Theorem oldssno 33731

Description: Old sets are surreals. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldssno	⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ No

Proof of Theorem oldssno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldf 33727	. . 3 ⊢ O :On⟶𝒫 No
2		0elpw 5232	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 No
3	1, 2	f0cli 6895	. 2 ⊢ ( O ‘𝐴) ∈ 𝒫 No
4		elpwi 4508	. 2 ⊢ (( O ‘𝐴) ∈ 𝒫 No → ( O ‘𝐴) ⊆ No )
5	3, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ( O ‘𝐴) ⊆ No

Syntax hints:   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4499  Oncon0 6191  ‘cfv 6358   No csur 33529   O cold 33713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-1o 8180  df-2o 8181  df-no 33532  df-slt 33533  df-bday 33534  df-sslt 33662  df-scut 33664  df-made 33717  df-old 33718

This theorem is referenced by:  leftssno  33749  rightssno  33750  madebdayim  33756  lrold  33763  sltlpss  33773