MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f0cli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f0cli 7002
Description: Unconditional closure of a function when the range includes the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
f0cl.1 𝐹:𝐴𝐵
f0cl.2 ∅ ∈ 𝐵
Assertion
Ref Expression
f0cli (𝐹𝐶) ∈ 𝐵

Proof of Theorem f0cli
StepHypRef Expression
1 f0cl.1 . . 3 𝐹:𝐴𝐵
21ffvelcdmi 6988 . 2 (𝐶𝐴 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
31fdmi 6638 . . . 4 dom 𝐹 = 𝐴
43eleq2i 2828 . . 3 (𝐶 ∈ dom 𝐹𝐶𝐴)
5 ndmfv 6832 . . . 4 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐶) = ∅)
6 f0cl.2 . . . 4 ∅ ∈ 𝐵
75, 6eqeltrdi 2845 . . 3 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
84, 7sylnbir 332 . 2 𝐶𝐴 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
92, 8pm2.61i 182 1 (𝐹𝐶) ∈ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2104  c0 4262  dom cdm 5596  wf 6450  cfv 6454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3287  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-id 5496  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-fv 6462
This theorem is referenced by:  harcl  9358  cantnfvalf  9463  rankon  9593  cardon  9742  alephon  9867  ackbij1lem13  10030  ackbij1b  10037  ixxssxr  13133  sadcf  16201  smupf  16226  iccordt  22406  nodense  33936  bdayelon  34012  madessno  34085  oldssno  34086  newssno  34087
  Copyright terms: Public domain W3C validator