MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnff 8821
Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴𝑜 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnff (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴𝑜 𝐵))

Proof of Theorem cantnff
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6424 . . . 4 (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom ) ∈ V
21csbex 4988 . . 3 OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom ) ∈ V
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom ) ∈ V)
4 eqid 2799 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
5 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ On)
74, 5, 6cantnffval 8810 . . 3 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom )))
8 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
94, 5, 6cantnfdm 8811 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
108, 9syl5eq 2845 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
1110mpteq1d 4931 . . 3 (𝜑 → (𝑓𝑆OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom )) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom )))
127, 11eqtr4d 2836 . 2 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓𝑆OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (𝑘)) ·𝑜 (𝑓‘(𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom )))
135adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ On)
146adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ On)
15 eqid 2799 . . . . . . . 8 OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))
16 simpr 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
17 eqid 2799 . . . . . . . 8 seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅) = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
188, 13, 14, 15, 16, 17cantnfval 8815 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
1918adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
20 ovex 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 supp ∅) ∈ V
218, 13, 14, 15, 16cantnfcl 8814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → ( E We (𝑥 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ∈ ω))
2221simpld 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → E We (𝑥 supp ∅))
2315oien 8685 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝑥 supp ∅)) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
2420, 22, 23sylancr 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
2524adantr 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
26 suppssdm 7545 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 supp ∅) ⊆ dom 𝑥
278, 5, 6cantnfs 8813 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝑆 ↔ (𝑥:𝐵𝐴𝑥 finSupp ∅)))
2827simprbda 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥:𝐵𝐴)
2926, 28fssdm 6272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
30 feq3 6239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = ∅ → (𝑥:𝐵𝐴𝑥:𝐵⟶∅))
3128, 30syl5ibcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐴 = ∅ → 𝑥:𝐵⟶∅))
3231imp 396 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑥:𝐵⟶∅)
33 f00 6302 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥:𝐵⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
3432, 33sylib 210 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
3534simprd 490 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
36 sseq0 4171 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵𝐵 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
3729, 35, 36syl2an2r 676 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
3825, 37breqtrd 4869 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅)
39 en0 8258 . . . . . . . 8 (dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
4038, 39sylib 210 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
4140fveq2d 6415 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅))
42 0ex 4984 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
4317seqom0g 7790 . . . . . . 7 (∅ ∈ V → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
4442, 43mp1i 13 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴𝑜 (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
4519, 41, 443eqtrd 2837 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
46 el1o 7819 . . . . 5 (((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1𝑜 ↔ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
4745, 46sylibr 226 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1𝑜)
4835oveq2d 6894 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴𝑜 𝐵) = (𝐴𝑜 ∅))
4913adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
50 oe0 7842 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝐴𝑜 ∅) = 1𝑜)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴𝑜 ∅) = 1𝑜)
5248, 51eqtrd 2833 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴𝑜 𝐵) = 1𝑜)
5347, 52eleqtrrd 2881 . . 3 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴𝑜 𝐵))
5413adantr 473 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5514adantr 473 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
5616adantr 473 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝑆)
57 on0eln0 5996 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
5813, 57syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
5958biimpar 470 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
6029adantr 473 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
618, 54, 55, 56, 59, 55, 60cantnflt2 8820 . . 3 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴𝑜 𝐵))
6253, 61pm2.61dane 3058 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴𝑜 𝐵))
633, 12, 62fmpt2d 6619 1 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴𝑜 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  {crab 3093  Vcvv 3385  csb 3728  wss 3769  c0 4115   class class class wbr 4843  cmpt 4922   E cep 5224   We wwe 5270  dom cdm 5312  Oncon0 5941  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  ωcom 7299   supp csupp 7532  seq𝜔cseqom 7781  1𝑜c1o 7792   +𝑜 coa 7796   ·𝑜 comu 7797  𝑜 coe 7798  𝑚 cmap 8095  cen 8192   finSupp cfsupp 8517  OrdIsocoi 8656   CNF ccnf 8808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-seqom 7782  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-oexp 7805  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-oi 8657  df-cnf 8809
This theorem is referenced by:  cantnfp1  8828  cantnflem1  8836  cantnflem3  8838  cantnflem4  8839  cantnf  8840
  Copyright terms: Public domain W3C validator