Theorem cantnff 9589

Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴 ↑_o 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
cantnff	⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6848	. . . 4 ⊢ (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
2	1	csbex 5247	. . 3 ⊢ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) → ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ) ∈ V)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
5		cantnfs.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7	4, 5, 6	cantnffval 9578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
8		cantnfs.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
9	4, 5, 6	cantnfdm 9579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
10	8, 9	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
11	10	mpteq1d 5176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
12	7, 11	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / ℎ⦌(seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (ℎ‘𝑘)) ·o (𝑓‘(ℎ‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ℎ)))
13	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ On)
14	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ On)
15		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))
16		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
17		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
18	8, 13, 14, 15, 16, 17	cantnfval 9583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
20		ovex 7394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ∈ V
21	8, 13, 14, 15, 16	cantnfcl 9582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( E We (𝑥 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ∈ ω))
22	21	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → E We (𝑥 supp ∅))
23	15	oien 9447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝑥 supp ∅)) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
24	20, 22, 23	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
26		suppssdm 8121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 supp ∅) ⊆ dom 𝑥
27	8, 5, 6	cantnfs 9581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝑥 finSupp ∅)))
28	27	simprbda 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥:𝐵⟶𝐴)
29	26, 28	fssdm 6682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
30		feq3 6643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑥:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝑥:𝐵⟶∅))
31	28, 30	syl5ibcom 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐴 = ∅ → 𝑥:𝐵⟶∅))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑥:𝐵⟶∅)
33		f00 6717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥:𝐵⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
34	32, 33	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
35	34	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
36		sseq0 4344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
37	29, 35, 36	syl2an2r 686	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
38	25, 37	breqtrd 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅)
39		en0 8959	. . . . . . . 8 ⊢ (dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
40	38, 39	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
41	40	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
42		0ex 5243	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
43	17	seqom0g 8389	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
45	19, 41, 44	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
46		el1o 8424	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o ↔ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
47	45, 46	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o)
48	35	oveq2d 7377	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = (𝐴 ↑o ∅))
49	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
50		oe0 8451	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)
52	48, 51	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 ↑o 𝐵) = 1o)
53	47, 52	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
54	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
55	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
56	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥 ∈ 𝑆)
57		on0eln0 6375	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
58	13, 57	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
59	58	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
60	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
61	8, 54, 55, 56, 59, 55, 60	cantnflt2 9588	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
62	53, 61	pm2.61dane 3020	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴 ↑o 𝐵))
63	3, 12, 62	fmpt2d 7072	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴 ↑o 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3390  Vcvv 3430  ⦋csb 3838   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   E cep 5524   We wwe 5577  dom cdm 5625  Oncon0 6318  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  ωcom 7811   supp csupp 8104  seq_ωcseqom 8380  1_oc1o 8392   +_o coa 8396   ·_o comu 8397   ↑_o coe 8398   ↑_m cmap 8767   ≈ cen 8884   finSupp cfsupp 9268  OrdIsocoi 9418   CNF ccnf 9576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-seqom 8381  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-oexp 8405  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-cnf 9577

This theorem is referenced by:  cantnfp1  9596  cantnflem1  9604  cantnflem3  9606  cantnflem4  9607  cantnf  9608  cantnfub  43770