Theorem f0cli 7094

Description: Unconditional closure of a function when the codomain includes the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
f0cl.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
f0cl.2	⊢ ∅ ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
f0cli	⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵

Proof of Theorem f0cli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0cl.1	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2	1	ffvelcdmi 7079	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1	fdmi 6718	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = 𝐴
4	3	eleq2i 2854	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴)
5		ndmfv 6914	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐶) = ∅)
6		f0cl.2	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝐵
7	5, 6	eqeltrdi 2870	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
8	4, 7	sylnbir 334	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
9	2, 8	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  dom cdm 5659  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545

This theorem is used by:  harcl  9534  cantnfvalf  9647  rankon  9780  cardon  9952  alephon  10075  ackbij1lem13  10236  ackbij1b  10243  cfon  10259  ixxssxr  13412  sadcf  16547  smupf  16572  iccordt  23440  nodense  27926  bdayon  28015  madessno  28103  oldssno  28104  newssno  28105