MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f0cli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f0cli 7100
Description: Unconditional closure of a function when the codomain includes the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
f0cl.1 𝐹:𝐴𝐵
f0cl.2 ∅ ∈ 𝐵
Assertion
Ref Expression
f0cli (𝐹𝐶) ∈ 𝐵

Proof of Theorem f0cli
StepHypRef Expression
1 f0cl.1 . . 3 𝐹:𝐴𝐵
21ffvelcdmi 7086 . 2 (𝐶𝐴 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
31fdmi 6730 . . . 4 dom 𝐹 = 𝐴
43eleq2i 2826 . . 3 (𝐶 ∈ dom 𝐹𝐶𝐴)
5 ndmfv 6927 . . . 4 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐶) = ∅)
6 f0cl.2 . . . 4 ∅ ∈ 𝐵
75, 6eqeltrdi 2842 . . 3 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
84, 7sylnbir 331 . 2 𝐶𝐴 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
92, 8pm2.61i 182 1 (𝐹𝐶) ∈ 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 2107  c0 4323  dom cdm 5677  wf 6540  cfv 6544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552
This theorem is referenced by:  harcl  9554  cantnfvalf  9660  rankon  9790  cardon  9939  alephon  10064  ackbij1lem13  10227  ackbij1b  10234  ixxssxr  13336  sadcf  16394  smupf  16419  iccordt  22718  nodense  27195  bdayelon  27278  madessno  27355  oldssno  27356  newssno  27357
  Copyright terms: Public domain W3C validator