Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prv0 34421
Description: Every wff encoded as π‘ˆ is true in an "empty model" (𝑀 = βˆ…). Since ⊧ is defined in terms of the interpretations making the given formula true, it is not defined on the "empty model", since there are no interpretations. In particular, the empty set on the LHS of ⊧ should not be interpreted as the empty model, because βˆƒπ‘₯π‘₯ = π‘₯ is not satisfied on the empty model. (Contributed by AV, 19-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
prv0 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ βˆ…βŠ§π‘ˆ)

Proof of Theorem prv0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sate0 34406 . . 3 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
2 peano1 7879 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ Ο‰
32n0ii 4337 . . . . . . . . 9 Β¬ Ο‰ = βˆ…
43intnan 488 . . . . . . . 8 Β¬ (π‘₯ = βˆ… ∧ Ο‰ = βˆ…)
54a1i 11 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ Β¬ (π‘₯ = βˆ… ∧ Ο‰ = βˆ…))
6 f00 6774 . . . . . . 7 (π‘₯:Ο‰βŸΆβˆ… ↔ (π‘₯ = βˆ… ∧ Ο‰ = βˆ…))
75, 6sylnibr 329 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ Β¬ π‘₯:Ο‰βŸΆβˆ…)
8 0ex 5308 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ V
98, 8pm3.2i 472 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ V ∧ βˆ… ∈ V)
10 satfvel 34403 . . . . . . 7 (((βˆ… ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘₯:Ο‰βŸΆβˆ…)
119, 10mp3an1 1449 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘₯:Ο‰βŸΆβˆ…)
127, 11mtand 815 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
1312alrimiv 1931 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ βˆ€π‘₯ Β¬ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
14 eq0 4344 . . . 4 ((((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ) = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ Β¬ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
1513, 14sylibr 233 . . 3 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ) = βˆ…)
161, 15eqtrd 2773 . 2 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = βˆ…)
17 prv 34419 . . . 4 ((βˆ… ∈ V ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ (βˆ…βŠ§π‘ˆ ↔ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = (βˆ… ↑m Ο‰)))
188, 17mpan 689 . . 3 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ…βŠ§π‘ˆ ↔ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = (βˆ… ↑m Ο‰)))
192ne0ii 4338 . . . . 5 Ο‰ β‰  βˆ…
20 map0b 8877 . . . . 5 (Ο‰ β‰  βˆ… β†’ (βˆ… ↑m Ο‰) = βˆ…)
2119, 20mp1i 13 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ… ↑m Ο‰) = βˆ…)
2221eqeq2d 2744 . . 3 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ ((βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = (βˆ… ↑m Ο‰) ↔ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = βˆ…))
2318, 22bitrd 279 . 2 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ…βŠ§π‘ˆ ↔ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = βˆ…))
2416, 23mpbird 257 1 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ βˆ…βŠ§π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Ο‰com 7855   ↑m cmap 8820   Sat csat 34327  Fmlacfmla 34328   Sat∈ csate 34329  βŠ§cprv 34330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-ac 10111  df-goel 34331  df-gona 34332  df-goal 34333  df-sat 34334  df-sate 34335  df-fmla 34336  df-prv 34337
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator