MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cantnff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cantnff 9712
Description: The CNF function is a function from finitely supported functions from 𝐵 to 𝐴, to the ordinal exponential 𝐴o 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
cantnff (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴o 𝐵))

Proof of Theorem cantnff
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6920 . . . 4 (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑘)) ·o (𝑓‘(𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ) ∈ V
21csbex 5317 . . 3 OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑘)) ·o (𝑓‘(𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ) ∈ V
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑘)) ·o (𝑓‘(𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom ) ∈ V)
4 eqid 2735 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
5 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
6 cantnfs.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ On)
74, 5, 6cantnffval 9701 . . 3 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑘)) ·o (𝑓‘(𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom )))
8 cantnfs.s . . . . 5 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
94, 5, 6cantnfdm 9702 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
108, 9eqtrid 2787 . . . 4 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
1110mpteq1d 5243 . . 3 (𝜑 → (𝑓𝑆OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑘)) ·o (𝑓‘(𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom )) = (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ (𝐴m 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} ↦ OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑘)) ·o (𝑓‘(𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom )))
127, 11eqtr4d 2778 . 2 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵) = (𝑓𝑆OrdIso( E , (𝑓 supp ∅)) / (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (𝑘)) ·o (𝑓‘(𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom )))
135adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ On)
146adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ On)
15 eqid 2735 . . . . . . . 8 OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))
16 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
17 eqid 2735 . . . . . . . 8 seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅) = seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)
188, 13, 14, 15, 16, 17cantnfval 9706 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
1918adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))))
20 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 supp ∅) ∈ V
218, 13, 14, 15, 16cantnfcl 9705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → ( E We (𝑥 supp ∅) ∧ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ∈ ω))
2221simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → E We (𝑥 supp ∅))
2315oien 9576 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝑥 supp ∅)) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
2420, 22, 23sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ (𝑥 supp ∅))
26 suppssdm 8201 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 supp ∅) ⊆ dom 𝑥
278, 5, 6cantnfs 9704 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝑆 ↔ (𝑥:𝐵𝐴𝑥 finSupp ∅)))
2827simprbda 498 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥:𝐵𝐴)
2926, 28fssdm 6756 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
30 feq3 6719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = ∅ → (𝑥:𝐵𝐴𝑥:𝐵⟶∅))
3128, 30syl5ibcom 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐴 = ∅ → 𝑥:𝐵⟶∅))
3231imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝑥:𝐵⟶∅)
33 f00 6791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥:𝐵⟶∅ ↔ (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
3432, 33sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 = ∅ ∧ 𝐵 = ∅))
3534simprd 495 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐵 = ∅)
36 sseq0 4409 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵𝐵 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
3729, 35, 36syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝑥 supp ∅) = ∅)
3825, 37breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅)
39 en0 9057 . . . . . . . 8 (dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
4038, 39sylib 218 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅)) = ∅)
4140fveq2d 6911 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))) = (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅))
42 0ex 5313 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
4317seqom0g 8495 . . . . . . 7 (∅ ∈ V → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
4442, 43mp1i 13 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (seqω((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴o (OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘)) ·o (𝑥‘(OrdIso( E , (𝑥 supp ∅))‘𝑘))) +o 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
4519, 41, 443eqtrd 2779 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
46 el1o 8532 . . . . 5 (((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o ↔ ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) = ∅)
4745, 46sylibr 234 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ 1o)
4835oveq2d 7447 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴o 𝐵) = (𝐴o ∅))
4913adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
50 oe0 8559 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝐴o ∅) = 1o)
5149, 50syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴o ∅) = 1o)
5248, 51eqtrd 2775 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴o 𝐵) = 1o)
5347, 52eleqtrrd 2842 . . 3 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 = ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴o 𝐵))
5413adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
5514adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐵 ∈ On)
5616adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑥𝑆)
57 on0eln0 6442 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
5813, 57syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → (∅ ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
5958biimpar 477 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ∈ 𝐴)
6029adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝑥 supp ∅) ⊆ 𝐵)
618, 54, 55, 56, 59, 55, 60cantnflt2 9711 . . 3 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴o 𝐵))
6253, 61pm2.61dane 3027 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → ((𝐴 CNF 𝐵)‘𝑥) ∈ (𝐴o 𝐵))
633, 12, 62fmpt2d 7144 1 (𝜑 → (𝐴 CNF 𝐵):𝑆⟶(𝐴o 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  csb 3908  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  cmpt 5231   E cep 5588   We wwe 5640  dom cdm 5689  Oncon0 6386  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  ωcom 7887   supp csupp 8184  seqωcseqom 8486  1oc1o 8498   +o coa 8502   ·o comu 8503  o coe 8504  m cmap 8865  cen 8981   finSupp cfsupp 9399  OrdIsocoi 9547   CNF ccnf 9699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seqom 8487  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-oexp 8511  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-cnf 9700
This theorem is referenced by:  cantnfp1  9719  cantnflem1  9727  cantnflem3  9729  cantnflem4  9730  cantnf  9731  cantnfub  43311
  Copyright terms: Public domain W3C validator