Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prv0 34490
Description: Every wff encoded as π‘ˆ is true in an "empty model" (𝑀 = βˆ…). Since ⊧ is defined in terms of the interpretations making the given formula true, it is not defined on the "empty model", since there are no interpretations. In particular, the empty set on the LHS of ⊧ should not be interpreted as the empty model, because βˆƒπ‘₯π‘₯ = π‘₯ is not satisfied on the empty model. (Contributed by AV, 19-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
prv0 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ βˆ…βŠ§π‘ˆ)

Proof of Theorem prv0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sate0 34475 . . 3 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
2 peano1 7881 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ Ο‰
32n0ii 4336 . . . . . . . . 9 Β¬ Ο‰ = βˆ…
43intnan 487 . . . . . . . 8 Β¬ (π‘₯ = βˆ… ∧ Ο‰ = βˆ…)
54a1i 11 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ Β¬ (π‘₯ = βˆ… ∧ Ο‰ = βˆ…))
6 f00 6773 . . . . . . 7 (π‘₯:Ο‰βŸΆβˆ… ↔ (π‘₯ = βˆ… ∧ Ο‰ = βˆ…))
75, 6sylnibr 328 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ Β¬ π‘₯:Ο‰βŸΆβˆ…)
8 0ex 5307 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ V
98, 8pm3.2i 471 . . . . . . 7 (βˆ… ∈ V ∧ βˆ… ∈ V)
10 satfvel 34472 . . . . . . 7 (((βˆ… ∈ V ∧ βˆ… ∈ V) ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘₯:Ο‰βŸΆβˆ…)
119, 10mp3an1 1448 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) ∧ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ)) β†’ π‘₯:Ο‰βŸΆβˆ…)
127, 11mtand 814 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
1312alrimiv 1930 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ βˆ€π‘₯ Β¬ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
14 eq0 4343 . . . 4 ((((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ) = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ Β¬ π‘₯ ∈ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ))
1513, 14sylibr 233 . . 3 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (((βˆ… Sat βˆ…)β€˜Ο‰)β€˜π‘ˆ) = βˆ…)
161, 15eqtrd 2772 . 2 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = βˆ…)
17 prv 34488 . . . 4 ((βˆ… ∈ V ∧ π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰)) β†’ (βˆ…βŠ§π‘ˆ ↔ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = (βˆ… ↑m Ο‰)))
188, 17mpan 688 . . 3 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ…βŠ§π‘ˆ ↔ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = (βˆ… ↑m Ο‰)))
192ne0ii 4337 . . . . 5 Ο‰ β‰  βˆ…
20 map0b 8879 . . . . 5 (Ο‰ β‰  βˆ… β†’ (βˆ… ↑m Ο‰) = βˆ…)
2119, 20mp1i 13 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ… ↑m Ο‰) = βˆ…)
2221eqeq2d 2743 . . 3 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ ((βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = (βˆ… ↑m Ο‰) ↔ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = βˆ…))
2318, 22bitrd 278 . 2 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ (βˆ…βŠ§π‘ˆ ↔ (βˆ… Sat∈ π‘ˆ) = βˆ…))
2416, 23mpbird 256 1 (π‘ˆ ∈ (Fmlaβ€˜Ο‰) β†’ βˆ…βŠ§π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   ↑m cmap 8822   Sat csat 34396  Fmlacfmla 34397   Sat∈ csate 34398  βŠ§cprv 34399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-ac 10113  df-goel 34400  df-gona 34401  df-goal 34402  df-sat 34403  df-sate 34404  df-fmla 34405  df-prv 34406
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator