MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cantnff 9671
Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐡 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴 ↑o 𝐡. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐡)
cantnfs.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnff (πœ‘ β†’ (𝐴 CNF 𝐡):π‘†βŸΆ(𝐴 ↑o 𝐡))
Proof of Theorem cantnff
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6904 . . . 4 (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž) ∈ V
21csbex 5311 . . 3 ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž) ∈ V
32a1i 11 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑆) β†’ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž) ∈ V)
4 eqid 2732 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…} = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…}
5 cantnfs.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ On)
74, 5, 6cantnffval 9660 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 CNF 𝐡) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž)))
8 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐡)
94, 5, 6cantnfdm 9661 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝐴 CNF 𝐡) = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…})
108, 9eqtrid 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…})
1110mpteq1d 5243 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž)) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∣ 𝑔 finSupp βˆ…} ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž)))
127, 11eqtr4d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 CNF 𝐡) = (𝑓 ∈ 𝑆 ↦ ⦋OrdIso( E , (𝑓 supp βˆ…)) / β„Žβ¦Œ(seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (β„Žβ€˜π‘˜)) Β·o (π‘“β€˜(β„Žβ€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom β„Ž)))
135adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ On)
146adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ On)
15 eqid 2732 . . . . . . . 8 OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) = OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))
16 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
17 eqid 2732 . . . . . . . 8 seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…) = seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)
188, 13, 14, 15, 16, 17cantnfval 9665 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) = (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))))
1918adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) = (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))))
20 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ supp βˆ…) ∈ V
218, 13, 14, 15, 16cantnfcl 9664 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ( E We (π‘₯ supp βˆ…) ∧ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) ∈ Ο‰))
2221simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ E We (π‘₯ supp βˆ…))
2315oien 9535 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ supp βˆ…) ∈ V ∧ E We (π‘₯ supp βˆ…)) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ (π‘₯ supp βˆ…))
2420, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ (π‘₯ supp βˆ…))
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ (π‘₯ supp βˆ…))
26 suppssdm 8164 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ supp βˆ…) βŠ† dom π‘₯
278, 5, 6cantnfs 9663 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ (π‘₯:𝐡⟢𝐴 ∧ π‘₯ finSupp βˆ…)))
2827simprbda 499 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯:𝐡⟢𝐴)
2926, 28fssdm 6737 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯ supp βˆ…) βŠ† 𝐡)
30 feq3 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = βˆ… β†’ (π‘₯:𝐡⟢𝐴 ↔ π‘₯:π΅βŸΆβˆ…))
3128, 30syl5ibcom 244 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ π‘₯:π΅βŸΆβˆ…))
3231imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ π‘₯:π΅βŸΆβˆ…)
33 f00 6773 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯:π΅βŸΆβˆ… ↔ (π‘₯ = βˆ… ∧ 𝐡 = βˆ…))
3432, 33sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘₯ = βˆ… ∧ 𝐡 = βˆ…))
3534simprd 496 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ 𝐡 = βˆ…)
36 sseq0 4399 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ supp βˆ…) βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 = βˆ…) β†’ (π‘₯ supp βˆ…) = βˆ…)
3729, 35, 36syl2an2r 683 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘₯ supp βˆ…) = βˆ…)
3825, 37breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ βˆ…)
39 en0 9015 . . . . . . . 8 (dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) β‰ˆ βˆ… ↔ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) = βˆ…)
4038, 39sylib 217 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…)) = βˆ…)
4140fveq2d 6895 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜dom OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))) = (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜βˆ…))
42 0ex 5307 . . . . . . 7 βˆ… ∈ V
4317seqom0g 8458 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ V β†’ (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜βˆ…) = βˆ…)
4442, 43mp1i 13 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (seqΟ‰((π‘˜ ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑o (OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜)) Β·o (π‘₯β€˜(OrdIso( E , (π‘₯ supp βˆ…))β€˜π‘˜))) +o 𝑧)), βˆ…)β€˜βˆ…) = βˆ…)
4519, 41, 443eqtrd 2776 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) = βˆ…)
46 el1o 8497 . . . . 5 (((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ 1o ↔ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) = βˆ…)
4745, 46sylibr 233 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ 1o)
4835oveq2d 7427 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐴 ↑o 𝐡) = (𝐴 ↑o βˆ…))
4913adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ On)
50 oe0 8524 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On β†’ (𝐴 ↑o βˆ…) = 1o)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐴 ↑o βˆ…) = 1o)
5248, 51eqtrd 2772 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐴 ↑o 𝐡) = 1o)
5347, 52eleqtrrd 2836 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝐴 ↑o 𝐡))
5413adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ On)
5514adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ On)
5616adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
57 on0eln0 6420 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On β†’ (βˆ… ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
5813, 57syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (βˆ… ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 β‰  βˆ…))
5958biimpar 478 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝐴)
6029adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (π‘₯ supp βˆ…) βŠ† 𝐡)
618, 54, 55, 56, 59, 55, 60cantnflt2 9670 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝐴 ↑o 𝐡))
6253, 61pm2.61dane 3029 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ((𝐴 CNF 𝐡)β€˜π‘₯) ∈ (𝐴 ↑o 𝐡))
633, 12, 62fmpt2d 7125 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 CNF 𝐡):π‘†βŸΆ(𝐴 ↑o 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  β¦‹csb 3893   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   E cep 5579   We wwe 5630  dom cdm 5676  Oncon0 6364  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Ο‰com 7857   supp csupp 8148  seqΟ‰cseqom 8449  1oc1o 8461   +o coa 8465   Β·o comu 8466   ↑o coe 8467   ↑m cmap 8822   β‰ˆ cen 8938   finSupp cfsupp 9363  OrdIsocoi 9506   CNF ccnf 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-seqom 8450  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-oexp 8474  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-cnf 9659
This theorem is referenced by:  cantnfp1  9678  cantnflem1  9686  cantnflem3  9688  cantnflem4  9689  cantnf  9690  cantnfub  42153
  Copyright terms: Public domain W3C validator