MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cantnff 9669
Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐡 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴 ↑o 𝐡. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐡)
cantnfs.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnff (πœ‘ β†’ (𝐴 CNF 𝐡):π‘†βŸΆ(𝐴 ↑o 𝐡))
Proof of Theorem cantnff
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . 4 (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž) ∈ V
21csbex 5312 . . 3 ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž) ∈ V
32a1i 11 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) β†’ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž) ∈ V)
4 eqid 2733 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…}
5 cantnfs.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ On)
74, 5, 6cantnffval 9658 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 CNF 𝐡) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž)))
8 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐡)
94, 5, 6cantnfdm 9659 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝐴 CNF 𝐡) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…})
108, 9eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…})
1110mpteq1d 5244 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž)) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž)))
127, 11eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 CNF 𝐡) = (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž)))
135adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ On)
146adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ On)
15 eqid 2733 . . . . . . . 8 OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) = OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))
16 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
17 eqid 2733 . . . . . . . 8 seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…) = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)
188, 13, 14, 15, 16, 17cantnfval 9663 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) = (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))))
1918adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) = (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))))
20 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ supp βˆ…) ∈ V
218, 13, 14, 15, 16cantnfcl 9662 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ( E We (π‘₯ supp βˆ…) ∧ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) ∈ Ο‰))
2221simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ E We (π‘₯ supp βˆ…))
2315oien 9533 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ supp βˆ…) ∈ V ∧ E We (π‘₯ supp βˆ…)) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ (π‘₯ supp βˆ…))
2420, 22, 23sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ (π‘₯ supp βˆ…))
2524adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ (π‘₯ supp βˆ…))
26 suppssdm 8162 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ supp βˆ…) βŠ† dom π‘₯
278, 5, 6cantnfs 9661 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯:𝐡⟢𝐴 ∧ π‘₯ finSupp βˆ…)))
2827simprbda 500 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯:𝐡⟢𝐴)
2926, 28fssdm 6738 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ supp βˆ…) βŠ† 𝐡)
30 feq3 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘₯:𝐡⟢𝐴 ↔ π‘₯:π΅βŸΆβˆ…))
3128, 30syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ π‘₯:π΅βŸΆβˆ…))
3231imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ π‘₯:π΅βŸΆβˆ…)
33 f00 6774 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯:π΅βŸΆβˆ… ↔ (π‘₯ = βˆ… ∧ 𝐡 = βˆ…))
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∧ 𝐡 = βˆ…))
3534simprd 497 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ 𝐡 = βˆ…)
36 sseq0 4400 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ supp βˆ…) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 = βˆ…) β†’ (π‘₯ supp βˆ…) = βˆ…)
3729, 35, 36syl2an2r 684 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘₯ supp βˆ…) = βˆ…)
3825, 37breqtrd 5175 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ βˆ…)
39 en0 9013 . . . . . . . 8 (dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ βˆ… ↔ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) = βˆ…)
4038, 39sylib 217 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) = βˆ…)
4140fveq2d 6896 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))) = (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜βˆ…))
42 0ex 5308 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
4317seqom0g 8456 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ V β†’ (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜βˆ…) = βˆ…)
4442, 43mp1i 13 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜βˆ…) = βˆ…)
4519, 41, 443eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) = βˆ…)
46 el1o 8495 . . . . 5 (((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ 1o ↔ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) = βˆ…)
4745, 46sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ 1o)
4835oveq2d 7425 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐴 ↑o 𝐡) = (𝐴 ↑o βˆ…))
4913adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ On)
50 oe0 8522 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On β†’ (𝐴 ↑o βˆ…) = 1o)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐴 ↑o βˆ…) = 1o)
5248, 51eqtrd 2773 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐴 ↑o 𝐡) = 1o)
5347, 52eleqtrrd 2837 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝐴 ↑o 𝐡))
5413adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ On)
5514adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ On)
5616adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
57 on0eln0 6421 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆ… ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
5813, 57syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆ… ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
5958biimpar 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝐴)
6029adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ supp βˆ…) βŠ† 𝐡)
618, 54, 55, 56, 59, 55, 60cantnflt2 9668 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝐴 ↑o 𝐡))
6253, 61pm2.61dane 3030 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝐴 ↑o 𝐡))
633, 12, 62fmpt2d 7123 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 CNF 𝐡):π‘†βŸΆ(𝐴 ↑o 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475  β¦‹csb 3894   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   E cep 5580   We wwe 5631  dom cdm 5677  Oncon0 6365  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Ο‰com 7855   supp csupp 8146  seqΟ‰cseqom 8447  1oc1o 8459   +o coa 8463   Β·o comu 8464   ↑o coe 8465   ↑m cmap 8820   β‰ˆ cen 8936   finSupp cfsupp 9361  OrdIsocoi 9504   CNF ccnf 9656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seqom 8448  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-oexp 8472  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-oi 9505  df-cnf 9657
This theorem is referenced by:  cantnfp1  9676  cantnflem1  9684  cantnflem3  9686  cantnflem4  9687  cantnf  9688  cantnfub  42071
  Copyright terms: Public domain W3C validator