MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f0cli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f0cli 7104
Description: Unconditional closure of a function when the codomain includes the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
f0cl.1 𝐹:𝐴𝐵
f0cl.2 ∅ ∈ 𝐵
Assertion
Ref Expression
f0cli (𝐹𝐶) ∈ 𝐵

Proof of Theorem f0cli
StepHypRef Expression
1 f0cl.1 . . 3 𝐹:𝐴𝐵
21ffvelcdmi 7089 . 2 (𝐶𝐴 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
31fdmi 6731 . . . 4 dom 𝐹 = 𝐴
43eleq2i 2818 . . 3 (𝐶 ∈ dom 𝐹𝐶𝐴)
5 ndmfv 6928 . . . 4 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐶) = ∅)
6 f0cl.2 . . . 4 ∅ ∈ 𝐵
75, 6eqeltrdi 2834 . . 3 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
84, 7sylnbir 330 . 2 𝐶𝐴 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
92, 8pm2.61i 182 1 (𝐹𝐶) ∈ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2099  c0 4322  dom cdm 5674  wf 6542  cfv 6546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pr 5425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-dif 3949  df-un 3951  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554
This theorem is referenced by:  harcl  9595  cantnfvalf  9701  rankon  9831  cardon  9980  alephon  10105  ackbij1lem13  10266  ackbij1b  10273  ixxssxr  13384  sadcf  16448  smupf  16473  iccordt  23206  nodense  27719  bdayelon  27803  madessno  27881  oldssno  27882  newssno  27883
  Copyright terms: Public domain W3C validator