Theorem f0cli 7031

Description: Unconditional closure of a function when the codomain includes the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
f0cl.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
f0cl.2	⊢ ∅ ∈ 𝐵

Assertion

Ref	Expression
f0cli	⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵

Proof of Theorem f0cli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0cl.1	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2	1	ffvelcdmi 7016	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
3	1	fdmi 6662	. . . 4 ⊢ dom 𝐹 = 𝐴
4	3	eleq2i 2823	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴)
5		ndmfv 6854	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐶) = ∅)
6		f0cl.2	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝐵
7	5, 6	eqeltrdi 2839	. . 3 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
8	4, 7	sylnbir 331	. 2 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
9	2, 8	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280  dom cdm 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  harcl  9445  cantnfvalf  9555  rankon  9688  cardon  9837  alephon  9960  ackbij1lem13  10122  ackbij1b  10129  ixxssxr  13257  sadcf  16364  smupf  16389  iccordt  23129  nodense  27631  bdayelon  27715  madessno  27801  oldssno  27802  newssno  27803