Theorem f0cli 7105

Description: Unconditional closure of a function when the codomain includes the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
f0cl.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
f0cl.2	⊢ ∅ ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
f0cli	⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵

Proof of Theorem f0cli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0cl.1	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2	1	ffvelcdmi 7090	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1	fdmi 6732	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = 𝐴
4	3	eleq2i 2817	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴)
5		ndmfv 6929	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐶) = ∅)
6		f0cl.2	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝐵
7	5, 6	eqeltrdi 2833	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
8	4, 7	sylnbir 330	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
9	2, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2098  ∅c0 4323  dom cdm 5677  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3948  df-un 3950  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555

This theorem is referenced by:  harcl  9582  cantnfvalf  9688  rankon  9818  cardon  9967  alephon  10092  ackbij1lem13  10255  ackbij1b  10262  ixxssxr  13368  sadcf  16427  smupf  16452  iccordt  23148  nodense  27655  bdayelon  27739  madessno  27817  oldssno  27818  newssno  27819